培养数学运算能力 落实数学核心素养

马海娇

[摘  要] 在高中数学教学中，部分教师为了追求“容量和速度”，常常形成思路后就不了了之，忽视了学生运算能力的培养. 这样不仅影响了学生成绩的提升，而且限制了学生思维能力的发展，影响了学生数学核心素养的落实. 在实际教学中，教师应把培养学生的运算能力落到实处，通过适时讲解、适当练习、有效思考，切实培养学生的运算能力，提升学生的解题效率.

[关键词] 运算能力;思维能力;解题效率;核心素养

会运算是数学学习的基本任务之一，是学生在数学学习过程中必须养成的基本素质和能力. 运算能力的高低直接关系着解决问题的效果，因此对运算能力的培养应引起师生的共同关注. 不过在现实教学中发现，数学运算并没有引起师生的高度重视，不少教师认为数学运算是不需要思考的，思维价值较低，然课堂时间是有限的，应该将精力放在探寻解决问题的思路上，因此教学中教师常常带领学生找到解题思路后就草草了事. 由于教师的不重视自然也就难以引起学生重视，很多学生认为只要记住运算公式和运算法则，考试时能够认真计算就可以了. 为了做更多的题，大多数学生很少将运算进行到底，常常用计算器代替心算和笔算，最终使得学生算理混乱、算法模糊，考试时常因运算出现问题而失分，影响了考试效果. 笔者结合一些具体案例，浅谈几点对数学运算能力培养的认识，以期抛砖引玉，引起共鸣.

[?]抓基礎重落实，培养运算能力的前提

熟练地、准确地掌握数学运算所需的概念、公式、定理、法则是培养学生运算能力的前提. 教师需要从解题过程中发现学生运算错误的症结，以便采取有针对性的教学策略加以引导，从而达到梳理、巩固和强化的目的. 另外，教师要鼓励学生将运算进行到底，切勿走马观花，以此培养学生良好的数学解题习惯.

例1 已知数列{a}是等比数列，其前n项和为S，若S，S，S成等差数列，则公比q的值为______.

解此题时，大多数学生直接从等比数列的前n项和公式出发，试图通过“硬算”来解决，但因为运算过程烦琐，最终无功而返. 另外，在解题中发现，部分学生应用公式时容易忽视公比q=1的情形，可见他们对概念的理解还不够深刻.

为了帮助学生顺利解决问题，教师引导如下：列出等式2S=S+S，回顾数列前n项和公式，于是有2S=S+a+S+a+a，整理得2a+a=0，所以q=-2. 这样应用概念灵活地化解了复杂的运算，让学生体验到了数学概念在运算中的价值.

对于学生运算能力的培养并不是让学生经历多么复杂的运算过程，而是让学生能够灵活应用知识和经验巧妙地解决问题. 在解题过程中，要避免盲目运算，应多观察、多分析，灵活调整运算方案，以此高效解决问题.

[?]突出数学思想方法，培养运算能力的关键

虽然数学问题是抽象且复杂的，但是数学问题中蕴含着一定的规律、方法. 在解题教学中，应重视学生观察能力、分析能力、推理论证能力等综合能力的培养，突出数形结合、由特殊到一般和由一般到特殊等数学思想方法的价值，培养学生良好的解题习惯. 数学思想方法是数学发展和创造的源泉，其关系着学生对数学知识的理解层次，是培养学生运算能力的关键.

例2 设t∈R，若x>0时，均有（tx-1）[x2-（t+1）x-1]≥0，则实数t的值为______.

对于例2，若单纯从解不等式的角度去思考，则需要进行分类讨论，对中间环节的理解以及涉及的运算都比较烦琐，对运算能力的要求较高. 因此解题时不妨引导学生多观察，从式子的结构特征出发进行解决：不等式左边为两个因式相乘，由此可以将其转化为对应的函数，借助数形结合思想使问题变得直观起来，这样解题自然就变得流畅了. 令f（x）=tx-1，g（x）=x2-（t+1）x-1，设g（x）的两个零点是x1，x2，且x<00，f（x）的零点也为x时，不等式恒成立，将x=代入g（x）=0，得

t-

（t+1）=0，故t=.

从以上分析过程可以看出，对于同一问题可以有不同的解决方案，不同的解决方案对运算量的要求有所不同，因此在解题教学中，教师要告诉学生不要急于落笔，应多观察、多分析，以便学生发现适合自己的最优解题方案，有效提高解题效率. 同时，在解题教学中，讲授知识的同时应关注数学思想方法的训练和培养，这对学生的数学学习和数学研究都有重要的指导意义，有利于提升教学品质和学生的数学素养.

[?]强化目标意识，是提升运算能力的重要举措

无论是平时测验还是大考，都经常发现试卷上有很多删改的痕迹，出现这一现象的主因就是学生在解题时没有明确的运算方向和运算路径，常常是想到哪里就算到哪里，最终不仅浪费了时间，而且可能一无所获. 因此，在解题教学中，必须强化学生的目标意识，这样在目标的指引下才能少走弯路，有效提高解题效率.

例3 如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆+=1（a>b>0）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），点P（x，y）为椭圆上一点，且PA⊥PF. 求证：以F为圆心，FP为半径的圆与椭圆的右准线x=相切.

题目给出后，学生很快写出了如下解题过程：由PA⊥PF，得·=-1，即y=-（x+a）（x-c）①. 又+=1②，联立①②，消去y，整理得关于x的二次方程（b2-a2）x-a2（a-c）x+a3c-a2b2=0. 下一步学生准备利用求根公式解方程，但是这无疑陷入了复杂运算，很多学生计算到这里望而却步. 教师及时捕捉到了学生的问题后，让学生思考这样两个问题：①你到底要求什么？②怎么求？这样引导学生深入观察需要研究的问题，及时调整运算路径，以便达成目标.

通过深入观察易于发现，以AF为直径的圆与椭圆除了点P这个公共点外，还有一个公共点A（-a，0）. 这样在关于x的二次方程中，一定有（x+a）这个因式，于是消去y后得b2x+a2[-（x+a）（x-c）]-a2b2=0，即b2（x+a）（x-a）+a2[-（x+a）（x-c）]=0，有（x+a）

x+

=0，解得x=或x=-a（舍去）.

这样，在解题时放慢脚步，挖掘特征，让学生摆脱复杂的运算，不仅让学生的解题技巧得以提高，而且让学生的思维水平也获得了较大程度的提升. 可见，想得好才能算得好，因此在运算前设计好运算路径，可以有效规避复杂运算所带来的错解风险，有利于提高解题准确率.

[?]树立求简意识，是提升解题效率的“助推器”

数学运算除了关注运算的结果外，还要重视运算方向的确定和运算路径的选择. 在解题教学中，除了要求结果正确外，还应让学生通过思考、探索、交流等多种途径去探寻其他的解决方案，讓学生通过对比发现最优的解决方案，以此丰富学生的解题经验，提高解题效率.

例4 已知过原点O的动直线l与圆C：x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A，B，若A恰为线段OB的中点，则圆心C到直线l的距离为________.

本题有一定难度，解题时教师应鼓励学生通过合作探究找到不同的解决方案，以此优化学生认知.

解法1：根据已知，设动直线l的方程为y=kx，代入圆方程得（1+k2）x2-6x+5=0. 又点A恰为线段OB的中点，所以x=2x. 利用求根公式得x·x=，x+x=，计算得k=，求得圆心C（3，0）到直线l的距离为.

解法1的思维直接，但是运算量较大，对学生的运算准确率要求较高，可操作性不强，大多数学生很难正确得到答案，即使最终得到答案也会花费较多时间. 本题是一个小题，若在考试中这样大费周章地运算势必会影响后面的考试，因此解题时有必要寻找其他的解决方案，树立求简意识.

分析以上解题过程后，不妨换个思路：

解法2：设点A（x，y），则点B（2x，2y），代入圆的方程得x

+y

-6x0+5=0，

4x

+4y

-12x0+5=0，解得点A

，

. 因此圆心C（3，0）到直线l：y=x的距离为.

解法2表面上引入了两个变量，但是其充分利用了“A恰为线段OB的中点”和“点A，B为圆两点”这两个已知条件，这样不仅快速地形成了解题思路，而且简化了运算过程，有利于提高解题效率和解题准确率.

在教学中，教师要多鼓励学生从不同的角度去思考和解决问题，通过一题多解不仅可以锻炼学生的思维，提高学生的思维水平，而且可以优化运算过程，提高学生的数学运算能力.

当然，由于个体差异的存在，学生的解题习惯也会有所不同，因此追求运算简化的同时，也要关注学生个体的思维水平，引导学生找到适合自己的解题之路.

总之，教学中教师要关注学生的运算能力，把运算能力的培养渗透到每道试题的解答中，从而通过适时引导、讲解、训练，切实有效地提高学生的运算能力，落实其数学素养.