结伴而行 协同发展

严勇

[摘  要] 随着时代的进步，现代教学中越来越重视学生独立思考能力和自主探究能力的培养，而这些能力的培养离不开思维能力的培养. 直觉思维和逻辑思维作为数学思维的两种基本形式自然应引起师生的足够重视. 文章借助同课异构课例的课堂教学活动呈现了两种基本形式的辩证关系，以期两者可以相互补充、相互促进，从而引导学生深入问题本质理解知识、理解数学，进而实现思维能力和学习能力的全面提升.

[关键词] 直觉思维;逻辑思维;辩证关系

直觉感悟是逻辑分析、逻辑推理的起点和风向标，其为逻辑演绎提供了动力源，不过直觉感悟所产生的结果有一定的模糊成分，存在一定的主观性，因此需要借助逻辑思维进行澄清和确认，从而使直觉所产生的结果更加深入、具体、准确. 同时，通过逻辑分析和推理往往可以挖掘出一些潜在的信息，其在一定程度上也为直觉思维的产生提供了必要的、可靠的条件. 可见，两者形成了辩证的互补关系. 然在现实教学中，大多师生往往重视逻辑思维能力的培养，而忽视了直觉思维的价值，从而使得学生在分析和解决实际问题时显得力不从心. 正如新课程标准要求的那样，既要重视学生逻辑思维能力的培养，又要重视学生观察能力、直觉能力和想象能力的提升，可见直觉思维的培养已成为新课程的一项重要任务.

笔者以具体解题教学为例，呈现了直觉思维与逻辑思维协同发展对深化数学知识理解、促进解题能力提升的重要应用，以期共鉴！

[?]同课异构课例

学生思维能力的发展主要依赖“用”，教师应启发学生将直觉思维和逻辑思维应用于具体的学习实践中，便于学生能够更好地理解与把握问题的本质，从而顺利求解问题. 在具体教学实施过程中，教师要认真备课，不仅要熟悉教材内容，还要熟悉学生，结合具体学情有针对性地取舍、合理地安排，从而达到较好的教学效果，促进学生思维能力不断提升. 笔者在一次公开课中，有幸地听取了两位教师关于同一问题的讲解过程，现呈现给读者，希望各位在具体的教学实践活动中能够有所感悟，切身体会直觉思维与逻辑思维的辩证关系.

1. 师甲教学实录

例1 求证：++…+

师甲：大家思考一下，看看例1这个不等式该如何证明.

（听课班级学生的基础较为薄弱，教师没有任何铺垫就让学生完成本题的证明显然遇到了障碍，教师给出问题后，没有得到学生的回应）

师甲：在解题时大家都会受求简思维模式的影响，总是想将左边進行化简，你们是不是也是这样想的呢？

生1：是的，不过没有找到简化的方案，没有得到具体的表达形式.

师甲：既然不能将不等式的左边转化成我们想要的形式，那么接下来需要怎么办呢？（学生深思，但并没有找到合理的解决方案）

师甲：既然从左边化简难以入手，我们不妨转换一下思路，从右边进行建构，那么lnn如何能够转化成形如左边的表达式呢？如何将lnn进行分解呢？如果将lnn分解为一个数列的前n项和的形式，是否能够实现呢？（教师通过问题的引导为学生逐渐扫清思维障碍）

生2：我认为可以这样进行转化，因为lnn=ln

·

·

·…·

·=ln+ln+…+ln+ln，于是只要证明++…+

师甲：你们有好的方法来证明

生3：可以将不等式

1+

，设=x，则由n≥2，n∈N，知0

通过师生交流虽然解决了问题，然从课堂反馈和课堂活动来看，学生探究的积极性并没有被激发，而且解决问题的关键几步都是教师通过灌输的方式给出的，这也就失去了问题情境启发学生思维、培养学生思维创造性的价值了.

2. 师乙教学实录

师乙在教学过程中，同样让学生独立思考并寻找解题方案，然根据课堂反馈来看，对关键步骤的处理学生还是有些迷茫，因此师乙做了如下引导：

师乙：《西游记》大家看过吗？

生齐声答：看过.

师乙：孙悟空与一群妖怪作战时，用了什么技能？

生齐声答：分身术.

师乙：很好，他只要从身上拔下几根猴毛一吹，就变成了同等的分身，这样可以与妖怪一对一作战. 结合孙悟空打斗的场面联想不等式，你会想到什么？

生4：我想到了既然刚刚的简化行不通，不如像悟空一样把整体进行分解. 即把不等式右边的lnn看作悟空，左边的各项看成妖怪，可以将lnn转化为与，，…，同样多的项数的和，然后一对一比较，最终证明不等式成立.

师乙：说得非常好！那么生4的这个想法如何实现呢？悟空该如何分身呢？

生5：将lnn变形为一个数列的前n项和的形式. 可设lnn=a+a+…+a+a，由n≥2，n∈N，知ln（n-1）=a+a+…+a，a=lnn-ln（n-1）=ln，于是lnn=ln+ln+…+ln+ln，即要证明

接下来的探究过程与上述基本雷同，这里就不再阐述了. 从以上课堂反馈来看，通过情境的引入，激发了学生探究的热情，顺应了学生思维发展，使不等式的得出更加顺畅，有助于学生创造性思维的发展. 不过，值得注意的是，在师乙的教学过程中，其实生5的思维活动是不严谨的，生5所设的lnn=a+a+…+a+a共有n项，而原不等式是n-1项，因此并不是一对一的关系，可见思维活动结果存在一定的瑕疵，师乙在此次教学中并没有及时地指出来，使教学过程留有遗憾. 数学是一门严谨的科学，教学过程中要关注思维的严谨性，切勿因为没有影响解题效果就放之任之，久而久之容易造成思维混乱，不利于思维的发展.

基于以上问题，师乙后来进行了一些改变，引导学生继续探究：

例2 求证：++…+<（n≥2，n∈N）.

問题给出后，大多数学生按照生5的思路求解，设不等式的右边=a+a+…+a+a，由n≥2，n∈N，知=a+a+…+a，两式相减得a=，代入原不等式，即证明++…+<++…+成立，即证明<成立. 分析至此，学生会发现不等式<显然是不成立的.

生6：是不是题目出错了呢？（很多学生都有这样的疑惑）

生7：原不等式是成立的，不过我没有用生5的方法证明.

师：说说你是怎么求解的？

生7：因为<=1-，<=-，…，<=-，将式子的左右两边分别相加，得++…+<1-+-+…+-=1-<1-=. 由此可知不等式是成立的.

师：很好，从生7的证明过程来看，题目是没有问题的，难道刚刚的解题方法失效了吗？大家仔细想一想到底哪里出了问题呢？（学生陷入沉思）

生8：我发现问题了，原来不等式的左边是n-1项之和，而我们刚刚设的是n项之和.

生9：那证明例1的时候也是这样设的怎么没有问题呢？

生8：因为例1中lnn=ln+ln+…+ln+ln没有严格执行lnn=a+a+…a+a的形式，其实是从n=2开始取值的，依然是n-1项. （听到生8的解释，大家恍然大悟）

师：那么例2是否可以按照刚刚的解题思路继续求解呢？

生8：可以. 设=a+…+a+a，则由n≥2，n∈N，知=a+…+a，两式相减，得a=. 又=++…++，且>0，所以++…+<，于是只要证明<（n≥2，n∈N）成立即可. 这个不等式显然成立，因此原不等式成立.

这样，借助反例引发了认知冲突，学生不仅发现了在例1证明过程中存在的不足，培养了思维的严谨性，而且在此过程中学生自我发现、自我探究、自我解决，培养了思维的深刻性，提升了学生实际解决问题的能力.

[?]教学反思

在师甲的教学过程中，学生运用直觉思维通过观察联想到了对数的运算性质，从而将lnn分解成了n-1项的和;师乙的教学过程则是将直觉思维转化为逻辑思维，运用了逆向思维. 前者更有利于发现活动，而后者更具说服力，两种解法没有优劣之分，而是相辅相成. 在教学过程中教师要两者兼顾，让直觉思维与逻辑思维相伴而行，这样既能让学生认清问题的本质，又能发散学生的思维，从而促进学习能力的不断提升.

另外，在解题中发现，师甲在教学时采用了开门见山式的直接讲授模式，其在关键步骤的处理上以师为主，这样的解题活动是机械的，只能培养学生解题技能和解题技巧，并没有较好地启发学生的思维. 对于师乙，当学生遇到思维障碍时，借助故事情境诱发学生思考，促使学生采用逆向思维去分解lnn，在此过程中充分地调动了学生学习的积极性，然若细细品味会发现其实质与师甲相同，也是一种奉献的方法，探究的层次不够清晰，对于一些基础薄弱的学生来讲依然是雾里看花. 其实，当学生的思维受阻时，教师可以通过创设一些小坡度的问题引导学生去自主探究和发现，如让学生解不等式+<，引导学生将变形为+=+，从而将不等式变形为+<+，引导学生根据典型特例的结构特点，产生“分项比较大小”的数学思想方法，进而通过由浅入深、由现象到本质的逐层引导，帮助学生理解并掌握解题方法，形成解题能力.

总之，在解题教学中，技能与技巧固然重要，然让学生在解题过程中产生数学观念、形成数学思想方法更为重要，因此在具体教学活动中，教师要改变灌输式的教学模型，善于从问题的本源出发，通过循序渐进的引导让学生真正地理解数学，从而形成正确的解题方法，促进解题能力提升.