深度探究 提升实效

徐彩凤

［摘  要］ 基于深度学习的数学探究活动促使学生主动参与、积极体验、深入思考，它指向发展学生的高阶思维，培养学生创新意识和实践能力.文章以“用向量法研究三角形的性质”为例，结合教学实践探讨数学深度探究活动教学策略.

［关键词］ 深度探究；核心素养；教学策略；向量法

2019年6月，《国务院办公厅关于新时代推进普通高中育人方式改革的指导意见》中指出：深化课堂教学改革，要注重加强课题研究、项目设计、研究性学习等跨学科综合性教学，认真开展验证性实验和探究性实验教学.数学探究是深化数学课堂教学的重要抓手之一，在发展学生认知能力、思维发展和創新意识上起着重要作用.《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》也指出：数学探究所涉及的数学素养的发展具有连续性和阶段性.教师应整体设计探究活动，引导学生从模仿到自主，从局部到整体，经历“选题、开题、做题、结题”的活动过程，积累发现、提出、分析和解决问题的经验，积累独立思考和合作交流的经验. 然而在数学探究活动实践中，不少教师对待探究活动只是走过场，“浅层探究”的课堂现象层出不穷. 因此如何开展数学深度探究活动是广大一线教师必须面对的问题. 数学深度探究是一种读懂学生、立足教法、根植教材的活动，关注学生的深层动机、切身体验、深度理解、高阶思维、迁移应用［1］. 本文结合《人教A版普通高中教科书·数学（必修第二册）》中的数学探究“用向量法研究三角形的性质”（第二课时），对数学深度探究活动的模式、策略进行初步探讨.

[?]紧扣教学本质，确定素养导向学习目标

向量是沟通几何和代数的桥梁，通过向量运算来发现和证明图形性质是打破传统综合法证明几何问题的有力抓手，提供了几何运算推理的新途径，体现了向量法的程序性和普适性.平面向量是体现“数”与“形”融合的重要载体，用向量法研究三角形的性质蕴含着典型的数形结合思想方法：由形到数（向量表示）→数的运算（向量运算）→由数到形（向量到形）［2］.

在平面几何中，学生已研究过三角形，知道了三角形的一些基本性质，但他们所掌握的三角形知识有限，对三角形的认识还不够深入，例如他们对三角形的外心、中线、重心、角平分线、内心、高、垂心等只有初步认识.在第一课时中，采用“三步曲”，通过向量运算、逻辑推理，重新证明了已学的三角形性质（中位线定理、直角三角形的中线等于斜边的一半等）. 在采用向量法证明三角形的三条中线交于一点的过程中，得到了初中数学教科书中没有涉及的一个重要性质——三角形的重心是中线的三等分点，从而体验了向量法在解决几何问题中的优势，同时简单经历了课题探究活动的四个环节——选题、开题、做题与结题.因此，以三角形为研究对象，用向量法对它的性质进行再研究，可以使学生在已有认识的基础上，更系统地掌握三角形的性质，积累“研究—个几何对象”的活动经验，进一步了解研究一个几何图形的内容、路径、方法等，加深理解向量法在研究几何问题中的作用.

基于以上分析，确定素养导向下的学习目标：

（1）通过向量法深入研究三角形的性质，体验数学探究的过程和方法，在得到一些三角形性质并撰写和交流研究报告的活动中，培养应用数学抽象、直观想象等思维方式发现和提出有意义的数学问题的能力.

（2）通过合作交流发现和提出问题，探索和表述论证过程，培养有逻辑地表达和交流的能力.

（3）积累数学活动经验，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算和直观想象等素养.

策略解读：教师设计深度探究活动时，要对教材及数学课程标准进行整体性、系统性的研读，深度挖掘探究内容.分析学生的认知起点和认知经验后，再对探究内容进行选择，确定适合学生的学习任务，确保学生能够产生深层动机，主动去挑战困难、克服困难.

[?]整体设计活动，聚焦引领性学习主题

全班分为四个小组，第一小组：三角形边角要素（角与角、边与边、边与角）之间关系的探究；第二小组：三角形高线性质的进一步探究；第三小组：三角形中线性质的进一步探究；第四小组：三角形角平分线性质的进一步探究.由于这是第一次放手让学生自主探究，有别于课堂上对某个具体问题的探究活动，这是一个全新的挑战，时间长达一周.学生在发现和提出问题、如何进行研究等方面面临困惑，教师需要实时跟踪并进行必要的指导. 学生通过自我研讨、小组讨论、教师指导获得了相应的效果，在此选取第二、第三、第四小组在课堂上的表现展示如下：

1. 探究问题1：三角形高线性质的进一步探究（由第二小组完成）

如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB上的高，则·=0①.

将向量恒等式=+代入①式得（+）·=0，即

2+

·

·cos（π-B）=0，化简得BC2=BD·AB.同理，把=+代入①式得AC2=AD·AB. 考虑到=+，=+，同时代入①式得CD2=AD·BD. 于是得到以下结论：

结论1：AC2=AD·AB，BC2=BD·AB，CD2=AD·BD.此结论称作直角三角形射影定理，又称为欧几里得定理.

如图2所示，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c. AD，BE，CF分别是边BC，AC，AB上的高，在+=的两边同时点乘，得到2+·=·，即c2+accos（π-B）=bccosA，化简得acosB+bcosA=c. 于是得到以下结论：

结论2：ccosB+bcosC=a，acosC+ccosA=b，acosB+bcosA=c. （射影定理）

设AD，BE和CF相交于点O，则O是△ABC的垂心，有·=0，·=0，·=0，即·（-）=0，·（-）=0，·（-）=0，整理后得以下结论：

结论3：O是△ABC的垂心?·=·=·.

在此过程中，教师引导学生发现“化斜为直”是研究三角形的基本思路，因此研究三角形的高线从直角三角形入手，抓住·=0进行向量恒等式代换运算得到新的结论.而对于一般的三角形来说，要得到边的关系，尝试在+=的两边同时点乘或或得到新的结论，使学生经历从特殊到一般的探究过程.

2. 探究问题2：三角形中线性质的进一步探究（由第三小组完成）

如图3所示，在△ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，O是△ABC的重心，用向量法可以得到以下结论：

结论1：=2，=2，=2.

已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c，将中线对应的向量=（+）两边平方得2=（+）2=（c2+2bccosA+b2），再由余弦定理通过变形得

2=（2b2+2c2-a2），于是有以下結论：

结论2：中线长AD=.

结合三角形回路++=0，将三条中线对应的向量=（+）， =（+），=（+）相加，发现正好构成两个三角形回路，于是得到以下结论：

结论3：++=0.

由结论1得=，=，=，将其相加并结合结论3得到以下结论：

结论4：O是△ABC的重心?++=0.

重心是特殊点，对于其他点，它与三个顶点形成的向量会有怎样的关系呢？于是尝试着任取一点P，得++=（+）+（+）+（+）=3. 于是有以下结论：

结论5：对于任意一点P，++=3. （O为△ABC的重心）

对比结论4和结论5，发现结论4是结论5当点P与点O重合的特殊情形，即实现了从特殊到一般的转变. 另外，结合结论1和结论4可得以下结论：

结论6：++=0.

由结论6得到O也是△DEF的重心，于是对于任意一点P，有++=3，结合结论5可得以下结论：

结论7：++=++.

以上7个结论由回路定理出发，得出一系列关于中线向量形式的结论.

设A（x，y），B（x，y），C（x，y），O（x，y），由++=0得（x-x，y-y）+（x-x，y-y）+（x-x，y-y）=（0，0），即（x+x+x-3x，y+y+y-3y）=（0，0），所以3x=

x

+x

+x，

3y=y

+y

+y.于是得到以下结论：

结论8：重心O的坐标为

，

.

3. 探究问题3：三角形角平分线性质的进一步探究（由第四小组完成）

如图4所示，在△ABC中，角A的平分线AD交BC于点D，则可得以下结论：

结论1：（角平分线的向量形式）=λ

+

.

设=k，则-=k（-），即=+.结合角平分线的向量形式可得AB=AC，即AB=kAC. 于是可得以下结论：

结论2：=（角平分线定理）.

如图5所示，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.AD，BE，CF分别是角A，B，C的平分线，AD，BE，CF相交于一点O，则称O是△ABC的内心.

由角平分线定理得==，则=，所以=. 又BO是△ABC的角平分线，则===，所以=.即==+=+（-）=+. 于是有以下结论：

结论3：O是△ABC的内心?a+b+c=0.

策略解读：在长达一周的小组合作交流中，学生的探究热情达到了空前高峰. 在此过程中，学生通过发现问题、提出问题，在组间不断进行尝试，在思维碰撞中亲身经历发现和建构知识的过程，切身体验后再进行思考和总结，实现了深度探究.

[?]突出问题导向，做好难点突破

数学探究是以一类问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动.设计好的问题有利于激发学生的参与度，能循序渐进地将新知识建构到认知结构中，做好难点突破，达到深度理解. 例如角平分线组（第四小组）在开始探究时遇到了不少困难，于是教师设计了以下三个问题启发学生思考：

问题1：类比中线的向量形式，角平分线是否也可以用向量形式表示呢？

问题2：三角形的角平分线平分顶角，那么它的边之间有什么数量关系呢？

问题3：三角形的角平分线的交点叫做内心，内心与三个顶点有什么关系？你能类比垂心和重心写出内心关于向量，，的表达式吗？

[?]延伸和拓展，发散学生的思维

如图6所示，在△ABC中，A′，B′，C′分别是边BC，CA，AB的中点，故将△A′B′C′称为△ABC的“中位三角形”. 已知G，H分别是△ABC的重心和垂心，O是△ABC的外心，也是△A′B′C′的垂心. 图中蕴含着非常丰富的三角形性质，从线共点、点共线、边的关系、角的关系、长度、面积等不同角度入手，发现和证明这些性质.

策略解读：引入著名的“欧拉定理”，即三角形的外心、重心、垂心三点共线（称为欧拉线），且=. 学生先直观感知“三心”之间的关系，大胆猜想结论，再借助几何画板初步验证，最后进行严谨证明.这样处理是为了发展学生的高阶思维能力，提升其直观想象能力和逻辑推理能力，进一步感受向量法解决平面几何问题的本质，形成“直观感知—操作确认—思辨论证”的数学探究思想.

[?]多元探究评价，巩固探究成果

当学生完成探究后，由教师评价并组织学生自评、互评.数学探究活动强调多元评价，通过多元评价，可以使学生积累探究活动经验，学会如何提出观点，如何发表意见，如何开展团队合作，从而培养学生的探究能力和数学素养，并激励学生以更加饱满的热情投入新的数学探究活动提升探究效果，巩固探究成果.

为了使本次的数学探究活动更具延伸性，教师设计了以下课后探究思考题：

（1）请查找平面向量“奔驰定理”相关资料，深入探究三角形“四心”的向量表达式；

（2）你还有更多的发现吗？你能用向量法研究多边形的性质吗？

综合上述深度探究实践活动，构建了数学深度探究模式图（如图7所示）.

总之，数学探究活动是综合性的实践活动，是综合提升学生的数学核心素养的有效载体.每一个参加数学探究活动的学生都应该自己主动发现、提出、分析、解决问题，这正是时代需要的问题意识、创新精神和实践能力［3］.教学中要认真落实修订版课程标准对数学探究的要求，设计素养导向下的学习目标，确定学生自觉发展的最近发展区，提供恰当的教学材料，帮助学生“亲身”经历知识的发现和建构过程［4］，从而发展学生的无限创造力.

参考文献：

［1］  彭玉洁，虞秀云. 让深度探究促发数学思考——以“直线与平面垂直的判定”为例［J］. 数学教学通讯，2021（03）：24-26.

［2］  陈利利，张曜光. “用向量法研究三角形的性质”教学设计、教学反思与点评［J］. 中学数学教学参考，2020（13）：24-30.

［3］  张艳娇. 谈“数学建模活动与数学探究活动”如何在教科书中落实——以人教A版高中数学教科书为例［J］. 中学数学杂志，2020（09）：1-7.

［4］  郭华. 深度学习之“深”［J］. 新课程评论，2018（06）：11-16.