主题聚焦：函数中角的存在性处理策略

张赞

［摘  要］ “角的存在性问题”是近几年中考考查的热点和难点，对学生的逻辑思维能力和建模思想等基本数学素养有着非常高的要求，所以一直困扰着学生. 文章利用一道函数典型例题的解析，通过一题多解，从多个角度构造数学解题模型来解决问题，并把这些模型之间的联系和区别加以辨析，培养学生初步建立数学解题模型的思维方法，从而达到举一反三、触类旁通的效果.

［关键词］ 存在性；一题多解；解题模型

数学解题模型能让学生在解题过程中明确解题思路，形成解题直观策略，更能直接发现问题和问题之间的本质联系. “角的存在性问题”就是一种很常见的数学解题模型，在近几年苏州市的中考中就多次出现了，其主要考查学生对平面几何核心知识的掌握程度以及发现问题、提出问题、分析和解决问题等基本数学素养. 本文通过一道典型的函数习题的解析，谈谈对“角的存在性问题”以及数学解题模型的初步认识.

以一道45°角为例的“角的存在性问题”为背景

例题 如图1所示，已知抛物线y= -x2+bx+c与x轴相交于A，B两点，且经过点C（0，2），D

3，

，点P是直线CD上方抛物线上一动点，当∠PCD=45°时，求P点的坐标.

模型1 45°角→构造出等腰直角三角形→构造出“一线三直角”（即与“K”字形相似）.

解析1 设参数坐标求解.

易求抛物线的解析式为y=-x2+x+2，直线CD的解析式为y=x+2. 如图2所示，过点P作PC、y轴的垂线，与y轴相交于点M，与直线CD相交于点G，过G点作y轴的平行线，交PM于点N，则△PCG为等腰直角三角形，△PCM ≌△GPN. 因为P点在抛物线上，设P点的坐标为t，-t2

+t+2，则PM=GN=t，MC=PN=OM-OC=-t2+t，所以MN=-t2+t，所以G点的坐标为-t2

+t，-t2

+t+2；因为G点在直线CD：y=x+2上，将G点的坐标代入直线解析式，解得t=0（舍去），t=，因此P点的坐标为

，.

解析2 利用已知点的坐标求解.

如图3所示，过点D作DQ⊥CD，交CP的延长线于点Q，过点D作平行于y轴的直线，并分别过点C，Q向该直线作垂线，垂足分别为E，F，则△CDQ为等腰直角三角形，△CED ≌△DFQ，从而DF=CE=3，QF=DE=.

利用C，Q两点可以求出直线CP的解析式为y=3x+2，与抛物线联立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P点的坐标为

，.

反思 （1）解析1与解析2的策略是一样的，区别在于把P，D哪一点作为直角顶点构造“一线三直角”. 在计算上，解析1更突出“设参數坐标求解”的思路，这是函数综合题的常用方法，也是初高中数学衔接中“图像设点”的一种重要手段. 解析2更突出“利用图形中的已知点求解”的思路，更强调图形本身的特点，计算上较解析1简单.

（2）理论上，在直线CD上任取一个已知点，将它作为等腰直角三角形的直角顶点，都可以顺利求解，如图4所示，可以自行探究.

模型2 一个45°角→补出两个45°角→构造出“一线三等角”.

解析3 如图5所示，过点P，D向y轴作垂线，补出两个45°角，构造出“一线三等角”结构，即△PCE∽△CDF，则=，即PE·DF=CE·CF.

由题意可设Pt，-t2

+t+2，易得PE=t，DF=3，CE=-t2+t+2+t-2=-t2+t，CF=2-

-3=，因此t·3=-t2

+t，解得t=0（舍去），t=. 故P点的坐标为

，.

反思 （1）由于本题数据的特殊性，最后我们可以发现，点P，D的纵坐标相等，所以过点P，D作y轴的垂线，垂足是重合的，即为图5中的G点，其实是否巧合，对于解题并没有影响.

（2）所谓的“一线”对“位置”上并没有很大的要求，可以作成“水平线”，“也可以作成“斜线”，一般选择现有的“一线”比较合适.

模型3 一个45°角→再补一个45°角→构造出“母子型相似”.

解析4 如图6所示，过点D作y轴的平行线交CP的延长线于点Q，交x轴于点G，再作CE⊥QG于E，构造出等腰直角三角形CEF，则∠F=45°，EF=CE=3，DE=.

由∠PCD=45°，可得△QCD∽△QFC，所以QC2=QD·QF. 设QD=t，则QC2=QE2+CE2=

t+2+9，故

t+2+9=t·

t+，解得t=. 故点Q的坐标为（3，11）.

利用C，Q两点的坐标求出直线CP的解析式为y=3x+2，与抛物线联立得y=3x+2，

y=-x2

+x+2，解得x=0，

y=2（舍去）或x=

，

y=.因此P点的坐标为

，.

反思 “母子型相似”与“一线三等角”是非常重要的基本相似形，上述解法都是将其视为基本的“工具”，结合这些基本图形的结构特征，补上所缺的元素，巧妙构造，顺利完成求解.

模型4 45°角→构造出正方形的“半角模型”.

解析5 如图7所示，作正方形CEFG，使CG边在y轴上，且边EF过点D，直线CP与FG相交于点Q.

设QG=x，由∠PCD=45°，结合正方形中的“半角模型”，可得QD=QG+DE=x+；最后锁定Rt△QDF，由勾股定理得（3-x）2+

2=

x+2，解得x=1. 故Q点坐标为（1，5）. 下略.

反思 正方形的“半角模型”由于其得到的结论非常多，因此其应用非常广泛. 在本题中巧妙地构造出正方形的“半角模型”，通过求出Q点的坐标顺利完成求解.

“角的存在性问题”的方法总结

通过对这道典型的函数例题的辨析，我们大致可以把“角的存在性问题”的模型细分为以下几种具体的子模型：（1）构造“一线三等角”（含“一线三直角”，即“K”字形）；（2）利用已知角构造“母子型相似”；（3）构造“整体旋转”转化为矩形或正方形模型.

这道例题是以45°角为例的，如果换成30°等其他特殊角甚至非特殊角，以上几种解题模型均能使用. 对于“角”，经常会利用正切转化为“边”进行处理，再结合更常见的“横平竖直”的辅助线，以达到“改斜归正”“化斜为直”的效果，从而将“角的存在性问题”顺利解决.

对中考复习中解题模型的进一步思考

数学解题模型是对新课标、教材、学材中的各个知识点的进一步拓展延伸或另一个维度的直观表达，具体说就是一种能有效解决某些类型问题的方法和思路. 审题时能快速识别模型并正确使用模型，能把试题中出现的复杂的几何图形分解成平时所熟悉的基本图形，能辨析复杂的模型又是由哪些几何基本模型融合而成的……要让学生做到以上几点，需要教师如何在平时的教学过程中培养学生的这种综合应用能力呢？

现以“角的存在性问题”模型中的“一线三等角”这个子模型为例. 苏科版数学八年级上册第1章“全等三角形”复习巩固第5题中，以及“图形的相似”“中心对称图形”等章节的习题中多次出现 了“一线三等角”这一基本模型. 中考的很多試题都是在教材“一线三等角”这一基本模型的基础上进行延伸和改编而成的，因为中考试题的命制首先是源于教材的，但最终又高于教材. 类似这样的线、角模型还有许多.这就启示教师在平时的教学中应充分利用教材中的资源，深度研究教材的例题、习题和教学建议. 在学生已经掌握了教材中的基础知识、基本技能和基本方法的基础上，教师要对教材中的例题、习题进一步进行分析、归纳、总结，从不同的角度尝试解决问题，从而引导学生归纳、总结出不同的解题模型；要对教材中原有的例题、习题进行改编、演变、拓展，可以改变条件或结论或让条件从原来的静态变成动态，改变成一个新的题型考查学生的审题能力、发散性思维能力、逆向思维能力和灵活应变能力. 从变化的问题中发现不变的模型的本质，从不变的模型的本质中探索模型的规律，让学生在例题、习题的变式训练中潜移默化地学会发现和提出问题，进而分析问题并顺利解决问题.

结束语

中考数学试题的命制基本上都体现了在新课标要求下的教学导向，而回归教材、充分发掘教材是中考试题命制常见的思路. 因此，教师在平时的中考复习过程中，要引导和帮助学生总结和提炼出一些常见的几何基本模型，在解题教学中要善于抓住问题的本质，引导学生充分利用基本模型分析问题，让学生在分析问题、解决问题的过程中充分体会基本模型中所蕴含的数学结论和数学思想方法. 当然，还要倡导问题解法的多样化，倡导一题多解，发展学生的审题能力，开阔学生的解题思路，发散学生的思维，使学生学会从多方面、多角度去分析问题、解决问题，既“心中要有模型”，又“不拘泥于模型”，这对发展学生的数学思维能力、拓宽解题思路、提升学生的数学素养具有重要的现实意义.