追溯数列的函数之源

[摘  要] 数学的发展是和人类物质文明和精神文明的发展交融在一起的，基于数学文化背景下的数学学习，可以使学生在学习数学知识、思想方法的基础上进一步从科学的视角认识生活、认识世界，有利于学生形成正确的世界观和人生观. 古往今来，数列始终是数学研究的重要问题之一，在人类文明诞生最早的四大文明古国的历史文献中都有着对数列的记载.数列的产生源于人类生产生活的需要，《普通高中数学课程标准（2017年版）》把数列作为函数主题的内容之一，突显了数列的函数特征，因而研究者研究数列的单调性、最值时，可以考察数列前后两项的关系，也可以通过构造函数来处理.

[关键词] 数列;函数特征;单调性;最值

追溯数列本源

数列其实是一个很古老的话题，在人类文明诞生最早的四大文明古国——中国、巴比伦、古希腊、古印度的历史文献中都有着对数列的记载.数列的产生源于人类生产生活的需要，当人类的祖先想用一组数按照一定顺序记录某种变化过程或表示某一类事物时，数列就产生了.

事实上，在欧拉给出函数解析式定义并引入函数记号后的漫长时间里，函数并非数学教科书中的核心概念，而数列却始终是代数教科书的重要内容之一，数列与函数风马牛不相及. 到了20世纪，函数概念成了中学数学课程核心概念后，数列才逐渐被视为特殊的函数.只是当数列被视为函数后，数列通项的符号才应运而生.

揭示函数特征

《普通高中数学课程标准（2017年版）》把数列作为函数主题的内容之一，指出：数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型函数的基本工具，在日常生活中也有着广泛的应用. 因为数列是按一定顺序排列的一列数，是定义在正整数集或其子集上的特殊函数，因此处理数列的函数特征——单调性问题时，可以考察数列前后两项的关系，也可以通过构造函数来处理.

1. 数列的单调性及最值问题

数列作为特殊的函数，其单调性的判断与研究也是特别的，只需要研究相邻两项之间的关系即可. 解决数列的单调性问题可用以下三种方法：其一，用作差比较法，根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列;其二，用作商比较法，根据与1的大小关系及an的符号进行判断;其三，结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件.

分析：要判定数列项的最大值和最小值，可以先判定数列的变化规律，再根据数列的变化规律考虑数列的最大项和最小项.因为数列和函数有很多可以相通的地方，所以数列问题可以借助函数进行解决，但数列并不等同于函数，因此要注意二者的区别.若从函数角度解决问题，则需要将数列问题抽象为函数问题，利用函数的图像和性质进行解题.

此处用数学归纳法来探究：

古往今来，数学的发展和人类物质文明和精神文明的发展交融在一起，基于数学文化背景下的数学学习，可以使学生在学习数学知识、思想方法的基础上进一步从科学的视角认识生活、认识国家、认识世界，有利于学生形成正确的世界观和人生观. 教师应有意识地结合相应的教学内容，将数学文化渗透在日常教学中，引导学生了解数学的发展历程，认识数学在科学技术、社会发展中的作用，激发学生的数学学习兴趣，感悟数学的价值，提升学生的科学精神、应用意识和人文素养.

參考文献：

[1]  何伟淋，汪晓勤. 数学符号史在高中数学教学中的应用与价值[J]. 中小学数学，2018，05（9-13）.

作者简介：蒋晓东（1969—），本科学历，高级教师，从事中学数学教育教学研究工作.