关注数学实验教学，提升学生的“四基”与“四能”

严小红

[摘  要] 坚持“以生为本”教学原则，带领学生感知知识的形成和发展过程，已在如今高中数学教学界达成基本共识. 文章以一节椭圆折纸的实验课教学为例，从实际教学背景出发，带领学生历经折纸实验教学的五个环节，以提升学生的“四基”与“四能”.

[关键词] 数学实验;折纸;操作

新课标明确提出：数学教学活动不能局限于记忆、模仿和练习等方面，还应注重动手实践、自主探索与合作交流等活动方式[1]. 数学实验能让学生在自主操作中进行思辨，让学生体验数学发现和创造的神奇之处，从而有效地启发学生的思维，促进学生对知识、技能、思想、活动经验的掌握（简称“四基”），培养学生发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力（简称“四能”）.

教学背景分析

实验操作能为学生提供良好的学习体验，培养学生动手、动脑的能力，为创新意识的形成和发展奠定基础. 为了贯彻落实教育系统对创新人才的培养要求，笔者在椭圆教学中，特别针对本班学生设计了一堂实验操作课，以促进学生多样化和差异性发展. 椭圆折纸内容在教材中有所体现，本节课中，笔者带领学生通过实验操作和思辨进行教学，取得了一定的成效.

教学简录

选择实验探索教学法，通过实验引发学生猜想，而后进行验证、应用、拓展、反思等，意在培养和发展学生的“四基”和“四能”. 教学的每个环节都以问题为驱动点，让学生在解决原有问题的基础上提出新的问题，使得每个问题环环相扣，让学生从真正意义上掌握问题的探究方法和知识的内涵.

1. 第一个环节：实验引发猜想

要求学生提前准备一张圆形纸，在纸片内任取一点A（非圆心），折叠这张纸片，使得圆周必须经过点A，展开后可见一条折痕（用l表示），为了能清楚地看到这条折痕，可用铅笔将l勾勒出来（见图1）. 随着折叠次数的增加，折痕越来越多，要求学生观察勾勒出来的折痕轮廓，说说形成了一个怎样的曲线. 此过程建议学生两两分组，配合完成.

师：在折叠过程中，圆周上的每一点都能与点A重合，形成对应的折痕吗？

生1：实践证明是可以的.

师：既然每一点都可以，那么所获得的图形是不是一个封闭图形？

生2：是的.

师：照这么来看，也就是要尽可能增加折叠次数，现在我们一起来分析一下，进行多次折叠后所形成的封闭图形是什么图形.

众生：应该是椭圆形.

师：因为手动折叠受各种因素的限制，现在我们借助多媒体的演示功能，模拟手动折叠，将折痕显示出来（见图2），大家一起来感知无数次折叠后所形成的折痕轮廓与曲线之间存在怎样的位置关系.

设计意图：学生亲历动手操作，易对知识形成良好的感性认识，为椭圆的出现奠定基础. 但手动折叠纸张的次数有限，无法直观看到所获得的封闭图形，而应用多媒体，不仅能让学生直观看到动手操作所无法达成的效果，还能让学生在强烈的视觉冲突中，对知识形成深刻印象，为更好地理解与内化知识夯实基础.

张奠宙认为：实际操作具体事物，并进行观察与思考，能让学生从感性认识上升到理性认识，获得基本的数学经验[2]. 以上教学过程告诉我们，数学实验操作除了亲自动手增强对知识的直观认识外，还可以将信息技术与数学课堂教学相融合，给学生带来更加丰富的感官刺激，以深化学生对知识的理解.

2. 第二个环节：验证引发结论

师：大家都认为所获得的轮廓线为椭圆形，有没有办法进行验证呢？

生3：如图3所示，我们可猜想折痕与曲线为相切的关系，也就是说每条折痕都是曲线的切线.

师：不错，我们该如何证明折痕是曲线的切线，且曲线又是椭圆呢？

生4：我们可以从“只有一个公共点”的角度进行探索.

师：要确定切点既位于折痕上，又位于椭圆上，那么在图3中该如何表达出来呢？

生5：其实折痕即线段AB的垂直平分线，连接OB，并与折痕相交于点C，我们只要证明以下两点即可：①点C位于椭圆上;②椭圆与折痕之间有且只有一个公共点.

师：该如何证明这两点呢？

生6：根据垂直平分线的性质，可知OC+AC=OC+BC=OB（半径），从椭圆的定义出发，可以明确点C位于椭圆上. 从折痕上任意取点D（非点C），结合三角形的性质，可知OD+AD=OD+BD>BO（半径），由此可确定点D不位于椭圆上.

师：很好！由此可知，有了圆心O和点A后，圆周上的每一点都与一条折痕相对应，也就是每一条折痕都与轮廓线上的某点相对应，这些点连在一起就构成了椭圆. 通过以上验证，我们可以获得什么结论？

结论1：每一条折痕都与椭圆上的一点相对应，折痕即椭圆的切线.

师：现在我们来讨论，如果将图中的AC视为入射光线，反射面为折痕所在面，那么哪条线为反射光线？

众生：CO为反射光线.

师：该怎么验证这个结论呢？

（学生合作交流）

生7：如图4所示，因为∠1=∠2，∠1=∠3，所以∠2=∠3，由此可以确定入射角与反射角相等，可证明椭圆的光学性质.

师：由此我们可以获得什么结论？

结论2：从椭圆的一个焦点发出的光线，在椭圆壁反射后，必经过椭圆的另一个焦点.

设计意图：师生合作，分析并解决问题的过程，是激发学生探索欲的契机. 教师通过对问题的精心设计与耐心引導，让学生在问题情境中自主动手操作、合作探究，获得相应的结论.

3. 第三个环节：理解促进应用

师：在以上结论的基础上，我们一起来探讨椭圆的切线方程.

师：初遇本题，大家会想到用哪种方法来解决这个问题？

师：之前我们还研究了光学性质，我们是否可以从这个角度来分析解题？

师：以上问题是在知道椭圆方程的情况下求切线方程，如果反过来，在知道切线方程的情况下，是否能求椭圆方程呢？

设计意图：例题训练不仅能夯实学生的“四基”，还能有效地启发学生的思维，为知识的灵活应用与“四能”的发展奠定基础. 通过以上两个例题，引导学生从多角度探索问题，不仅拓宽了学生的视野，还有效地突破了学生思维定式的禁锢，让学生能灵敏地应对各类新的问题，并学会从不同角度分析与思考问题，这种教学方式可以有效地促进学生成为独具个性的学习者.

4. 第四个环节：拓展启发思考

新课标引领下的数学教学应遵循“以教材为根本”的原则，教师应揣摩编者的意图，围绕核心知识组织教学. 教材所呈现的知识是静止的、固化的，但实际教学却是动态的、多维的. 鉴于此，教师在以实验操作为主导的教学活动中，也要注重知识的拓展和延伸，以增加教育的内涵，凸显数学教学的价值与意义.

创造性地应用教材，在课堂中根据实际教学需求，对教学内容进行适当的改造和拓展，对培养学生的学习兴趣，促进思维发展具有一定的意义. 作为教师，需潜心研究学生和知识的特点，通过丰富多样的教学手段引导学生从不同角度拓宽知识面，让学生充分理解知识所蕴含的辩证规律和科学精神，感知数学独有的魅力.

师：大家在纸上画圆O，并在该圆外取一个定点F，折叠纸片，让圆周经过点F，展开纸片可得到折痕l（为了看清，可用铅笔将l勾勒出来）. 按照这种方式进行多次折叠，获得了大量折痕，观察折痕轮廓，说说得到了什么曲线（见图5）.

学生经过观察、类比、归纳推理，一致猜想所获得的曲线为双曲线，证明过程有待于课后研究.

设计意图：此拓展是对本节课教学主题的深入探究，教师在下课前，巧妙地将培养学生“四能”的活动延伸到课堂之外，随着问题的提出，再一次有效地调动了学生探究的积极性. 在教师的点拨与启发下，学生的思维经历了由浅入深、由易到难的发展过程. 尤其是此问，不仅具有一定的难度，还是一个典型的开放性问题，对培养学生的数学思维与创新意识有着显著帮助.

5. 第五个环节：总结引发思考

本节课以折纸这个操作实验作为探索知识的主要手段，对培养学生的“四基”和“四能”具有重要的价值和意义. 教学中，实验的设置、验证、应用、思考等，都围绕着“折痕”而展开，每个环节环环相扣、逐层递进，学生不断地质疑、释疑，思维经历了丰富的猜想、严谨的验证、灵活的应用、类比分析等过程，有效地促进了学生各项数学能力的形成和发展.

通过以上实验操作的实施，学生不仅学会了用数学的眼光看待生活中的事物，感知生活与数学密不可分的联系，还获得了从生活事物中抽象数学模型的能力. 尤其是一边操作一边描述的教学方法，让学生学会了用多种方式来解释身边的数学现象，为形成良好的数学核心素养奠定了基础.

教学反思

1. 围绕“四基”和“四能”展开实验教学

“四基”和“四能”是课堂教学的主要目标，本节课通过五个环节的教学设计，讓学生通过实验操作经历了猜想、验证、理解、应用、拓展、总结、思考等环节，对培养学生的解题能力、问题意识、创新意识等具有显著的促进作用. 反观这五个环节，都是围绕培养学生的“四基”和“四能”进行的.

2. 教师需站到宏观的角度引领学生实验探究

随着新课改的推进，不论是对教师的教学水平，还是对知识储备的要求都越来越高. 作为高中数学教师，应不断地增强自身的专业水平，为学生源源不断地输入“活水”. 本节课的例题源于教材，教师让学生亲历实践操作，发现折纸后所形成的轮廓线为一个椭圆，这种观察更偏感性认识，缺乏理性思考.

其实，折纸实验后所形成的椭圆，涉及折痕与切线之间的关系，从数学本质上来看，就是要研究二者的一致性，此时的探究具有明显的逻辑性，符合对知识理性认识的范畴. 受时空的限制，有些问题不便于课堂上进行研究，作为教师，应有足够的知识储备和能力，将复杂的问题深入浅出地传授给学生，激发学生的探索欲.

3. 用实验的感性推进理性思维的发展

实验操作带给学生的先是视觉冲突，让学生对知识形成感性认识，这是进行数学推理的基本步骤[3]. 如例1让学生求椭圆上某点的切线，就可以与圆上某点的切线进行类比，获得切线方程. 这种处理方式从逻辑上来看，缺乏一定的严密性. 而将椭圆方程与直线方程联立方程组的方法，所获得的切线方程则属于理性层面的分析，凸显了解析几何的灵魂.

总之，数学实验为学生提供了动手操作的机会，让学生充分体验了知识的再创造过程，从很大程度上提高了学生的学习兴趣、动手能力、思维能力、创新意识等. 注重实验操作教学，不仅能让学生在操作、观察、思考等层面训练数学思维，还能有效地提高教学效果，促进数学核心素养的形成和发展.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]  张奠宙. “与时俱进”谈数学能力[J]. 数学教学，2002（02）：7-9.

[3]  顾泠沅. 教学实验论：青浦实验的方法学与教学原理研究[M]. 北京：教育科学出版社，1994.