“微探究”助力学生理解数学概念

吴玉珠

[摘  要] 文章以“函数的零点”一课为例，通过“微探究”方法，展示知识的生成过程，以及知识点之间的联系，让学生在探究中体验感受、建构的过程，从而更好地突破教学难点，加深学生对概念的理解与应用.

[关键词] 微探究;数学概念;函数的零点

关于“微探究”的理解

《普通高中数学课程标准（2017年版）》重点谈到，对于教学方式，尤其要关注促进从教到学的变化，应根据不同的内容，采用不同的教学与学习方式. 如收集资料、调查研究等方式，或者实践探索、自主探究、合作交流等方式. 随着新课程改革的进一步深化，探究式教学在数学课堂上也越来越受到重视，并逐步成为高中数学课堂教学的一种主流形式. 然而，在高中数学探究课堂上往往存在诸多问题，如教学任务的限制，升学的压力，学生学习方式上的依赖思想，探究时间的把控，等等，为了改善探究式教学的弊端，提升数学学科核心素养，提出一种半结构化的探究式教学方式——“微探究”.

在倡导探究式教学的新课改背景下，如何有效地开展概念教学是一线教师必须思考的课题. 概念的形成是概念教学的基础和重点，甚至是一个难点. 建构主义教学观认为，数学知识不是简单地通过教师灌输到学生的头脑中，需要基于个人经验的操作、交流，通过反省而主动建构. 所以，教学中恰当使用“微探究”方法，充分展示知识的形成过程，让学生在体验中感受、建构，不仅可以有效地突破概念教学的难点，还可以帮助学生深刻理解概念，以及培养其运用概念的意识与能力.

“微探究”在“函数的零点”一课应用的思考

1. 本节课的地位和作用

函数是研究事物变化过程的数学模型，而方程刻画的则是相等关系成立的某种状态.本节课在已有知识从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式的基础上，进一步研究一般函数零点的概念及函数零点存在性定理，并用函数零点存在性定理判断函数零点是否存在.嘗试研究函数的零点与方程的解之间的关系，不仅可以为“用二分法求方程的近似解”的学习做准备，也进一步揭示了方程与函数之间的本质联系——“函数与方程思想”的理论基础，具有承上启下的作用.函数的零点在中学数学中具有核心地位.

2. 本节课内容剖析

本节课内容有函数零点的概念、函数的零点与方程的解的关系、函数零点存在性定理.在苏教版必修第一册3.3.1节中，学生已初步掌握了二次函数的零点、一元二次方程的解、二次函数图像与x轴交点的横坐标三者之间的关系.在此基础上，推广到一般函数的零点、相应方程的解、函数图像与x轴交点的横坐标三者之间的关系.通过函数与方程的联系，研究函数零点存在性定理，体验转化与化归思想的意义与价值，感知函数是描述客观世界变化规律的基本模型，体会符号化、模型化的思想，体验从系统的角度思考局部问题的思想，培养学生逻辑推理、直观想象、数学抽象等数学核心素养.

3. 学生的学情分析

在此之前，学生已经学习了二次函数零点的概念，初步掌握了二次函数的零点、一元二次方程的解、二次函数图像与x轴交点的横坐标三者之间的关系，这为进一步了解函数的零点做了铺垫.本节课是在二次函数的基础上进一步的延伸与拓展，再次从“形”的角度上升到“方程的解”这一代数本质去理解函数零点存在性定理. （1）结合学生已有的知识经验（二次函数零点的概念），类比得到一般函数零点的概念;（2）对于一般函数的零点，让学生明白该如何去求解零点，如何判断零点是否存在，零点存在的依据是什么;通过举反例，利用数形结合、转化与化归等思想，拓宽学生的思维，提升学生解决问题的能力;（3）基于本班学生思维较活跃，采用小组合作、问题探究、实际问题分析、动手操作等形式开展教学活动，使学生认识和理解知识. 基于此，设计本节概念课教学时，决定利用“微探究”方法，在零点存在性定理的探究中，拿出8—10分钟时间，引导学生用自我探究与合作学习的方式进行学习，使其体验过程，培养其能力，以小见大，见微知著.

“微探究”在“函数的零点”一课中的应用流程

“微探究”在“函数的零点”一课中的应用流程如图1所示：

1. 函数零点的概念

观察二次函数y=x2-2x-3的图像，回顾二次函数的零点、一元二次方程的解以及二次函数图像与x轴交点的横坐标三者之间的关系（如图2所示）：

问题1：（用几何画板展示函数y=x2-2x-1，y=-x3+x2-x+1，y=3x-x2的图像）能否通过这些图像类比推导一般函数y=f（x）零点的概念？

设计意图：从简单的函数图像到复杂的函数图像让学生通过直观感知，发现函数图像与x轴交点的横坐标同相应方程的解的关系，让学生通过已掌握的二次函数零点的概念类比得到一般函数零点的概念. 由特殊到一般，在复习旧知中孕育新知.

师生活动：通过一组函数图像的展示，让学生结合前面已掌握的二次函数的零点进行类比，“以形助数”得到一般函数零点的概念：对于函数y=f（x），使得f（x）=0的实数x叫做y=f（x）的零点.

进一步追问：函数的零点、方程的解、函数图像与x轴交点的横坐标三者之间存在什么关系？学生根据已有知识类比得到三者之间的关系（如图3所示）：

2. 零点存在性定理

问题2：判断下列函数是否存在零点.

（1）y=x2-2x-3;

（2）y=2021x2-2023x+1;

（3）y=lnx+2x-6.

设计意图：由易到难，层层递进，拾级而上，从图形中感知零点存在性.

师生活动：第（1）问和第（2）问由学生动手作出函数图像，第（3）问由几何画板展示函数图像，使学生在动手实践中获得经验，让学生从图形中充分感知零点存在性，自然过渡到问题3.

设计意图：让学生用数学的眼光观察函数图像，发现规律，为后续零点存在性定理的理解做好铺垫.

问题4：若对于定义在[a，b]的函数y=f（x），f（a）f（b）<0能否确定y=f（x）存在零点？请举例说明，分组讨论. 以f（a）<0，f（b）>0为例，y=f（x）在（a，b）中是否存在零点？

设计意图：让学生根据已有知识进一步思考，由零点两侧函数值的正负关系，为零点存在性定理的理解增加感性认识和理性思考.

师生活动：学生分组讨论，充分酝酿，教师适当给予提醒和帮助. 预设可能出现的情况：（1）用直线连接，如图4①所示;（2）用曲线连接，如图4②所示;（3）定义域[a，b]内，函数的图像断开不连续，如图4③、图4④所示.

问题5：（结合情况（3）追问）需满足什么条件才能说明y=f（x）在（a，b）内存在零点？

引出零点存在性定理：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是一条连续不断的曲线，且f（a）f（b）<0，则函数y=f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点.

问题6：若f（a）f（b）>0，函数y=f（x）在区间（a，b）内一定没有零点吗？

问题7：若f（a）f（b）<0，函数y=f（x）在区间（a，b）内只有一个零点吗？可能有几个？

问题8：零点存在性定理中函数y=f（x）的图像在区间[a，b]内是连续不断的，判断零点在（a，b）内有什么理由？

设计意图：通过“问题串”的形式环环相扣，让学生有充分的时间进行探究，体验概念的形成过程，让学生在探究中领会函数的零点存在性定理，巧妙地突破和化解对函数零点存在条件的理解这一难点.

“微探究”给我们的启发

1. “微探究”应以问题驱动激发学生的学习动机

法国启蒙思想家卢梭说过，“问题不在于告诉学生一个真理，而在于教他怎样去发现真理.”函数的零点概念的生成不是孤立的，是通过问题引导学生利用二次函数的零点类比获得的. 对于零点存在性定理的条件的探究，主要让学生通过函数图像直观感受零点存在的条件. 基于这样的考虑，以“问题驱动”实施“微探究”，用“问题”激发学生的探究欲望，在激发学生的学习动机的同时，使得学生在知识生成过程中体验获得感，增强学生的理解能力.

2. “微探究”应尊重学生的实际学情

苏联数学教育家斯托利亚尔指出，“积极地数学教学，应是数学活动（思维活动）的教学，而不是数学活动结果. ”因此，教学应以学生已有的基本活动经验与知识水平为基础，既不要低估学生的学习能力，也不要过高估计学生的知识水平，在学生能力的“最近发展区”与“最低发展区”提出问题（甚至可以联系其他学科设置问题）是教师的基本功之一.从教学设计来看，问题4虽然抽象，但是学生通过大胆作图，借助图像举反例，寻找根源，通过小组讨论，让学生在思维碰撞中发现问题、提出问题、分析问题，然后有效地解决问题，进而培养学生的“四基四能”.

3. “微探究”应注重学生为主体设计目标

数学概念教学设计是基于学科知识、课程知识、学生知识这三者而实施的，教学过程灵活多变，需要教师通过问题设置使得课堂是教师主导、学生主体的翻转课堂，让更多的学生参与课堂活动，同时要善于运用小巧、灵活的“微探究”，引导学生“乐于其中，学于其中，研在其中”，不断经历概念抽象、生成的过程，深刻理解概念、掌握概念与运用概念.

作者简介：吳玉珠（1983—），本科学历，中学高级教师，栖霞区数学学科带头人，从事高中数学教学工作.