立足学情，巧妙设计，渗透思想

朱付菊

［摘  要］ 学生已有的认知结构、学习经验和能力是实施教学的起点. 文章以“三角函数的应用”教学为例，谈一谈如何立足学情，巧妙设计，渗透思想. 具体从“情境创设，引出问题”“问题驱动，铺设台阶”“模型探究，加强应用”“方法体验，促进理解”“总结提炼，完善认知”五方面展开阐述.

［关键词］ 情境；问题；数学思想

奥苏伯尔认为：影响学习的重要因素是学生已经知道了些什么，教师如何基于“学生已有认知”进行教学［1］. 学生已有的认知结构、学习经验和能力是教师实施教学的起点. 于教师而言，运用三角函数模型来解决一些常规问题，是一件极其简单的事情，但于学生而言，却没那么容易.

何为简谐运动？为什么三角函数模型能刻画这种运动？如何应用三角模型来解决具有周期性运动规律的问题？这些都是学生感到新奇而又陌生的问题，这就需要教师转换自身的角色，站在学生的角度，巧妙地设计与学生认知相契合的问题情境，带领学生一起由浅入深地进行探讨分析，渗透数学思想的同时，让学生从真正意义上理解问题的本质.

[?]教学简录

1. 情境创设，引出问题

情因境生，境为情设. 情境作为一种特殊的教学环境，是教师为了增强教学效果，结合学生认知创设出来的一种支持学生学习的教学环境［2］. 良好的情境，不仅能增强学习的针对性，还能渗透数学文化，为课堂教学奠定良好的情感基调，激发学生的学习兴趣.

情境创设：水车外形与车轮相似，它是我国古代常用的一种灌溉工具，具有省时、省力、省钱的作用. 明朝徐光启在《农政全书》中详细记载了水车的工作原理. 如今，我國的三峡水电站也利用这种原理设计了大型水轮机组不断为我们的生活提供服务. 由此可见，水轮对我们的生活具有重要影响.

问题1：假设在水流稳定的状态下，水轮边缘的各点都在不断地进行匀速圆周运动，大家分析一下水轮运动具备怎样的特点.

在问题探究过程中，教师俯下身子，与学生一起研究水轮在周而复始匀速圆周运动的过程中具备怎样的特点，同学生一起尝试从三角函数的角度猜想这种运动的特点. 当学生对此有一定思考后，再增加启发性问题，将生活情境抽象为数学问题.

追问：如果点P为水轮边缘上的一点，我们可以用怎样的数学模型来刻画点P的位置？

设计意图：水车的引入，具有渗透数学文化的重要作用. 水轮在如今的水电站一直发挥着重要作用，教师带领学生从水轮周而复始的运动中，抽象出三角函数是研究此类运动问题的重要模型. 追问的提出，不仅为刻画匀速圆周运动中的点P的位置奠定了基础，还为学生提供了明确的思考方向.

2. 问题驱动，铺设台阶

问题是数学的心脏，数学教学离不开问题的引导，好的问题有助于帮助学生摆脱思维定式与滞涩，具有激活学生想象力与创造力的作用. 实际教学中，教师结合学生实际认知水平设计逐层递进的问题，不仅能驱动学生的思维，为实现教学目标铺设台阶，还能让学生在问题的探索中形成创新意识. 本节课中，教师可基于学生原有的认知经验，以如下问题来驱动学生的思维发展.

问题2：如图1所示，以A为半径，O为圆心的圆上存在一点P，我们可以怎么刻画点P的位置？

学生思考、分析这个问题后，以圆心O为原点，建立平面直角坐标系，点P的位置可用坐标表示. 若将点P视为从x轴正半轴开始旋转而来的，则可用角θ来刻画点P的位置，记作x=Acosθ，

y=Asinθ.

设计意图：引导学生感知建立平面直角坐标系对解决一些数学实际问题的便利，并学会从任意角三角函数的定义出发，使用三角函数表示位于圆周上的运动点的坐标位置.

问题3：如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是以点O为圆心，A为半径的圆上的一点，以P为起始点，逆时针进行匀速圆周运动，已知角速度是ω（单位：rad/s）（单位时间内转过的角），该怎样确定时间t（单位：s）后点P的位置？

学生思考后提出：OP经过t s后转过的角是ωt，因此以Ox为起始边，OP为终边的角θ=ωt，所以x=Acosωt，

y=Asinωt.

设计意图：此问意在引导学生感知角速度ω的应用，并学会使用含t的三角函数来表达点P的坐标.

问题4：如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，点P是以点O为圆心，A为半径的圆上的一点，将P作为起始点，逆时针进行匀速圆周运动，已知角速度是ω（单位：rad/s）（单位时间内转过的角），该怎样确定时间t（单位：s）后点P的位置？

学生思考后提出：以Ox为起始边，OP为终边的角θ=ωt+φ，故x=Acos（ωt+φ），

y=Asin（ωt+φ）.

设计意图：此问意在让学生通过思考与探究发现，如果点P的起始点不在x轴上，就需要利用到初始角φ. 初始角φ是以Ox为起始边，OP为终边的任意角. 通过探究，学生对应用三角函数刻画做匀速圆周运动的点的位置有了初步理解，为接下来使用三角函数模型解决一些实际问题奠定了基础.

3. 模型探究，加强应用

课堂探究活动的开展，具有一定的开放性、自主性与实践性等特征. 探究问题的提出，能有效驱动学生的好奇心，让学生积极主动地参与到问题的研究中来，增强学生独立思考与分析问题的能力，促进学生形成科学的探究意识与积极的学习态度.

探究问题的设计，应从学生原有的认知经验与兴趣出发，尽可能为学生提供充足的空间与时间，让学生在自主探索、合作交流中对所学知识产生更加深刻的认识与理解. 同时，课堂探究活动的开展，还能有效促进学生的团队合作意识、沟通能力与核心素养的提升. 本节课中，教师可以水轮为背景，提出探究问题供学生思考.

探究1：如图3所示，这是一个半径为3米的水轮，圆心O与水面的距离是2米，该水轮每分钟沿着逆时针方向匀速旋转4周，若水轮上的点P从浮出水面时（点P）开始计时.

问题：（1）如何将点P与水面的距离z（单位：米）表示成时间t（单位：秒）的函数？

（2）求点P第一次达到最高点所需要的时长.

本题教学，可从以下几步实施：

第一步，要求学生读题、审题，解说题意，并思考解决第（1）问需要应用学过的哪些知识（在独立思考的基础上进行合作交流）.

结论：想要确定点P的具体位置，需要找出点P的纵坐标.

第二步，设计“问题串”，让学生的思维呈阶梯形递进：①想要确定点P的纵坐标，首先要做什么？（建立平面直角坐标系）②如何建立平面直角坐标系？最优标准是什么？（以点O为原点，水平方向为x轴，尽可能让图形对称、计算简单）③建系后可以找到点P的纵坐标吗？（不能，因为点P的起始点不在x轴上，涉及初始角φ的引入）④哪个角为φ？（设∠POx为φ）⑤是否能这样表示任意角？（不能，应设Ox为起始边，OP为终边的角为φ）⑥角φ的取值范围有限制吗？（从题意出发，角φ的终边位于第四象限，因此φ∈

-，0

）

结合题意，OP经过t秒后转动的角是t=t，所以点P的纵坐标是3sin

t+φ，所以z=3sin

t+φ+2. 当t=0时，z为0，故sinφ=-. 又φ∈-

，0，所以φ≈-0.73，因此z=3sin

t-0.73+2.

设计意图：典型问题的提出，让学生的思维随着“问题串”的引导经历建模、解决问题的过程，深切体会三角函数模型在描述与刻画周期性变化问题中具备的作用，从真正意义上掌握用三角函数模型解决实际问题的具体方法.

变式拓展：如图4所示，在探究匀速圆周运动的点P运动规律的基础上，换一个角度进行观察，若有一束平行光将点P投影至y轴上，点P′为投影点，求点P′的运动规律.

教师用几何画板演示此过程，学生通過肉眼观察点P′的运动规律，从中发现一定的特征，通过单位圆与三角函数线生成正弦曲线的理论，成功引出P′的往复运动，即简谐运动.

设计意图：探究1是与简谐运动相关的实际问题，学生对此不太了解，教师从学生的角度出发，通过观察角度的改变，并借助学生感兴趣的多媒体，将简谐运动的特点淋漓尽致地展现在学生眼前. 从某种意义上来说，降低了学生认知的起点，为学生自主解决问题铺设了台阶.

探究2：如图5所示，已知点O为简谐运动物体的平衡点，向右作为物体位移的正方向，若振幅为3 cm，周期为3 s，且向右运动到与平衡位置最远的地方开始计时.

问题：（1）写出该物体于平衡位置的位移x与时间t的函数关系；

（2）求此物体于t=53 s时的准确位置.

先要求学生读题、审题，解说题意；然后从题意出发，点O向右位移作为正方向，向左位移则为负方向，当t=0时，x=3.

在学生自主完成解题后，选择几个具有典型代表意义的解题方法投影到电子白板上，与学生共同探讨.

设计意图：这是一道可以直接引用简谐运动模型的例题，意在引导学生学会将生活实际问题转化成具有“数学味”的符号语言，训练学生应用待定系数法来确定模型的能力，为解决更多的实际问题奠定基础.

4. 方法体验，促进理解

如图6所示，这是一个半径为40 m的摩天轮，其圆心O与地面的距离为50 m，如果摩天轮一直在做匀速转动，且每3分钟就逆时针旋转一周，设点P为摩天轮的最低起点.

问题：（1）写出在t分钟时，点P与地面的距离h；

（2）摩天轮每转动一周，存在多长时间点P与地面的距离大于70 m？

学生通过合作探究完成以上问题的解决，教师加强巡视，必要时针对个别学生进行适当指导，将学生的典型解法投影到电子白板上，与大家一起点评.

解题过程中，学生呈现出了两种典型方法：①仿照探究1，建立数学模型解题；②仿照探究2，直接应用模型h=Asin（ωx+φ）+b解题. 教师讲评时提出：本题为典型的匀速圆周运动，建议学生仿照探究1建模解题.

设计意图：摩天轮与水轮有着异曲同工之妙，这是学生感兴趣的生活背景，有助于激发学生的探究热情，帮助学生从数学的角度抽象生活素材，强化学生的应用意识.

5. 总结提炼，完善认知

师生共同回顾本节课的教学内容，对涉及的学习方法和知识进行归纳总结，具体有：①总结用三角函数模型解决生活实际问题的方法；②提炼本节课应用到的数学思想，包含数学建模思想、函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想等.

设计意图：借助于总结环节，对课堂教学内容进行整理与概括，促进学生掌握用三角函数模型解决实际问题的能力，完善学生的认知结构.

[?]教学思考

1. 情境是开展教学活动的基础

情境是人类认知的起点，也是开展教学活动的基础. 本节课中，教师利用水车、水轮、摩天轮等生活情境作为课堂教学的背景，是基于学生认知创设的情境，不仅能引发学生情感上的共鸣，还能让学生在丰富的情境中体验到数学文化的博大精深，对三角函数的形成与发展形成了一定的认识. 丰富的情境，让学生体悟到数学知识的广泛性与实用性，还能突出课堂教学的人文气息，体现出数学学科独有的魅力.

2. 教学方法是实施教学的关键

良好的教学方法是渗透数学思想的技术手段，教师通过问题驱动与探究活动的拓展，为学生数学思维的发展搭建了平台. 随着一个个问题的突破，学生认知经历了由浅入深的发展过程，深化了学生对知识的理解程度，让学生从多维度感知建构函数模型的方法. 在问题的引导下，学生不仅积极主动地参与了每一个活动，还有效促进了思维的发展，完善了认知［4］.

3. 数学思想是数学教学的精髓

三角函数模型的建构与应用过程中，蕴含着丰富的数学思想，如用拟合法从实际问题中抽象函数模型，彰显了数学模型思想；三角函数本身就存在着典型的数形结合思想，其应用还涉及化归与转化思想、函数与方程思想等.

总之，一堂课教学的成败重在理念，巧在设计，成在实践，胜在数学思想的应用. 若想最大化地发挥数学课堂的教学与育人功能，教师必须深入了解学情，只有基于学生认知展开的教学活动，才具有可行性、实效性，课堂也因知识本质的流露与思维的不断提升而充满活力.

参考文献：

［1］  奥苏伯尔等. 教育心理学：认知观点［M］. 佘星南，宋钧，译. 北京：人民教育出版社，1994.

［2］  章晓东. 让理解在情境中进行——《平均数、中位数和众数的使用》教学实况及反思［J］. 人民教育，2004（Z2）：52-55.

［3］  宋运明. 论数学问题提出和数学活动经验的关系［J］. 数学教育学报，2010，19（06）：34-36+49.