探究问题本质 提升解题能力

运其书

[摘  要] 在高中数学教学中，教师要改变“灌输式”和“题海式”的教学模式，充分利用教材例习题资源，通过拓展和延伸帮助学生认清问题的本质，掌握解题的通法，进而“会一题通一类”，真正实现高效课堂.

[关键词] 本质;通法;高效

评价一节数学课的好坏不是看学生做了多少道题，也不是看教师讲了多少道题，而是看学生是否真的会做了、教师是否真的讲透了，如果“做而不思”“讲而不深”，那么就失去了“做”与“讲”的真正价值. 然在“唯分论”的影响下，部分教师为了追求成绩，常通过加大题量和讲解密度来提高课堂效率，殊不知过多的练习和讲解不仅容易造成学生的思维疲劳，而且挤占了学生反思和总结的时间，学生虽然听得懂，但是独自解决问题时却困难重重，出现了“懂而不会”的现象. 虽然数学题目繁多，然并不是没有规律可循，与其求急求快地讲多个题型而出现“夹生饭”的现象，不如将重点放在一类题目上，若能将一类题目学懂吃透，那么学生再面对此类问题时会显得得心应手，这样不仅可以使解题速度有所提升，解题信心也会有所提高，显然有助于学生解题能力的提升.

笔者教学基本不等式时，以一道典型习题为例，充分展示学生的思维过程，通过有效变式诱发学生深度思考，让学生将此类问题学懂吃透，以此有效拓展学生的思维，提升学生的整体思维水平.

提出问题，展示思维过程

例1源于教材，题目看似简单却有着丰富的内涵，笔者精心挑选习题，试图通过充分暴露学生的问题而引发学生深度思考，完成相关知识的内化.

师：请大家思考一下，给出你的解题过程. （让学生独立思考，尝试应用本节新知解决问题）

师：生1应用了两次基本不等式，你们是不是也应用了同样的方法呢？（从学生反馈来看，有不少学生也应用了同样的方法）

师：现在大家仔细观察解题过程，有什么发现？（鼓励学生先纠错，眼尖的学生已经发现了问题）

生2：從取等号的条件可以看出，第一次取等号是x=2y，而第二次是x=y，难以找到符合条件的x，y的值，因此用该方法求解无法同时取等号，也就不能取到最小值.

师：分析得很有道理. 若解题时要应用两次基本不等式，需要注意什么？

生齐声答：一定要注意两次取等号的条件.

初学基本不等式，学生应用时难免会考虑不周，教师不要急于批评或指正，要给学生一个自我认识、自我纠错的过程，这样便于学生形成深刻印象，为日后合理应用奠定良好的基础.

师：那你们还有没有其他的解决办法呢？

生3：我应用的是消元法. （利用投影仪展示生3的解题过程）

师：这个方法很好，先是应用消元法消去了y，又灵活应用换元法实现了转化，然后应用基本不等式解决了问题.

生4：我认为这样求解有点复杂，我有更简单的方法. （一听到有更简单的方法，学生的注意力迅速被吸引了起来，迫不及待地想知道结果）

生4：观察已知，其实x+2y=1是一个特殊值，因此可以利用这一特殊性来求解.

师：生4的解法确实很精彩，条理清晰、运算简洁. 请大家对比一下生3和生4的解题过程，你们有没有发现什么共同的特征呢？

在教师引导下，学生将两种解法进行了对比，惊喜地发现其实两种解法的本质是相同的，都是通过构造法来解决乘积为定值的问题. 其实很多解法看似不同，然其本质或出发点往往是相同的，而对于这些“同”与“不同”的认识往往需要认真反思.

应用变式，激发思维活力

学生解题时之所以经常出现“懂而不会”的现象，大多是因为学生没有掌握问题的本质，解题时习惯模仿和照搬，当题目略有变化时就显得束手无策. 例1顺利求解后，学生的探究热情被激发了出来，这时笔者并不急于对下一个题型进行讲解，而是借助一些变式题目让学生乘胜追击，让学生真正掌握此类题型的解题方法，进而提升个体解题能力.

变式1与例1是结构相同的题目，学生通过代“1”快速地解决了该题，以此提升了解题信心. 从学生反馈来看，几乎所有学生都能顺利求解，学生的解题热情高涨.

变式3：已知正数x，y满足x+y=xy，求x+2y的值.

求解变式3时，一些学生应用了消元法，一些学生应用了代“1”法. 消元法是解决二元问题的基本方法，代“1”法虽然具有一定的特殊性，然将不熟悉的已知条件转化为熟悉的条件，也是重要的数学思想方法，是学生应具备的数学能力.

本题乍看上去与之前的题目都不同，因此笔者将其重点呈现出来，让学生找到解题的关键点，认清问题的本质.

师：对于这个问题，你是怎么想的？

师：请具体说一说.

师：非常好，应用换元法巧妙地解决了该题，将换元法应用得出神入化.

生6：老师，这道题其实与例1是相同的. （很多学生投来了不解的目光）

师：说说你的想法.

师：非常棒！通过换元法拨开了问题的神秘面纱，挖掘出了问题的本质，看来大家已经练就了一双火眼金睛.

高考结束后，大多数学生都感觉高考题目“新”“难”，然考后仔细分析又发现当时认为的“新”，其实就是平时重点练习的题目，甚至有些就是教材上的例习题. 之所以很多学生感觉“新”“难”，就是因为未能褪去问题的神秘外衣，没有发现问题的本质，致使解题时找不到较好的解决方法，即使顺利地解决了问题，也可能消耗过多的时间. 因此，在日常教学中，教师应多应用一些变式问题帮助学生挖掘问题的本质，从而掌握解决问题的通法，以此提高解题能力.

乘胜追击，拓展应用

师：以大家现在的水平，完全可以应对高考了，大家有没有信心挑战一下高三的题目？

生齐声答：有！

师：很好，我们一起来看一下下面这两道题. （用PPT展示题目）

教学感悟

教材例习题是珍贵的教学资源，是专家们智慧的结晶，题目中往往蕴含着深意，若想利用好这宝贵的资料，教师就必须认真钻研教材，充分挖掘例习题的价值，在帮助学生巩固和强化新知的同时，还要通过有效的拓展和延伸帮助学生理清知识的内在结构和联系，引导学生挖掘出问题的本质，掌握解决问题的通法.

另外，讲解例习题时，教师要充分展示学生的思维过程，切勿越俎代庖，只有充分暴露学生的问题才能通过有效的修补来完善认知，提升解题能力. 如在例1的解题过程中，学生因对取等号的条件考虑不周而造成了错误，暴露出学生对应用基本不等式还有些生疏. 问题出现时笔者并没有及时指正，而是引导学生自己纠错，致使学生对该问题有了更深刻的认识，相信学生以后能有效避免再次犯错. 同时，在笔者的鼓励下，学生尝试应用消元法和代“1”法解决同类问题，为了让学生能够认清问题的本质，笔者通过变式题目进行引导，既激发了学生的探究热情，又让学生掌握了解决此类问题的通法，实现了“会一题通一类”的效果，学生的思维能力和解题能力都有了“质”的提升，真正地实现了高效课堂.

总之，数学教学中若直接“授人以鱼”，难以让学生形成能力，即使当时靠模仿解决了问题，然后面学习仍会困难重重，所以教学中应“授人以渔”，借助问题形成技能，提高解题能力.