基于“问题链”学教模式下的教学设计及思考

钟立权

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，教师应该鼓励学生积极参与教学活动，培养学生可以用数学的眼光观察世界，用数学的思维来思考世界，用数学的语言表达世界，但是大多数过去枯燥无味的“满堂灌”“一言堂”已被证明无法长久地吸引学生的注意力，更别谈让学生去经历、体验数学知识的产生及其发展过程了。因此，“问题链”教学模式由此而生了。

美国数学教育学家哈尔莫斯曾经说过，理论、定理、定义、证明、概念、公式、方法中的任何一个都不是数学的心脏，只有问题才是数学的心脏。所以，我们在课堂教学中应该积极创设合适的问题情境，通过问题链激发课堂的活力，让课堂生动、活泼起来，让学生的思维跳跃起来，使之积极参与数学发现与体会数学发展过程。

《礼记·学记》中所记载，“善问者如攻坚木：先其易者，后其节目;及其久也，相说以解。”这就要求我们在课堂教学中要把握事物发展的规律，从易到难、从简单到复杂，解析问题，各个击破，进而引导学生进行深度学习和研讨，促进学生在解决数学问题时领略数学之美。本文以人教A版选修第二册《导数的应用：导数与函数的单调性》探究活动课为例，阐述笔者基于“问题链”学教模式下的教学设计及思考。

《导数的应用：导数与函数的单调性》探究活动课实录

本节内容取自人教A版选修第二册5.3《导数在研究函数中的应用》，该节是在必修第一册通过函数的图象直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、奇偶性、周期性以及最大（小）值等性质。而本章的前两节也刚好学习了导数的概念、运算，让学生接触了导数是关于瞬時变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化情况，也知道了导数的几何意义。那能否利用导数定性研究函数的性质呢？如果可以，那又如何来判断呢？

在前面第一课时已经有一定基础的情况下，笔者采用了问题链的形式来组织此节第二课时的课堂教学，让知识的呈现得以层层深入，培养学生的数学思维，发展学生的逻辑推理、数学运算、直观想象等学科素养，使得学生能够把控整体、架构知识体系，同时也提高学生的分析解题能力。

根据函数的导数的几何意义可知，若函数y = f（x）在区间

（a， b）内可导，则：

（1）若f '（x） > 0，则f（x）在区间（a， b）内是单调递增函数;

（2）若f '（x） < 0，则f（x）在区间（a， b）内是单调递减函数;

（3）若恒有f '（x） = 0，则f（x）在区间（a， b）内是常数函数。

切记：讨论函数f（x） = x2 + 2x - 3lnx + 1单调性前务必先讨论定义域。

例题1：讨论函数f（x） = x2 + 2x - 3lnx + 1的单调性。

知情分析：学生在前面的基础上已经掌握了基本的数学知识，可以由函数本身性质可知定义域为{x|x > 0}，且在定义域上的图象是个连续不断的曲线，因此可以利用导数的正负来判断函数的单调性。

解析：由题意可知，f '（x） = x + 2 -  = ，

令f '（x） = 0，由于x > 0则x2 + 2x - 3 = 0，解得x = 1或

-3。当x∈ （0， 1）时，f '（x） < 0，则f（x）为减函数;当x∈ （1， +∞）时，f '（x） > 0，函数f（x）为增函数。

∴ 函数f（x）的单调增区间为（1， +∞），单调减区间为（0， 1）。

思考：在讨论函数的单调性时，常常回归到解不等式的问题，而解不等式又要依赖于相应的函数的性质和对应的方程的根的求解问题。

进一步思考：从刚刚的结论可以发现，函数的单调性常常因为定义域的限制而受到限制。（上题中对应方程的根是-3被舍去，讨论单调区间也是从x > 0开始）

因此，我们抛出：

问题链1：若条件改为：讨论函数f（x） = x2 - 3x + 2lnx + m （m∈R）的单调性。

设计意图：同样是求单调性，求导后也不含有参数，但是创设这样的数学情境，有助于学生进一步掌握数学的本质，学会用发展的数学眼光来看待问题，培养学生的数学思维能力，让其可以“跳一跳”，也“摸得着”，进一步尝试用数学思维思考问题，这对培养学生的直观想象、数形结合、数学运算和逻辑推理有极大的好处。

思考：这里虽然提到了参数m，但是对函数求导后发现与参数m的具体取值并无关系，这是因为参数m放在常数位置上，求导后为0，这也为后面的讨论埋下了伏笔。

问题链2：若条件增加了“x > 3”，这样单调性又当如何？

再次思考，我们就会发现得到一个可导函数的单调性时，常常借助导数在对应区间的正负零来判断，而这些区间就是等待我们师生共同去发现的。

问题链3：讨论函数f（x） = x2 - 3x + 2mlnx + 1 （m∈R）的单调性。

设计意图：与上面不同的是，多了参数m，定义域不变，学生马上讨论起来，结果发现求导后同样是讨论分子的正负零，但是含有参数后，根的情况马上变得复杂起来。在学生为主体的情况下，深挖题目潜藏的数学本质，使得学生积极参与课堂，成为数学活动经验的感知者和体会者。

问题链4：如果条件增加为当x > 1结论又有什么变化？

从问题链3的探讨中可以发现，师生都应该从上述的结论当中得到经验和活动体验，很快就可以发现，对应方程要是没有实根，单调性很明显;如果有实根时，那需要界定两根与1的大小关系，这就极大地锻炼了学生逻辑推理和数学运算的能力，培养学生了学生分类讨论、函数与方程的思想以及数形结合的数学技能，促使学生数学学科素养的形成。

问题链5：如果条件增加为当x > m （m>0）结论又有什么变化？

与此同时，我们应该让学生来提出问题，使得数学知识的呈现更加具有创新性和主动性，促进学生学习数学的兴趣，也让学生在问题链的设置中发现知识与能力环环相扣，主动参与教学活动，获取数学经验，达到理解数学的应用性，尝试得出相应的数学技能的通性通法，强调数学的本质，把学生推向更高的层次，学生得到了鼓舞和推动，跃跃欲试，把课堂气氛逐渐推向高潮。然后，我们引导学生观察，发现如果再次改变参数m的位置，我们又当如何去讨论单调性呢？

问题链6：讨论函数f（x） = x2 - 3mx + 2lnx + 1 （m∈R）的单调性。

设计意图：同前面类似，我们需要知道这个可导函数在某区间的正负来确定单调性，但是改变了参数m的具体问题，引导学生注意参数引起了根的变化。

参数m的位置改变后，学生可以发现，求导后的对应的二次的函数的开口方向是固定的，但是零点需要进一步来探讨，这样我们探讨函数的单调性就触及了学生的“最近发展区”，促使学生的深度学习，数学知识的内在联系得以呈现、规律得以总结，而数学的学科素养得以养成。

通过上面的问题链发现，如果再次改变参数m的取值范围的话，单调区间又会有怎样的变化呢？

问题链7：讨论函数f（x） = x2 - 3mx + 2lnx + 1 （m∈R）的单调性。（同样地，把主动权交给学生，请同学们提出问题，设置参数m的取值范围，并求单调区间）。

例如：将条件“m∈R”改为“m ≤ 4”，结论又当如何？

学生很快就可以发现：参数m的大小使得问题的讨论更加细腻、更加深入，这样我们可以抓住学生对数学的理性认识，在内容的理解上、在现在的课堂的内容的呈现上做到深挖和细耕，这样为教学“果实”的丰收埋下伏笔。

问题链8：结合上述的讨论，这个时候再次请同学们设置定义域的取值范围，结论又有什么变化？

生：例如：补充条件x > 3，结论又当如何？

美籍德国数学家魏尔说过，数学是关于无限的科学。陕西师范大学罗增儒教授说，数学思想是对数学知识内容及其使用的方法的本质认识。古人亦有云，不愤不启，不悱不发。此时的举一反三，充分发挥了教育教学的德育功能，使得我们对数学的认识从有限到无限、从特殊到一般，充分理解并掌握此种蕴含的数学思想，贯彻落实“立德树人”的人生观、世界观和价值观的培养。

问题链9：从上面的讨论继续出发，如果同时改变定义域和参数m的取值范围，结论是不是又有什么变化呢？同学们自发提出问题、研究问题、尝试探究，最后师生共同完善相关的结论。

生：例如：补充条件x > 3，并将条件“m∈R”改为“m > 4”结论又当如何？结论是显然的。

到了这里，再点一把火，燃起学生求知欲的熊熊大火，学生急切地渴望着更多的成就。老师再次提出改变参数m的位置，结论又会发生什么样的变化呢？

问题链10：讨论函数f（x） = mx2 - 3x + 2lnx + 1 （m∈R）的单调性。

可以发现令导数为0时，参数m被放在了二次项系数上，这个时候需要讨论它是否为一元二次方程以及相关的根的问题。

至此，细心的同学可能又会发现，如同上述的问题链很相似，改变参数m的大小是否马上得到函数的单调性呢？

问题链11：主动权交在学生手里，生：将条件“m∈R”改为

“m ≥ 4”，结论又当如何？

从问题链10的讨论中很快可以得出结果。

这样又衍生出一个新的问题，如果仅仅改变定义域，结论又当有如何变化？

问题链12：生问：在原来问题链10的基础上，增加条件“定义域为（1，+∞）”。

思考：改變定义域后，问题就复杂多了，原因是除了需要考虑根与1的大小关系，还要考虑对应函数的开口方向。

那问题来了，如果同时改变了定义域和参数m的取值范围，单调性又有何变化呢？请同学们继续提出问题，思考“节点”，处理“转折点”，并加以研究和探讨。

问题链13：生问：在原来问题链10的基础上，增加条件“定义域为（3，+∞）”和m < 1。当学生提出这个问题时，师生其实都发现了一个规律，我们只需要注意Δ>0时，根与3来比较即可。

因此，本节课通过一系列的问题链来带动函数单调性进行深入的探讨，倡导学生深度学习，发掘数学本质，积极地用数学眼光来观察，用数学思维来思考，领悟数学思想方法，总结出分类讨论、数形结合、函数与方程的思想等在此中的作用和意义，数学学科的核心素养自然而然得到了落实。

因此，一个好的问题链的设计应该目标明确、系统连贯、难度适度、启迪创新;一个好的问题链设计决定了学生思维的深度和广度，而这节课充分突显了问题链的优势，使得数学课堂学教高效而又深刻。

回顾与反思

整节课的设计是围绕求函数的单调性来展开的，问题链的设计从简单到复杂，从特殊到一般，从定义域和参数的变化入手，由浅入深，逐层分析，层层深入，由此及彼，循序渐进，从学生的“最近发展区”到“有思维深度的问题设计”，有效地沿袭由单元向主题发展的主线，进一步激发学生的学习兴趣、热情以及潜能，触发学生思维的火花，使得学生更加全面、更加深入地理解数学本质，感知数学之美，课堂更加生动有趣，教学效果更加显著，与此同时改变了以往高中数学课堂给人们单调、枯燥的印象，优化了课堂教学，提高了效率。

至此，“柳暗花明又一村”，只要学生有想法，敢想敢为，“众人拾柴火焰高”“守住初心，方得始终”，可以把含参数的函数的单调性的探讨如丝纱般一层一层地剥开，窥探数学之美，而这结果的形成，依赖于“问题链”的牵引。问题链的深度设计，使得数学学科知识的呈现有为有度、层层深入、环环相扣，促使学生理解数学知识的发展与变化及其延伸、深化数学知识内涵、掌握相应的数学技能技巧、领悟数学思想方法，使得学生能够积极参与数学活动并获取相关经验，而数学学科核心素养的培养在课堂教学中也就得到了落实。