开发教材内隐资源，提升数学核心素养

周硕

［摘  要］ 教材是教学的依据，也是培养学科核心素养的主要载体，如何挖掘数学教材所蕴含的内隐性素材资源，让这些资源为发展学生的数学核心素养服务呢？文章从以下三方面展开阐述：挖掘知识背景资源，催生数学核心素养；挖掘例题隐含资源，提升数学核心素养；挖掘知识逻辑关系，完善数学核心素养.

［关键词］ 核心素养；教材；隐性资源

通过数学教学培养学生的核心素养具有独特的价值与意义，它能让学生学会用数学的眼光看待世界，形成良好的数学思维品质与追求数学美的精神，为形成正向的数学价值观奠定基础. 用于教学的各种资源为课程资源，主要存在外显与内隐两类，其中内隐性资源包括内隐性条件与素材资源，教材内隐性资源属于内隐素材资源［1］. 本文就如何开发教材内隐性素材资源，提升数学核心素养谈一些拙见.

[?]挖掘知识背景资源，催生数学核心素养

数学教材虽然为教学的载体，但它所呈现的知识都是以静态的形式出现的，而数学课堂却是动态发展变化的过程，处于课堂中的师生因地域、知识背景等的不同，呈现出较大差异. 教材编者只能依照大部分学生的认知水平为参考，编拟出适合大众的教学内容. 教师在实际教学时，要根据学情，充分挖掘知识的背景资源，以催生学生的数学核心素养.

1. 知识类比，启发思维

教学过程中，教师应结合学生的实际认知水平，赋予教材一些现实的背景，使得教学内容情境化；也可以结合编者的意图，从学生的生活实际中寻找一些更契合学生认知的情境替代教材中呈现的知识背景.

当然，对教材知识背景的開发，不能局限于利用情境来替代原有的内容，还应解读教材知识的组织形式与来龙去脉，寻找出其背后所隐含的数学思想方法，思考编者如此编写的实际意图，尤其是对知识脉络要有一个明确的认识，这样才能让教材助力实际教学.

案例1 “平面向量的实际背景及基本概念”的教学.

教材对于平面向量概念的概括，主要通过对物理现象中的力的大小与位移方向进行举例、概括、抽象而来；同样，“向量的加法运算及几何意义”也是从这几方面着手，通过对数的运算的类比，强化学生对向量的加法运算和性质的理解.

鉴于此，本节课的教学设计，可从教材出发，结合学生的生活实际与平面向量的物理背景，将知识从自然现象中抽象而出，这也是类比思想方法的渗透过程，对启发学生的思维具有直接影响.

2. 数学文化，健全人格

数学文化是教材所蕴含的背景资源之一，开发数学文化资源对学生的德育渗透与人格品质的培养具有重要意义. 数学文化作为一个相对独立的体系，具有丰富的内涵与极高的教育价值，教师应注重对其开发与利用.

案例2 “方程的根与函数的零点”的教学.

课堂伊始，教师可从数学文化的角度出发，带领学生领略知识的历史进程，让学生对本章节内容产生积极的情感倾向，发自内心地接纳并内化所学知识，同时感知数学发展的艰辛与神奇.

课堂导入：早在公元50—100年，《九章算术》对一元一次、一元二次与正系数的一元三次方程的求根方法作了记载；到11世纪，贾宪提出了一元三次及以上次数方程的解法；直至13世纪，秦九韶明确提出了解一元任意次方程的具体方法. 可见一元方程求解问题经历了漫长的历史进程.

国外对方程求解的研究也经历了一个漫长的历史演变过程，9世纪，人们首先发现了一元一次到一元四次方程的求根方法，直到19世纪挪威的阿贝尔突破了一元五次方程的求根问题，他证明了一元五次方程没有代数一般解.

师：纵观方程求解的发展史，可见从方程的角度着手研究方程的求解问题，确实存在很大的难度，若想继续研究下去，我们可以怎么做呢？面对以上结论，我们究竟该怎样求方程的根呢？现在请大家思考以下几个问题：

问题1：说一说方程2x+x=0是否存在实根. 如果存在，请说出其中一根大致位于哪两个正数之间.

问题2：分析二次函数y=ax2+bx+c（a>0）的图像跟x轴有几个交点，交点坐标与方程的根之间存在联系吗？

分析完以上两个问题后，再从特殊转化为一般，引出本节课的教学重点——“函数的零点”问题.

教材对概念的陈述，一般只有核心概念与典型例题，教师若根据教材所提供的资源进行授课，显然缺失了概念的形成与发展历程，于学生而言就是概念的机械性记忆与应用，这种教学方式必然会降低学生对概念的学习热情，乏味的概念学习只会让他们觉得数学是一门抽象、枯燥的学科.

为了调动学生学习的积极性，突出知识的重要性与学习的必要性，教师可适当地引入知识形成的历史背景. 通过挖掘数学文化，与如今的课堂教学内容自然而然地进行衔接，首先就能从情感上征服学生，无疑会增强学生的探究热情. 激情、奋志、引疑、启思的方式，可成功地激起学生原有认知经验与情境之间的矛盾，让学生对知识的来龙去脉产生更深刻的理解，这能对后继教学起到事半功倍的效果.

再从精神、思维品质与价值观的角度来看，深挖教材中数学文化的教育价值，不仅能让学生感知为什么要学习这部分知识，还能成功地推动学生的学习动机，让他们去思索“我该怎么学”与“我该学什么”等问题. 带着这些疑虑去学习，不仅能让学生更好地掌握课堂知识，还能促进学生个性、心智、价值观等方面有效发展.

随着新课标的深入推行，如今的数学教材大幅度增加了数学文化的介绍，如“等比数列”章节，将“一尺之棰，日取其半，万世不竭”作为引例；“等比数列求和”问题以国际象棋起源的故事来引入，而且像谢宾斯基三角形，毕达哥拉斯学派所研究的正方形数、三角形数，斐波那契数列等，均在教材中出现. 这些数学文化的渗透对培养学生的人生观与价值观有着不可估量的重要意义. 教材受篇幅限制，而教师却可以在此基础上加以拓展与延伸，以开阔学生的视野，为培养学生的数学核心素养奠定基础.

[?]挖掘例题隐含资源，提升数学核心素养

教学讲究过程与结果的平衡，想让学生获得结论，必须带领学生经历丰富的教学活动过程. 简而言之，就是让学生经历结论的获得过程. 这句话的实质是让学生亲历观察、抽象、建模等过程，自主发现数学规律，形成一定的数学能力，提升数学核心素养.

教材知识都是静态且冰冷的，若想将冰冷的教材知识转化为火热的数学思考，需要教师精心设计与引导，这也是发展学生数学核心素养的主要途径. 鉴于此，教师在课堂中应留下充足的时间与空间让学生去探索，亲历观察、实践、交流、猜想、归纳、反思等过程，践行过程性知识的开发. 教材例题是教学的依托，教师在教学过程中可深挖例题的隐含资源，让学生在真正意义上感知例题的实际教学意义.

案例3 例题教学.

问题：求证12+22+…+n2=.

教学方案1：①复习归纳法；②利用归纳法证明；③练习训练.

教学方案2：

①提出问题：大家思考一下，可以用什么方法求出数列｛n2｝的前n项和？

②交流：是否可用等差数列或等比数列求和公式的推导方法来解决这个问题？（实践证明，效果不佳）

③讨论：从特殊情况出发，发现一般规律. 假设S=1+2+…+n=，S=12+22+…+n2，求出其前n项和（见表1）.

通过观察发现=，=，=，…，猜想=. 由此可得S=S·=.

④利用归纳法证明以上猜想.

教学方案3：结合学生的生活经验，将原题改编成一个与学生生活实际相关的问题，探索过程与方案2相同.

教学方案4：

①在教学方案3的基础上，鼓励学生通过合作交流，自主探寻其他解题途径，如将（n+1）3=n3+3n2+3n+1（n∈N*）的前n个式子进行叠加.

②附加一个开放性问题，要求学生求出S=13+23+…+n3的值.

以上4种教学方案是一个不断改进、不断创新的教学过程.

教学方案1是典型的传统设计，教师并没有带领学生挖掘教学内容的内隐性资源，只是为了完成教学目标，要求学生掌握基础知识与技能，获得一定的逻辑思维能力.

教学方案2体现了数学“发现—证明—应用”的过程，揭示了特殊到一般的数学思想方法，对培养学生的合情推理能力具有直接影响，且例题的内隐性资源的开发取得了较大进展.

教学方案3在以上基础上进行了改进，将知识与生活实际挂钩，彰显了知识与生活实际的联系，不仅有效开发了例题的内隐性资源，还增强了学生的学习体验，使知识、体验与能力形成了“三位一体”的关系.

教学方案4增加了合作探究、变式和开放性问题，不仅增强学生对知识的理解程度，还注重学生反思能力与创新意识的培养. 这一方案涉及多维目标，对例题的内隐性资源进行了全面开发，学生的数学核心素养在该方案的实施中得以快速提升.

[?]挖掘知识逻辑关系，完善数学核心素养

如今的高中数学教材编排不仅考虑到知识的逻辑发展顺序，还兼顾到学生的心理发展特征等综合因素，将课堂内容分成若干模块，有些章节因更多关注到学生的认知水平，无形中就弱化了知识间的逻辑关系［2］. 因此，教师在教学过程中应注重渗透这部分知识间的逻辑关系. 而数学思想方法的应用，能有效整合知识间的逻辑关系.

数学思想方法隐藏在知识间的逻辑关系中，且具有一定的同一性［3］. 教学过程中，教师可将蕴藏在知识间的这种“同一思想”总结出来，让学生对知识产生更加全面深刻的认识.

案例4 “等差数列通项公式”的教学.

教材利用高斯巧算引出了首尾配对法，学生利用这种方法自主计算S=1+2+…+（n-1）+n时，发现仍存在障碍. 此时，教师常会引导学生应用倒序相加法来推導首项是a，公差是d的等差数列的前n项和公式. 若教师的引导到此结束，则当学生遇到与它类似的问题时，如“已知f（x）=，求f（-2）+f（-1）+f（0）+f（1）+f（2）+f（3）”，依然无法自主解决. 因为以上推导过程所涉及的倒序相加法仅仅是一种解题技巧，并非广泛使用的数学思想方法.

本节课的教学，可以高斯故事为切入口，通过归纳高斯方法的本质，获得等差数列的性质，而后再应用这种方法获得1+2+…+n的和，此处需要分类讨论（n为奇数或偶数），最后过渡到一般的等差数列求和公式的研究中去. 学生在此过程中会遇到从特殊到一般的数学思想，感悟到数学化归思想方法的价值.

在学生探索n的奇偶性时，引导学生分析是否有办法避免分类讨论. 如将公式S=（a+a）转化为2S=n（a+a）后，根据其性质就可获得S. 鉴于此，“倒序求和”就是倒过来分析，而非求和公式所反映出来的数学思想方法. 而化异同为相同、化无限为有限的数学思想，才是教师在执教过程中需要深挖的数学思想方法. 带领学生感知数学知识间的逻辑关系，领悟数学思想方法，不仅可以体现教师本人的教学水平与基本功，还是提高课堂效率、完善学生数学核心素养的前提.

总之，教材中所蕴含的内隐性素材资源有很多. 教师首先应提高自身的认知水平与素养，充分了解教材的结构与知识间的逻辑关系，从宏观的角度来分析教材、利用教材；其次应着手挖掘知识的背景，充分发挥数学文化价值，为培养学生的思维品质与价值观夯实基础；再次应转变教学观念，将目光从“教学结果”转移到“教学过程”，让学生充分体验知识的形成与发展历程，真正意义上提升学生的数学核心素养.

参考文献：

［1］  吴立宝，沈婕，王富英. 数学教科书隐性三维结构分析［J］. 教育理论与实践，2017，37（35）：33-36.

［2］  林崇德. 学习与发展：中小学生心理能力发展与培养（修订版）［M］. 北京：北京师范大学出版社，2011.

［3］  吴维维，邵光华. 逻辑推理核心素养在小学数学课堂如何落地［J］. 课程·教材·教法，2019，39（03）：88-95.