串问成“链”，绽放思维的光彩

王晶晶

［摘  要］ 问题是数学的重要组成元素，“问”即学问，是指在学习或实践中得到的知识及能力，“题”即题目，可以承载知识及能力. 狭义地来说，“问题”就是学生用于获得知识及发展能力的载体. 在数学课堂中，问题贯穿整个教学过程，它的主要形式是提问，让师生直接获得交流的机会. 那么，如何设计问题？如何提问？如何让问题发挥更大的价值？这些一直以来都是一线教师及教育专家们热议的话题. 文章以南通市海门区“学程导航·六学课堂”中对课堂的指导课例为参照，简要探析问题导学在初中数学课堂上的实施.

［关键词］ 问题；初中数学；课堂教学

今年以来，南通市海门区持续践行“学程导航·六学课堂”的推进活动，初中数学学科在原有的学程设计的基础上推出了旨在促进学程的优化及增进教师“学程+导航”设计的意识及能力的“学程4.0”研究. 笔者作为此次活动的学习者，有幸聆听了专家们对“学程4.0”的解读，深度学习了榜样教师的示范课堂. 将学到的精神用于自身常态课的教学中，越来越深刻地感受到了问题在导学中的重要作用. 下面结合样例“特殊角的三角函数值”（人教版九年级上册）谈谈笔者对此的理解.

自主先学，呈现问题

自主先学是“六学课堂”的首要环节，也是数学课堂教学的初始. 在这个环节中，引起学生的注意、激发学生的学习自主性是教学目标之一. 在数学课堂中，教师提出问题是吸引学生注意力最直接的方式，这种方式虽然“质朴”，但是在实践中的效果却值得肯定.

问题1：在直角三角形中，一个锐角的正弦、余弦、正切值是怎么定义的？

已知：如图1所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10，求∠A的三角函数值.

（完成方式：学生课前完成后直接上台板演）

设计意图 直角三角形中锐角三角函数的求法是本节课的预备知识，也是上节课学过的内容，因此“以题忆知”，一方面回顾学过的旧知，另一方面为本节课的教学做好相应的知识准备，同时为呈现“问题串”做好铺垫.

情境导学，激发兴趣

学生的自主学习需要依托教师有效的“导”来实现，教师充分而不过分的引导是激发学生学习兴趣、调动学生学习积极性的必要前提和充分保障. 设置一定的情境导入学习是中小学教学中最常见的导学方式，“六学课堂”将“情境导学”的重点置于“导”，问题导学就是实现“导”的有效方式之一.

问题2：图2和图3是学习必备的两块三角板，它们是两个特殊的直角三角形，你有办法求出它们的锐角三角函数值吗？

（完成方式：学生思考后自主回答）

生1：我们可以假设两个三角形的最短边长为1，然后根据这两个直角三角形的特殊性得出另外两边的长度，再根据锐角三角形的求法求出每个锐角的三角函数值.

生2：直接根据这两个三角形的三边关系将它们的边长假设为x，x，2x与x，x，x，然后根据锐角三角函数的公式来求.

师：这两个同学都回答得很好，分别想到了特殊值法与设参法. 那么这两种方法是否都可行呢？

设计意图 由问题1过渡到问题2，没有难度上的跳跃，只有问题考察对象的转移，学生较易完成. 这样可以给学生带来本节课的学习内容并不难的心理暗示，激发其学习兴趣及学好本节课内容的信心.

合作助学，探究问题

合作助学是“六学课堂”的重要环节，也是新课改实施后教学方式的明显转变，通过师生合作及生生合作，不仅有利于问题的深入探究及解决，而且还能增加彼此间的交流与沟通，增进师生及生生的感情.

活动：以两块三角板作为直角三角形模型，选择合适的方法求出其中的锐角三角函数值，并填写下表.

（完成方式：学生小组合作，完成后小组代表在全班中交流展示）

展示片段：

生3：我们小组用设参法求出了这些锐角的三角函数值. （结果略）

师（追问）：你们求得非常正确，那你们知道为什么求这三个角（30°，45°，60°）的三角函数值，而不是求10°，15°，19°，…的三角函数值呢？

生3：因为30°，45°，60°是我们常用的特殊角.

师：你分析得非常到位，我们如果能记住这三个特殊角的三角函数值，一定会对我们以后的学习带来不少便利.

设计意图 经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程是本节课的教学目标之一，该问题的难度不大，让学生小组合作去探索即可，一方面可以对锐角三角函数的求法进行巩固训练，另一方面可以给学生提供主动参与学习的机会，唤醒自主学习的意识. 经历问题的解决过程，其意义远远大于知道结果本身，因此问题在该环节中的作用是引导，即引导学生去思考、去探索.

踊跃展学，建构新知

踊跃展学是“六学课堂”中最精彩的环节，也是整个教学课堂的高潮. 在这个环节中，学生可以获得充分展示自己的机会，真正成为课堂主角，在展示中构建新知，在展示中体悟学习的本质.

问题3：如何有效记忆表中的数值呢？

（完成方式：学生经过短暂的独立思考后举手发言）

生4：我发现第一行的分母都是2，分子分别是，，，随着角的度数的增大而增大，第二行和第一行刚好是首尾相反. 第三行的分母都是3，分子分别是，3，3，也随着角度的增大而增大，并且很有规律.

生5：我记忆的方法和生4差不多，但是把分子上的数全部放到根号里面，第一行是，，，第二行是，，，第三行是，，.

生6：我发现竖着记忆更加方便，每列的分母都是2，2，3，而分子则分别是1，，；，，3；，1，3.

生7：我發现这张表格里的数只需要记住上面两行就可以了，第三行tanA的值用可以快速得到.

生8：我觉得这张表格里的数不需要记忆，只要熟练记住两块三角板的边长之比就可以了，当需要求其中一个角的三角函数值时能快速推算.

……

师：大家的方法真多，每一种都是如此精妙. 确实，特殊角的三角函数值靠的不是机械识记，而是找到合适自己的方法有意识记，我们每个同学一定都找到了最适合自己的方法.

设计意图 特殊角三角函数值的识记对本节课的学习有着重要的意义，让学生自己通过观察思考进行展示，可以集思广益发挥集体的力量让每个学生都获取掌握知识的方法，促进知识的内化. 同时，踊跃展示的主旨在于将问题的本质充分体现，真正实现“教师主导、学生主体”，也将问题导学的意义充分发挥出来.

多元评学，鼓励进取

“以情励学，氛围融洽，注重鼓励学生先‘思‘练‘说‘评”是“六学课堂”中评学的主要精神指导. 在问题导学的数学课堂中，教师的关注点是“导”，即“学程导航”中的“导航”，指引学生前行的方向，当学生遇到困难或障碍时及时给予帮助和鼓励，让学生树立解决问题的信心，迎难而上、不断进取.

题1：计算（1）2cos60°sin30°-·sin45°sin60°；（2）-tan45°.

（完成方式：学生独立完成解答后小组校对答案，纠错改错）

问题4：怎样利用特殊角的三角函数值求角和线段呢？

题2：若tan（α+10°）=1，则锐角α的度数是（  ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 45°

变式：已知△ABC中，∠A与∠B满足（1-tanA）2+sin

B-=0，试判断△ABC的形状.

拓展：已知Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，则∠B=_____°，AC=_____.

（完成方式：学生独立思考、完成解答后举手发言）

展示片段（以“拓展”为例）：

师：这道题大家都做出来了吗？

生9：我觉得这道题错了，它缺少条件.

众生表示肯定.

师：是这样吗？那缺少什么条件呢？你给它加上去吧.

生10：我给它加上“∠A=30°”这个条件.

生11：我加的是“BC=5”这个条件.

师：这两个同学分别给这道题加了特殊角和边长的条件，然后利用三角函数的知识求出了∠B与AC. 那么如果我们换个角度来看这道题，能否添加一个三角函数值作为条件呢？

生12：我觉得可以加“cosA=”这个条件.

师：非常棒！三角函数就是把三角形的边与角相连起来的一个元素，边、角、三角函数可以相互转化.

设计意图 题1是对特殊角的三角函数值的巩固与强化练习，可以让学生组内消化；题2是对培养学生逆向思维的尝试，初次渗透求一个锐角度数的新方法；变式题是数与形的结合，拓展题是对学生质疑能力和创新思维的培养. 整个解决问题的过程主要由学生完成，教师不断从思维、知识、能力等方面对学生进行正面评价，激励学生不断前行.

以练促学，发展思维

适量的习题在新知构建及能力形成的过程中都起着重要的决定作用，因此练习在数学新授课中是不可或缺的一部分. “以标测学、分层变式”是“六学课堂”对练习的指导要求，即以课程本身作为习题训练的标准，以发展学生的思维作为目标，注重变式，同时以分层的形式让每个学生都能提高自身的能力水平.

题3：下列各式中不正确的是（  ）

A. sin260°+cos260°=1

B. sin30°+cos30°=1

C. sin35°=cos55°

D. tan45°>sin45°

题4：在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA=，cosB= ，△ABC的形状是（  ）

A. 直角三角形B. 钝角三角形

C. 锐角三角形 D. 等边三角形

题5：已知等腰三角形ABC的腰长为4，底角为30°，则底边上的高为____，周长为_____.

题6*：在△ABC中，三边之比为a∶b∶c=1∶∶2，则sinA+tanA等于（）

A. B. +

C. D.

每日一题：要求tan30°的值，可构造如图4所示的直角三角形进行计算，画Rt△ABC，使∠C=90°，∠B=30°，斜边AB=2，那么直角边AC=1，BC=，所以tan30°=tanB===. 在此图的基础上，通过添加适当的辅助线，探究tan15°的值.

设计意图 题3至题5为本节课的基础题，是对所学内容的及时巩固，要求每个学生都能完成解答；题6是在判断出特殊三角形形状的基础上的计算题，属于中档题，部分基础薄弱的学生在生生互助中完成解答；“每日一题”为半开放性题目，学生课后完成解答，可以借助各种学习资源或与他人合作完成，本题解法不唯一，可以给基础较好的学生提供探究钻研的平台，促进其发展高阶思维.

“学程4.0”是对“六学课堂”中学程的强化，它更加注重教学过程中学生的“学”. 课堂教学是一个完整的过程，“问题串”承载的是学生学习的知识，因此它们并非彼此独立而是相互联系. 不管是教学预设还是课堂实践，教师都需要注重问题与问题之间的内在联系. 问题犹如一颗颗美丽的珍珠，如果散落在課堂的各个角度，也许不会被发现或者很快会被遗忘，只有将这些珍珠串成迷人的项链，才能让问题发出璀璨的光芒，吸引学生去发现、去撷取，让学生的思维跟着问题一起绽放绚丽的光彩. 串问成“链”，方能彰显问题导学的价值.