对数列错位相减法求和的探讨

秦文波 刘红梅

[关键词] 数列求和;错位相减法;差比数列;多项乘比数列

推导等比数列前n项和公式时，几乎所有高中数学新教材（2019年及以后出版的）都会介绍错位相减法，但是，同老教材一样，新教材并没有对错位相减法作更深入的介绍，这在某种程度上给许多师生带来了一些认知上的偏差. 下面，笔者结合自己开展的专项教研活动，就数列错位相减法求和中一些师生关注的问题作简要探讨.

约定

为了叙述方便，本文有以下两点约定：

（1）将“一个非零等差数列与一个公比不为1的等比数列对应项之积构成的数列”简称为“差比数列”.

探讨

探讨1：是不是只有差比数列才能用错位相减法求得前n项和？

因此，错位相减法并非差比数列的专属求和方法，某些非差比数列也可用错位相减法求和.

探讨3：用错位相减法求和时是不是一定要乘公比？

由探讨1可知，用错位相减法求差比数列的前n项和时，第一步是等式两边同“乘公比”，其目的是在“错位”后“对位”，而“对位”是为了整体“并项”，“并项”后就可以借助等比数列的求和公式完成差比数列求和. 因此，“乘公比”是非常重要的操作手段. 下面探讨“乘其他实数”的情况.

因此，用错位相减法求和时，可以在和式两边乘不是公比且不等于1的非零实数，只不过要多用一次错位相减法. 所以，乘公比并非错位相减法求和的必然要求，只是与乘其他实数相比，乘公比更简单.

结语

一般地，每一种数学运算方法都有其特定的运算对象和运算规则，错位相减法也不例外. 对运算对象的深入理解和运算规则的牢固掌握是使用运算方法进行准确运算的前提，每一种运算方法的教学都应在这两方面深入思考、下足功夫，只有这样，才能帮助学生形成正确的认知结构. 前述可知，差比数列的前n项和虽然是错位相減法基本的运算对象，但教师不能将其“窄化”于此;乘公比虽然是错位相减法最佳的处理方式，但教师不能不讲理由地生搬硬套，并且给学生传达错误的观念.