利用函数思想比较大小

摘要：文章主要从把字母看作变量或把代数式看作函数、利用函数的性质、根据结构构造函数比较大小

和数形结合四个方面介绍了函数思想在比较大小问题中的应用.

关键词：函数思想；数形结合；同构

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2022）28-0036-04

收稿日期：2022-07-05

作者简介：李文东（1981-），男，湖北省咸宁人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

函数思想是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决.利用函数思想解题指的是一种意识，一种解题时的思维习惯，具体说就是用变量和函数的观点来思考问题.对于比较大小问题，我们利用函数思想去思考，往往可以起到简化的作用.

1 把字母看作变量或把代数式看作函数

例1（糖水不等式）设a>b>0，m>0，证明：b+ma+m>ba.

证明设f（x）=b+xa+xx>0，则

f（x）=b-a+a+xa+x=1+b-aa+x.

由于a>b>0，故b-a<0.

因此函数f（x）在0，+上单调递增.

故f（x）>f（0）.

即b+ma+m>ba.

例2设实数a，b，c 满足a>b>1，c>1，则下列不等式不成立的是（）.

A. ba

B. 1a

C. 1c

D. 1ab

解析令f（x）=a+bxb+axx>1，则

f（x）=a-b2a+bab+axb+ax=ba+a2-b2ab+ax.

由a>b>1知，函数f（x）在1，+上单调递减.

故ba

即a+bcb+ac∈ba，1.

可见选项A，B正确，选项C，D的右边正确，对于C选项左边1c1显然成立，对于D选项左边，若不等式成立，则应有1ab≤baa≤bba≤b3，可见其不一定成立.

本题答案为D.

点评例1雖然用不等式的性质也很容易证明，但是利用函数的思想求解则是从另外一个角度看问题，这在例2中其优点就很明显，例2若是用不等式的知识求解就比较困难.

2 利用函数的性质比较大小

例3设a，b，c>0，且a2+b2=c2，n∈N*，且n≥3，试判断an+bn与cn的大小.

解析由a2+b2=c2，得ac2+bc2=1.

从而0

令f（n）=acn+bcn，显然f（n）单调递减.

从而f（n）

即an+bn

3 根据结构构造函数比较大小

例4（多选题） 若a>b>0，则下列不等式中一定成立的有 （）.

A. a1+a>b1+bB.a-b>1b-1a

C.a+1b>b+1aD. aeb

解析设f（x）=x1+x=1-11+x，可见f（x）在0，+上单调递增.

故f（a）>f（b）.

即a1+a>b1+b，可见A正确;

a-b>1b-1aa+1a>b+1b，令f（x）=x+1x ，由于f（x）在0，1上单调递减，在1，+上单调递增，可见B不一定正确；

a+1b>b+1aa-1a>b-1b，令f（x）=x-1x ，由于f（x）在0，+上单调递增，可见C一定正确；

bea>aebeaa>ebb，令f（x）=exx，则f ′（x）=exx-1x2>0，解得x>1，则f（x）在0，1上单调递减，在1，+上单调递增，可见D不一定正确.

本题答案为AC.

点评本题构造函数的方法称为同构法，同构法是目前高考比较热门的比较大小的方法.数学中的同构式是指除了变量不同，而结构相同的两个表达式.许多比较大小的问题，通过等价变形，可以转化为同构式，然后构造函数，利用函数的单调性求解.

例5（多选题）下列不等关系正确的有（）.

A.3e13

C.eln8<252D.elnπ>π

分析观察四个选项：3e13213>132；eln8<252eln222<42ln2222πlnππ>1elnππ>lnee.

解析设f（x）=lnxx，则f ′（x）=1-lnxx2，则

f（x）在0，e上单调递增，在e，+上单调递减.

故f（3）>f（e）.

即ln33>lnee.

即ln33>lnee=1e.

得3e

由f（π）>f（e），即lnππ>lnee.

即lnππ>lnee=1e.

得elnπ>π，故D正确；

由f（2）=f（4）

即13ln2<2ln13.

得213<13，故B错误；

由f（22）

即eln22<22.

得eln8<42，故C正确.

故本题答案为ACD.

例6（2021年全国乙卷理科数学第12题）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=1.04-1，则（）.

A.c

C.a

解析令x=0.01，则x∈（0，1）.

a=2ln（1+x），b=ln（1+2x），c=1+4x-1，

令b-c=ln（1+2x）-1+4x+1=f（x），

则f ′（x）=21+2x-421+4x

=2（1+4x-2x-1）（1+2x）1+4x

=21+4x-1+4x+4x2（1+2x）1+4x

<0.

故f（x）在0，1上单调递减.

于是f（x）

令a-c=2ln（1+x）-1+4x+1=g（x），

则g′（x）=21+x-421+4x

=2（1+4x-x-1）（1+x）1+4x

=21+4x-1+2x+x2（1+x）1+4x

>2（1+4x-1+3x）（1+x）1+4x

>0.

故g（x）在0，1上单调递增.

于是g（x）>g（0）=0.即a>c.

综上，b

点评本题中a，b，c非常接近，又涉及到对数和根式的运算，直接很难比较，三个数中的1.01，1.02，1.04非常接近，因此引入x=0.01构造函数来比较大小，比较巧妙！

4 数形结合

例7（多选题）已知a>b>0，下列选项中正确的为（）.

A.若a-b=1，则a-b<1

B.若a2-b2=1，则a-b<1

C.若2a-2b=1，则a-b<1

D.若log2a-log2b=1，则a-b<1

解法1（特值法）取a=4，b=1可知A错误；取a=4，b=2可知D错误，故本题选BC.

解法2对于A选项，由a-b=1可知a>1.所以a-b=a+ba-b=a+b>1，故A錯误；

对于B选项，由a2-b2=1可知a>1，故a-b=a2-b2a+b=1a+b<1，故B正确；

对于C选项，由2a-2b=12a-b=1+2-b<2，得a-b<1，故C正确；

或设2a=x，2b=y，则

a=log2x，b=log2y，且x-y=1，

故a-b=log2x-log2y=log2xy=log2y+1y<1.

对于D选项，由log2a-log2b=1可知a=2b，故a-b=b不一定小于1，故D错误；故本题选BC.

解法3令f（x）=x，则f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=12x，f ″（x）=-14x3<0，可见f（x）的增长速度越来越慢，故a-b>1；

令f（x）=x2，则f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=2x，f ″（x）=2>0，可见f（x）的增长速度越来越快，故a-b<1；

令f（x）=2x，则f（a）-f（b）=1，注意到f（1）-f（0）=1，而f ′（x）=2xln2，f ″（x）=2xln22>0，可见f（x）的增长速度越来越快，故a-b<1；

令f（x）=log2x，则f（a）-f（b）=1，注意到f（2）-f（1）=1，而f ′（x）=1xln2，f ″（x）=-1x2ln2<0，可见f（x）的增长速度越来越慢，故当a>2时必有a-b>1.

解法4将四个选项的a看作自变量x，b看作因变量y，其函数关系记为y=f（x），在同一坐标系作出函数y=f（x）和直线y=x-1的图象，比如A选项：由a-b=1，得b=a-12.则f（x）=x-12.ABCD选项的图象分别如图1-4.

由图象易知本题选BC.

点评本题四种解法，解法1仅仅是作为选择题的解题策略，其对于BC的正确性并没有真正证明；解法2的解法极大地依赖代数变形，不同的选项其变形方式不一样；解法3和解法4则是从函数这个统一的角度去思考问题，解法3借助函数增长速度（二阶导函数的符号），解法4从数形结合的角度思考.

例8已知实数a，b满足关系式a2=b2-b+1，则下列结论正确的是（）.

A.若a<1，b<12，则a>b

B. 若a<1，b<12，则a

C.若a>1，b>12，则a>b

D. 若a>1，b>12，则a

解析由a2=b2-b+1，得a234-b-12234=1.

其表示中心在点0，12，实轴长为3的等轴双曲线，如图5可知，当a>1，b>12时，双曲线位于第一象限的图象在直线y=x的上方，即a

点评本题实数a，b满足关系式a2=b2-b+1虽然不是函数关系式，但是借助函数的思想（变化的观点）利用数形结合就很容易得到答案D，若是用不等式的知识则很难得出正确的答案.

参考文献：

［1］闫伟. 例说指数与对数比较大小问题的求解策略[J].高中数理化，2020（Z2）：30-32.