浅析如何应用类比法攻克高中数学“多”和“难”两座大山

刘天明

[摘  要] 应用类比法可以将相关或相似的内容进行串联，形成清晰的知识脉络，进而实现化多为少;同时，应用类比法是在原有认知上的一种新知建构，这样从熟悉的内容出发，有助于淡化新知的抽象感和陌生感，进而实现化难为易. 可见，应用类比法可以有效攻克高中数学“多”和“难”两座大山，促进学生学习能力的提升.

[关键词] 类比;化多为少;化难为易

数学知识具有较强的逻辑性，前面所学的内容往往是后面学习的基础，为了便于知识的迁移和内化，在教学中要多关注新旧知识点的联系，从而引导学生建立完整的知识体系，形成良好的认知结构. 良好的认知结构应具有一定的层次性和关联性，而要形成良好的认知结构需要在教学中采用一些手段，类比法就是行之有效的教学手段之一. 通过类比不仅可以发现数学知识之间的内在联系，形成结构清晰的知识脉络，而且通过类比有助于知识的深化，提升学生的思辨能力. 教学实践表明，培养学生良好的认知结构是數学教学的一项重要任务，是后续学习的核心条件，是培养学生逻辑分析能力的前提和关键. 基于此，笔者选取了在“不等关系”教学中的几个片段，展示了类比法的重要价值，以期共鉴.

[?]教学活动设计

1. 新旧类比，形成良好的认知结构

【教学片段1】

师：当你看到“不等式”这个标题时，你感觉这个内容与之前学习的哪些内容可能存在一定的联系呢？

生1：一元一次方程.

生2：一元二次方程.

生3：一元一次不等式.

师：大家说得很好，这些内容确实与今天要学的知识密切相关. 生1和生2说的方程是等式，生3说的是不等式，看来大家已经将“等式”与“不等式”建立了联系，已经形成了一个“认知链”，本节课就顺着这个思路开启我们的探究之旅.

师：现在先回忆一下与等式相关的知识，你能列举一个关于恒成立的例子吗？

生4：（a+b）2=a2+2ab+b2.

师：很好. 如果让你列举一个关于解等式的例子，你会想到什么呢？

生5：方程. 比如……

师：很好，其实我们在研究等式时主要就解决了两个问题：一是恒成立问题，二是解方程. 猜想一下，研究不等式主要是哪些内容呢？

设计意图：对于“如何研究不等式”这一问题，教师并没有开门见山地提出，而是先让学生回顾“如何研究等式”，在教师的引导下总结和归纳出研究等式的主要内容，然后通过类比推出研究不等式的主要内容是证明不等式恒成立和解不等式. 巧妙地通过类比法引入主题，不仅让学生了解到了要研究的主要内容是什么，而且与之前所学的知识建立了联系，这样便于学生将不等式的内容内化至已有的等式认知体系中，从而形成良好的认知结构.

2. 类比性质，提升学生的思辨能力

【教学片段2】

师：若a=b，则ac=bc，这个等式恒成立吗？

生齐声答：恒成立.

师：很好，那么类比上面等式的性质，你联想到了什么呢？

生6：若a>b，则ac>bc.

师：很好，现在请大家验证一下，这个不等式是否恒成立呢？（问题给出后学生积极地进行实验，利用特殊值法很快得出了答案）

生7：不一定成立. 这个不等式是否成立与c值有关：若c>0，则不等式成立;若c≤0，则不等式不成立.

师：非常好. 看来大家观察得非常仔细，对于很多相同或相似的问题要仔细推敲，切勿盲目套用，这是在类比推理和知识迁移时必须关注的问题.

设计意图：在教学中发现很多学生学习时过于表面化和形式化，缺乏良好的思辨能力，当遇到形似的问题时就喜欢照抄照搬，从而因忽略了问题的本质而造成了错误. 比如，由等式的性质“若a=b，则ac=bc”，直接进行形式类比，得到“若a>b，则ac>bc”这一错误的结论. 教学时，教师故意预设陷阱，引导学生进行验证和反思，进而启发学生在应用类比法时要避免出现形式类比，要学会深入问题的本质去思考问题，从而培养学生思维的深刻性和全面性.

3. 类比方法，提升自学能力

【教学片段3】

师：大家一起分析了不等式与等式之间的联系，生3还提出了一元一次不等式. 确实，初中学习的一元一次不等式为我们下面的探究提供了坚实的基础. 现在一起回顾一下与一元一次不等式相关的内容.

师：以求x+1<0的解集为例，如果通过函数图像进行研究，你能简单说明一下具体的过程吗？（教师预留时间让学生回忆旧知，并组织好数学语言进行准确的表述）

生8：首先，构造一元一次函数，即将不等式x+1<0转化为函数y=x+1;接下来，绘制函数y=x+1的图像，令y=0，可知图像与x轴的交点为（-1，0）. 要使x+1<0，即使y<0. 观察函数y=x+1的图像及其与x轴的交点容易得出：当x<-1时，对应的y值恒小于0. 由此可得不等式x+1<0的解集为x<-1.

师：说得非常好，思维清晰，语言表达准确. 那么如何求一元二次不等式x2+2<3的解集呢？

生9：首先将x2+2<3变形，转化为x2-1<0，这样方便求解.

师：说得很好. 类比一元一次不等式的求解过程，请小组合作探究x2-1<0的解集应该如何去求. （教师预留时间让学生进行组内交流）

生10：同前面所学的方法一样，首先构造一元二次函数y=x2-1，并作出该函数的图像;然后令y=0，该函数与x轴的交点为（-1，0），（1，0）. 要使x2-1<0，即使y<0，结合图像可知：当-1

设计意图：很多数学知识之间存在着一定的关联性，解题方法也存在一定的相似性. 因此，要让学生明白在学习中要善于观察这些相似或相关的问题，才能顺利地实现知识迁移. 同时，通过类比有助于学生提升自主学习能力，这对学生来讲是至关重要的，只有学会学习才能在解决问题时毫不费力. 在一元二次不等式解法的探究中，教师将主动权交给学生，让学生自主回顾初中学过的利用图像法求一元一次不等式解集的过程，尝试在原有的认知结构的基础上进行知识迁移，从而发现一元二次不等式的求解方法.在回忆和探究的过程中充分发挥学生的主体地位，提升学生的解题信心.

[?]教学反思

“不等关系”是“不等式”章节的第一课时内容，教材里的内容并不多，部分教师讲授本节课内容时常感觉无内容可讲，为了提高教学进度常将其与第二课时内容合并在一起进行讲解，还有部分教师应用大量的实例让学生感受不等关系，这样的教学方式显得急于求成和枯燥乏味了. 笔者在教学中利用类比法组织教学，在原有的课本内容的基础上略有提升，不仅引出了本章的主题，而且还带领学生分析了本章的主要教学内容和研究方法，让学生先从整体上形成对不等式的认识，这样不仅有助于学生后期完善良好的認知结构，而且为后续教学奠定了坚实的基础. 但在应用类比法时还需要注意以下两点：

1. 关注原有的认知结构

数学知识之间具有一定的关联性，新知并非是孤立存在的，而是在原有认知结构上的知识建构，因此在探究时要善于调动原有认知. 类比法就是利用原有认知为新知探究架桥铺路的，这样不仅可以使原有认知得以深化，而且还能丰富原有认知，便于知识体系的完善和新知的内化. 如在探究一元二次不等式时就是以一元一次不等式的研究方法为起点的，为新知的探究提供了重要的参考依据. 在教学中，要重视原有认知的开发和利用，引导和启发学生运用类比法完成新知的建构，这样有助于提升学生学习的积极性，有助于学生提升自主学习能力.

2. 提高可辨别性

数学知识虽然存在着千丝万缕的联系，然问题本质往往又是千差万别的，所以提升认知结构的可辨别性是类比学习的一项重点内容. 若不重视知识之间的区别，解题时就容易出现张冠李戴，那么将失去类比学习原有的价值. 比如，根据“若a=b，则ac=bc”推导出“若a>b，则ac>bc”，这种迁移就是一种负迁移，这种现象在教学中应引起教师的高度重视. 教学中可通过设置问题、设计陷阱等手段引导学生反思，进而发挥类比学习的价值，提高学生的思辨能力，实现知识的正迁移.

总之，在高中数学教学中合理应用类比法不仅可以丰富教学内容，而且有助于学生建构和完善认知体系. 教师要善于从学生的原有认知出发，启发和引导学生关注知识之间的区别和联系，让学生可以站在更高处看清学习的内容，最大限度地拓展学生的视野，促进学生不断提升学习能力.