回归数学教材 重视习题探究

袁涛 贺文

［摘  要］ 教材是实现课程目标、实施课堂教学的重要资源，高考中的很多试题都是来自教材习题的变式与重组. 文章以教材为“源”，通过对一道圆锥曲线练习题的探究与猜想，总结出“双k法”的一般性结论能够广泛应用于“弦中点”类问题求解. 学生在习题的探究过程中可以深化对问题的理解，实现对问题本质的认识，如此方能实现数学的发展.

［关键词］ 数学教材；习题探究；圆锥曲线；弦中点

[?]问题背景

随着新一轮课程改革的稳步推进，“多考一点想，少考一点算”逐渐成为命制高考数学试题的一条基本理念，更多以能力立意命制的试题出现在学生的面前. 这既是立足于培养学生具有终生发展的必备品格与关键能力，也是使得学生从标准答案与题海战术中解放出来的关键. 源于教材，高于教材，是高考试题的真实写照［1］. 回归教材，回到课本，是遵循教育规律、办好教育的根本所在. 数学教材为学生的学习活动提供了主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标，实施数学教学的重要资源［2］. 同时，教材是制定教学大纲和高考考试大纲的基本依据，只需稍微注意，不难发现近几年的数学高考试题都有不少源于教材本身的一些题目，这些试题所呈现出的“样貌”是教材中的例题、习题的变式与重组. 可见，教材中的试题值得教师和学生深入研究，并且具有多数练习资料所不能比拟的作用. 深度挖掘教材中的习题，避免机械重复的试题训练，是减轻教师负担、减少师生学习压力、学生深度掌握知识的有效途径.

文中笔者以椭圆章节的一道练习题为伊始，通过对该习题进行探究发现，从题目中得出的结论能够广泛应用于圆锥曲线“弦中点”类问题求解，且在圆与双曲线章节中存在同类型题目，反映出了试题的解法源于教材、高于教材且应用于教材的特点. 因此，笔者特别整理了此问题，同大家分享.

[?]“源”题呈现

题目1 （新人教A版高中数学教材第116页“拓广探索”第14题）已知椭圆+=1，一组平行直线的斜率是.

（1）这组直线何时与椭圆相交？

（2）当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在同一条直线上.

分析：本题第（1）问研究的是直线与曲线的交点问题，因此只需设出直线方程并联立椭圆方程，消去一个未知量，根据一元二次方程有两解的情况即可求解. 这也是解决交点问题的常规思路. 第（2）问是“弦中点”问题，一般采用的方法是“点差法”；而本题中的直线斜率已知，因此可以根据第（1）问的直线与曲线联立后的结果更快地得出答案.

解析：（1）设这一组平行直线的方程为y=x+m，将直线方程代入椭圆方程，可得9x2+4

x+m2=36，整理得18x2+12mx+4m2-36=0. 由直线与椭圆相交可得判别式Δ>0，因此144m2-72（4m2-36）>0，解得-3

（2）证明：由第（1）问中的直线方程与曲线方程联立后可得18x2+12mx+4m2-36=0，则两根之和x+x=-=-m，因此可得弦中点的横坐标x=-m；由直线y=x+m可得弦中点的纵坐标y=m. 因此弦中点的坐标为

-m，m

. 由

x=-m，

y=m，消去m可得y=-x，则这组平行直线被椭圆截得的线段的中点在直线y=-x上.

反思：求解第（2）问后，笔者发现直线被椭圆截得弦的中点与原点连线的斜率与原直线斜率的乘积与椭圆的方程有关，暂且设弦中点为M，弦两端点为A，B，则有k·k=×

-=-，而这里的4和9正好是椭圆+=1的短半轴平方（b2）和长半轴平方（a2）. 那么这是不是一个巧合呢？两者之间是否存在必然的联系？

猜想1：椭圆+=1被直线y=x+m截得弦的中点M与原点连线的斜率k与原直线的斜率的乘积为定值，且为-=-.

证明：设椭圆+=1与直线y=x+m相交于点A（x，y），B（x，y），线段AB的中点为M（x，y），由题意可得+=1，+=1，两式相减可得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0①.

因为点M（x，y）是线段AB的中点，所以x+x=2x，y+y=2y，①式可以整理成-=·=·. 因为k=，k=，所以-=·=k·k，即直线AB的斜率与直线OM的斜率的乘积为定值-.

从上面的证明过程可以看出，在求解的过程中进行移项整理，可以得出两直线斜率乘积的形式，并且这个斜率乘积为定值，这个定值与椭圆的a，b有关.

猜想2：当焦点在x轴上时，对于一般的椭圆方程和斜率存在的任意直线，当直线与椭圆相交于A，B两点时，线段AB的中点M（即弦中点）与原点连线的斜率与直线的斜率的乘积是否为定值，即k·k=-？

已知椭圆+=1（a>b>0），O为坐标原点，过点M（x，y）且不平行于坐标轴的直线l与椭圆相交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则有k·k=-÷= -.

证明：设椭圆与直線l的交点为A（x，y），B（x，y），线段AB的中点M（x，y），由题意得+=1，+=1. 两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0，移项整理得-==·k=k·k. 可得k·k=-.

同理可得：当焦点在y轴上时，有k·k=-.

猜想3：椭圆是圆锥曲线中的一种，那么对于不同类型的圆锥曲线方程，是否也会出现弦中点与原点连线的斜率与原直线的斜率的乘积为一个定值的情况呢？

不妨设圆、椭圆以及双曲线这三类圆锥曲线的一般方程为mx2+ny2=1，O为坐标原点，过点M（x，y）且不平行于坐标轴的直线l与圆锥曲线相交于A，B两点，且M为线段AB的中点，则有k·k=-. 当m，n都为正数且相等时，该圆锥曲线为圆；当m，n异号时，该圆锥曲线为双曲线；当m，n为正数且不相等时为椭圆. （由于抛物线的一般方程不能用mx2+ny2=1来表示，并且运用点差法求解时，不会出现斜率乘积的形式，故在此只讨论圆、椭圆以及双曲线三种形式）

证明：设曲线与直线l的交点为A（x，y），B（x，y），线段AB的中点M（x，y），由题意得mx+ny=1，mx+ny=1. 两式相减得m（x+x）（x-x）+n（y+y）（y-y）=0，移项可得m（x+x）（x-x）=-n（y+y）（y-y），整理得-==k·=k·=k·k，即k·k= -.

结论：在可以表示为mx2+ny2=1的圆锥曲线中，对斜率存在的任意直线，若直线与曲线相交，交点设为A，B，弦AB的中点设为M，则弦中点M与原点O连线的斜率与直线AB的斜率的乘积为定值，即k·k=-.

当然，对于题目中所总结的此类二级结论在解答题中不可直接使用，但是遇到此类问题时可以转化到这类思路上进行求解，有了思路后再补充推导过程也是正确的求解方案. 在选择题、填空题中遇到此类问题时，利用此结论（下文简称“双k法”）可较快地求解出正确答案.

3. 拓展延伸

圆锥曲线求解的相关问题中，这样一类“弦中点”问题是一节重要的内容，并且有着不同类型的考查方式. 基于此，笔者进一步探究，发现在圆锥曲线的不同章节中存在“弦中点”类问题，并且此类问题在高考中也有着广泛的应用，都可采用“双k法”进行求解. 因此下文笔者将从探究的角度，以新人教A版高中数学教材中的两道圆锥曲线习题和历年真题中出现的几种“弦中点”类问题为例，探究“双k法”在此类问题中的应用.

1. 教材再探

题目2 （新人教A版高中數学教材第128页“拓广探索”第13题）已知双曲线x2-=1，过点P（1，1）的直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？

分析：此题亦是直线与曲线交点的问题，可以联立直线方程与曲线方程，得出一个一元二次方程，根据韦达定理和中点坐标即可解出直线方程，再根据判别式是否有解进行判定即可；也可以采用本文的一般结论即“双k法”求解.

解析：假设这样的直线l存在，由题可知直线l的斜率k存在，根据k·k=-可得k×1=-1÷

-

=2，所以k=2，可得直线l的方程为y-1=2（x-1）?y=2x-1. 将直线l方程与双曲线方程联立可得x2-=1?-2x2+4x-3=0，根据Δ=b2-4ac=16-4×（-2）×（-3）= -10<0，可得直线l与双曲线无交点，因此P不是线段AB的中点.

题目3 （新人教A版高中数学教材第99页“拓广探索”第14题）如图（略），圆x2+y2=8内有一点P（-1，2），AB为过点P且倾斜角为α的弦.

（1）当α=135°时，求AB的长.

（2）是否存在弦AB被点P平分？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，请说明理由.

解析：略（可用“双k法”求解）.

反思：题目2与题目3同样是圆锥曲线“弦中点”问题，且都能应用出自教材习题本身的结论，体现出了试题的解法源于教材、高于教材并且应用于教材的特点，需要教师与学生一起挖掘其中的价值. 以上三道题目都出自“拓广探索”，这抑或是编者对读者的一种暗示，引导读者进行习题探究.

2. 真题链接

类型1：求“中点弦”所在的直线方程问题.

例1 （2006年北京卷）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的两个焦点为F，F，点P在椭圆C上且PF垂直于FF，PF=，PF=.

（1）求椭圆C的方程.

（2）若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A，B两点，且A，B关于点M对称，求直线l的方程.

解析：（1）椭圆C的方程+=1（解答略）.

（2）圆的标准方程可化为（x+2）2+（y-1）2=5，可得圆心M（-2，1），直线l的斜率k必然存在，由k·k=-可知k·k=-，因为k=-，所以k=. 直线l的点斜式方程为y-1=（x+2），整理得8x-9y+25=0.

评注：此题若联立椭圆方程与直线方程进行计算，除了草稿本上大量的化简过程外，必要的书写步骤也是相对复杂. 计算后通过对比可以发现，运用“双k法”使得求解过程大大简化，并且提高了正确率，避免了大量的代数运算，即使加上推导过程，与传统方法相比也简化很多. 下文所举的题目类型，笔者不再展示求解过程，读者可自行解答.

例2 （2008年北京卷）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1，当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程.

类型2：求曲线方程问题.

例3 （2010年全国卷）已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与双曲线E交于A，B两点，且AB的中点为N（-12，-15），则E的方程为________.

例4 （2013年全国Ⅰ卷）已知椭圆C：+=1（a>b>0）的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标M为（1，-1），求椭圆C的方程.

类型3：求参数的取值范围问题.

例5 （2015年浙江卷）已知椭圆+y2=1上两个不同的点A，B关于直线y=mx+对称.

（1）求实数m的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值（O为坐标原点）.

例6 （2018年全国Ⅲ卷）已知斜率为k的直线l与椭圆C：+=1交于A，B两点，线段AB的中点为M（1，m）（m>0）.

（1）证明：k<-；

（2）设F为C的右焦点，P为C上一点，且++=0，证明：

，

，

成等差数列，并求该数列的公差.

“弦中点”问题考查的题型远不止以上几类，本文只是举出了几种典型的例子进行拓展分析，意不在于题型的归纳，而是方法的总结和本质的把握. 题型千变万化，不变的数学本质本就隐含在习题之中，需要注意的亦是对教材的深入研究.

[?]结束语

数学是模式的科学，数学的本质特征就是在模式化的个体抽象中对模式进行研究［3］. 波利亚认为，在解决一个问题后，要善于去总结一个模式，并把它储存起来，以后才可以随时用它去解决类似的问题，进而提高自己的解题能力. 因此在教学和学习过程中，要善于对教材中的题目进行深度挖掘，总结一般的解题模式，而这正是提高解题能力、获得数学发展的有效途径. 此外，教材是数学工作者集体智慧的结晶，具有很强的学术性、规范性和指导性，回归教材是教师做好教育工作、学生学好数学知识的重要基础. 例题与习题既是数学教科书的重要组成部分，也是数学教学的重要内容［4］. 在教学过程中，教师要对教材进行深入研究，对教材中的例题、习题进行深度挖掘，发现其中隐含的潜在价值；并且适当结合高考试题，对教材中的习题进行变式探究，将课本中的习题链接上高考，把学生从“题海”中解救出来，真正发挥数学教材的教育价值. 通过对教材中的习题进行探究，还可以聚焦对问题的思考和探索，让学生在研究状态中学习，深化对问题的理解，真正实现对问题本质的认识以及对思想方法的领悟，实现在数学学习中持续发展.

参考文献：

［1］  陈炳泉. 从课本题目到高考试题的变式研究［J］. 数学通报，2019，58（11）：38-41.

［2］  余小芬.回归教材 高三复习的正道——以人教版函数与导数为例［J］. 数学通报，2018，57（12）：9-13.

［3］  郑毓信. 数学教育哲学［M］. 成都：四川教育出版社，2001.

［4］  吴立宝. 初中数学教材代数内容的国际比较研究［J］. 数学教育学报，2016，25（04）：33-36+62.