基于认知结构设计教学，促进学生深度学习

徐红兵

[摘  要] 基于对学生认知结构的精准探明和本学科独特价值的清晰把握合理地设计教学，驱动学生在具体的问题情境中进行有意义的探究活动，引导学生深度参与、深度思考、深度建构、深度拓展，促进深度学习的发生，提升核心素养.

[关键词] 认知结构;教学设计;深度学习

当前，国家全面深化课程改革，把培育学生核心素养作为目标追求，这必然需要新的教学理念促进学生学习方式的转变，基于认知结构设计教学，促进学生深度学习是实现这一目标、落实核心素养的重要途径. 本文以“余弦定理”教学为例说明如何基于认知结构设计教学，促进学生深度学习.

[?]以认知结构为本的教学理论

奥苏贝尔讲过，影响学习的唯一的重要因素，就是学习者已经知道了什么. 由此可见，认知结构对教学有着至关重要的影响，学生有意义的学习，总是通过将新的知识与认知结构中已有的相关知识建立起联系而进行的，因此教师应基于对学生认知结构的精准探明和本学科独特价值的清晰把握合理地设计教学，驱动学生在具体的问题情境中进行有意义的探究活动，积极主动建构，不断将新的知识方法有机地纳入自己的认知结构体系中.

[?]以认知结构为本的“余弦定理”教学设计

1. 探明学情

（1）探明学生认知结构中知识的概括性程度.

学生认知结构中已有的与新的学习有关的知识的概括性越高，包容范围越大，迁移的价值也就越大，越有助于学习新的知识. 学生在此之前已经学习了直角三角形中的边角关系和勾股定理、三角函数相关的知识、平面上两点间的距离公式、坐标法的应用、平面向量的线性运算和数量积，其中的向量法和坐标法具有很高的概括性，为学生探究余弦定理提供了相应的知识方法的储备.

（2）探明学生认知结构中知识的可分辨度.

学生认知结构中已有的相关知识与新学习的相应知识的分辨度越高，越有助于实现正迁移、避免干扰，从而有助于新知识的学习. 学生认知结构中的勾股定理研究的是直角三角形中的边的关系，这与将要学习的斜三角形中的边角关系有着明显的分辨度，以此为思维着力点，学生容易联想到化斜为直、化未知为已知，找到探究余弦定理的思路方法.

2. 挖掘余弦定理在数学认知结构方面的教学价值

（1）确认基本的数学观念方法.

余弦定理的探究过程蕴含着丰富的数学思想方法和数学观念，比如化归与转化、逻辑推理、数形结合、方程思想等，通过这些数学思想方法的学习，学生可以形成变换观念、坐标观念、本质结构观念等.

（2）厘清数学认知结构中知识的层级关系.

按照建构新知识的过程中所处的位置和作用，可以将推导余弦定理过程中用到的知识划分为以下的层级关系（如图1所示）：

3. 基于认知结构的“余弦定理”教学设计的关键环节

（1）创设情境，引发思考.

从金字塔的建造到尼罗河两岸的土地丈量，从大禹治水到都江堰的修建等，人们都离不开对几何图形的测量、设计和计算. 例如，测量河流两岸码头之间的距离可以转化为求三角形的边的问题：如图2所示，△ABC中，已知AB和CB的长度，∠ABC的大小，求AC.

设计意图：新课标倡导以主题为引领，使问题情境化，创设合适的问题情境，可以引起学生研究问题的兴趣，启发学生用数学的眼光观察问题，用数学的思维思考问题.

（2）设置活动，驱动思考.

如果上述三角形是直角三角形，可以直接使用勾股定理或直角三角形中的銳角三角函数求解，但是许多情况下，提出的三角形都不是直角三角形，那么任意三角形的边和角之间存在怎样的关系？

师：根据同学们现有的知识结构，我们可以怎样研究钝角三角形中的边和角之间的关系？请同学们思考问题1：已知△ABC中，AB=2，AC=2，∠BAC=120°，求BC的长.

生1：因为△ABC是等腰三角形，所以作底边BC上的高AD，在Rt△ABD中解出BD的长，进而解出BC的长.

师：很好，利用等腰三角形的性质，将钝角三角形转化为直角三角形求解. 同学们再思考问题2：已知△ABC中，AB=2，BC=4，∠ABC=60°，求AC的长.

生2：过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中解出AD=，BD=1;在Rt△ACD中，利用勾股定理解出AC=2.

生3：过点A作AD⊥BC于D，利用勾股定理列方程组BD2+AD2=22，

CD2+AD2=AC2，两式相减得CD2-BD2=AC2-4. 又BD=1，BC=4，所以CD=3，代入上述方程解得AC=2.

师：很好，同学们通过作高，将斜三角形转化为两个直角三角形，利用直角三角形中的锐角三角函数和勾股定理解决了问题. 请同学们思考更为一般的问题3：如图3所示，△ABC为钝角三角形，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a，c和B，求b.

生4：可以过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD和Rt△ACD中应用勾股定理可得BD2+AD2=AB2，

CD2+AD2=AC2，即BD2+AD2=c2，

（a-BD）2+AD2=b2，解得BD=. 又BD=ccosB，所以ccosB=，化简得b2=a2+c2-2accosB.

设计意图：先从特殊的三角形出发，引导学生利用化斜为直，将钝角三角形转化为直角三角形，化陌生为熟悉，再类比上述方法推导出三角形中一般的结论. 通过这个过程的求解，可以让学生体会到数学中由特殊到一般、转化与化归等数学思想的作用，提升学生的数学素养.

师：大家从推导出的结论b2=a2+c2-2accosB中能发现什么？

生5：当角B为直角时，这个等式就是勾股定理.

师：很好，这说明我们得到的这个等式更具有一般性，还能发现这个公式有什么作用？

生6：已知三角形中的两边a，c和它们的夹角B就可以求出第三边b.

师：大家可以用学过的三角形中的知识来解释一下这个结论吗？

生7：根据三角形全等的判定定理“边角边”可知，已知三角形的两边a，c和它们的夹角B，则这个三角形就确定了.

师：很好，我们初中用判定定理“边角边”证明两个三角形全等，通过刚才的研究，还可以定量计算. 请大家观察上式的结构，结合图形，思考等式中的“accosB”和我们学过的什么知识有关联.

生8：两边及其夹角余弦的乘积是向量数量积的定义.

师：既然等式中出现了向量数量积的定义，大家能用向量法再次推导等式b2=a2+c2-2accosB吗？

生9：结合三角形可知，等式的右边“a2+c2-2accosB”是向量“-”的平方，由此可以联想到三角形中的向量等式=-，两边平方可得2=2-2·+2，即b2=a2+c2-2accosB.

师：同学们很聪明啊，能从不同知识的角度思考问题、研究问题. 请大家接着思考：在我们已经学过的知识结构中，研究边长的方法除了平面几何中的线段长和向量中的模长，还有别的方法吗？

生10：边长还可以看成两点间的距离，我们可以建立平面直角坐標系来研究. 为了使点的坐标简单，可以这样建系：以BC为x轴，B为原点，建立平面直角坐标系，则C（a，0），B（0，0），A（ccosB，csinB）. 由平面上两点间的距离公式可得b=，两边平方可得b2=a2+c2-2accosB.

师：非常好，同学们的视野很开阔，能够充分地调动已经学过的知识结构，灵活地研究问题.

设计意图：通过数学结构联想，调动学生认知结构中向量的相关知识，通过设置“问题串”，驱动学生去联想、调动、激活以往的数学活动经验，引导学生积极探究，以融会贯通的方式对学习内容进行组织，建构出自己的知识结构体系，促进学生深度学习.

（3）知识方法的理解和应用.

根据余弦定理b2=a2+c2-2accosB的结构特征，学生初步理解了应用余弦定理可以解决以下两类解三角形的问题：①已知三角形的三边求角;②已知三角形的两边及其夹角，可以求出三角形的第三边和其他两个角.

例1 根据下列条件解三角形：

①已知b=3，c=1，A=60°，求a;

②已知a=4，b=5，c=6，求cosA.

解析：①由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=32+12-2×3×1×cos60°=7，即a=;②由余弦定理得cosA===.

（4）反思总结，提升素养.

本节课强化化斜为直的转化方法，突出方程（组）思想在求值类问题中的应用;通过结构类比，联想到向量的相关知识，使用向量数量积的方法证明了余弦定理;再运用坐标法，推导出余弦定理，建构了完整的知识方法体系.

[?]促进深度学习的发生

深度学习是学生根据学习活动去联想、调动、激活以往的经验，以融会贯通的方式对学习内容进行组织，建构出自己的知识结构，是一种理解性的学习. 通过基于认知结构的教学设计进行教学，可以促进学生深度学习的发生，主要表现在以下几点：

1. 创设问题情境，引导学生深度参与

当学生面对陌生的复杂问题时，表现出能够创造性地分析、较快地形成解决思路、迅速地进行决策、快速地整合资源解决问题的可迁移的素养，是深度学习学科育人的追求. 这种素养是学生解决具体问题的实践中形成和发展的，中间的重要载体就是问题情境.

根据学生已有的认知结构，创设恰当的问题情境，激发学生认知结构中的元认知，引导学生深度参与新知识的探究思考. 本节课设置了生产生活中测量距离的问题，引导学生用数学的眼光观察问题，将实际情境抽象为解三角形的问题，深度参与知识的探究活动.

2. 设置探究问题，驱动学生深度思考

在数学学习的过程中，超越具体知识和技能深入到思维层面，由具体的数学方法和策略的学习过渡到一般性的思维策略和思维品质的提升，是学生深度思考的重要特征.

设置恰当的问题，通过反问、追问与提出新的问题驱动学生深入思考. 本节课以直角三角形作为思考的逻辑起点，通过“问题串”的形式不断追问学生，驱动学生探究问题，引导学生化斜为直，利用勾股定理构造方程组，推导出余弦定理.

3. 开展交流活动，引领学生深度建构

开展交流活动，在活动中碰撞出思维的火花，引领学生深入互动交流，实现深度建构. 本节课利用勾股定理推导出余弦定理后，引导学生观察、分析余弦定理的结构特征，通过小组讨论、合作探究等活动，促进学生与任务、学生与学生、学生与教师之间深入互动交流，完善向量法和坐标法的应用，重新证明了余弦定理.

4. 做好总结反思，促使学生深度拓展

数学能力的发展主要指通过高层次的抽象实现思维能力的发展. 数学的学习是一个不断优化的过程，是学生的一种自觉行为，这需要教师帮助学生学会总结反思和再认识，促使学生深度拓展.

本节课中教师应教会学生做好总结反思，帮助学生建立这样的认识：余弦定理的推导是化归思想的应用，向量法的应用是联系变化的思想，形成结构化的认知，总结出研究线段的方法体系，并以此为基础尝试推导出正弦定理.

[?]结语

总之，教学不能无中生有，更不能将知识硬塞给学生，基于认知结构的教学设计要符合学生的认知规律，要将学生认知结构中与教学内容相关的知识方法作为教学设计的起点和主线，这将有助于引导学生充分地调动自己的知识结构，多维度地思考和分析问题的解决思路和方法，主动建构知识体系，发展高阶思维，促进深度学习的发生，提升数学核心素养.