层层深入,步步递进,深化理解

李鑫华 时光

[摘  要] 研究者认为数学教学不能局限于教材例题，更要注重知识的拓展与延伸. 文章从一道“好题”的纵深与横宽两个维度的拓展，以层层深入的问题，引发学生的思维逐层递进，达到对知识的深化理解，获得数学思想的目的，并养成善于反思的习惯.

[关键词] 问题;好题;生长

教材呈现的例题，都是经过精挑細选的，体现的是核心知识，具备言简意赅的特点，但受篇幅的限制，很多问题并没有展开. 教师作为学生与教材的协调者，可将教材中的例题有选择性地加以补充与拓展，在强化知识前后联系的基础上，渗透相应的数学思想和方法，让学生不仅获得知识层面的理解，还能将所学知识融会贯通，建构完整的认知体系，提升数学核心素养.

[?]本题分析

原题：假设点A与点B的坐标分别是（-5，0）与（5，0），直线AM与BM于点M相交，两直线的斜率之积为-，求点M的轨迹方程.

分析：该题题意明确，表述简洁、流畅，容易理解，符合“好题”的标准. 说它好，主要体现在：从问题本身来看，它包含了重要的斜率与轨迹内容，体现了知识的联系性，解决方法自然具有多样化的特点，该题本身具备“生长”的特征;从培养学生数学思维的角度来观察，该题相当自然，处于学生的最近发展区，具有一定的挑战性，具备促进学生思维生长的能力. 分析该题后，容易得出点M的轨迹方程为+=1（x≠±5）.

[?]层层深入，纵深生长

章建跃认为：数学“好题”不仅能体现出知识间的互相联系，还具备良好的生命力与自我生长力[1]. 显然，该题具备一道“好题”的基本特征. 但从哪些方面体现出了该题的生命力呢？如何促进该题的有序生长呢？它又能生长出什么内容呢？笔者从纵深层面将该题进行了以下变化，通过层层深入的问题，深化学生对知识的理解.

问题1：假设点A与点B的坐标分别是（-5，0）与（5，0），直线AM与BM于点M相交，两直线的斜率之积为，求点M的轨迹方程.

问题1在原题的基础上，只是将两直线的斜率之积由-变为，对学生来说难度不大，可作为学生思维活动的热身题，让学生的思维从低起点开始逐步前进.

问题2：假设点A与点B的坐标分别是（-a，0）与（a，0）（a>0），直线AM与BM于点M相交，两直线的斜率之积为k（k是常数），求点M的轨迹方程.

此时，问题难度稍增，需对常数k进行讨论，学生的思维也随着问题的变化而逐层递进.

问题3：假设点A与点B的坐标分别是（-a，0）与（a，0）（a>0），直线AM与BM于点M相交，两直线的斜率之商为k（k是常数），求点M的轨迹方程.

问题4：假设点A与点B的坐标分别是（-a，0）与（a，0）（a>0），直线AM与BM于点M相交，两直线的斜率之和为k（k是常数），求点M的轨迹方程.

问题5：假设点A与点B的坐标分别是（-a，0）与（a，0）（a>0），直线AM与BM于点M相交，两直线的斜率之差为k（k是常数），求点M的轨迹方程.

观察问题2至问题5，题干条件并未发生明显变化，只是两直线斜率间的关系有所变化，分别以积、商、和、差进行讨论，虽只是一字之差，但解决问题的方法却发生了较大变化. 如问题4的实质就是将“距离”换成了“斜率”，我们该怎么将斜率转化成周长、面积等概念呢？而点M的活动轨迹又会发生怎样的变化呢？顺着学生思维的生长点，从以上这些“枝干”出发，又生长出了以下“枝叶”.

问题6：假设点A与点B的坐标分别是（-a，0）与（a，0）（a>0），直线AM与BM于点M相交，已知△ABM的周长为C（C>4a，且为常数），求点M的轨迹方程.

问题7：假设点A与点B的坐标分别是（-a，0）与（a，0）（a>0），直线AM与BM于点M相交，已知△ABM的面积为S（S>0，且为常数），求点M的轨迹方程.

随着探究的逐渐深入，问题6与问题7已然触及斜率与轨迹的深层次关系.

至此，原题的纵深挖掘也差不多了，学生对原题及其变化中的知识间的联系已经有了较为深刻的认识. 那么，原题的教学潜能就止于此了吗？答案必然是否定的，因为除了纵深外，知识还有横向发展的能力.

[?]步步递进，横宽生长

“好题”的生长并非单一的模式，需要从多个角度着手，以不同的思维方式去挖掘其内涵. 这种具有一定宽度的生长方式，对学生而言，具有较强的挑战性，因此要放在有序生长的后面进行拓展. 当然，横向生长并非无缘无故而来，同样具备步步递进、由浅入深、拾级而上的规律[2]. 例如原题，可以继续进行以下变化，以拓宽学生的视野，帮助学生建立完整的知识体系.

问题8：假设点A与点B的坐标分别是（-5，0）与（5，0），点M为椭圆+=1的任意点（异于点A，B），k·k是不是定值？若是，请求出k·k的值.

在解决问题8的基础上，引导学生思考“若点A，B在y轴上，又会是怎样的？”由此引出了下一个问题.

问题9：假设点A与点B的坐标分别是（0，-5）与（0，5），点M为椭圆+=1的任意点（异于点A，B），此时k·k是不是定值？若是，请求出k·k的值.

问题8与问题9具备一定的共性，根据这种特征的一般形式，再引出以下问题.

问题10：如果点A，B分别为椭圆+=1（a>b>0）长轴上的两个顶点，点M是椭圆上的任意一点（异于点A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

问题11：如果点A，B分别为椭圆+=1（a>b>0）长轴上的两个顶点，点M是椭圆上的任意一点（异于点A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

经思考，学生容易发现k·k均有定值，问题10与问题11的结论分别为k·k=-，k·k=-. 为了活跃学生的思维，还可将直线AB设为过原点的直线，与椭圆相交于两点A，B，由此又引出新的问题.

问题12：如果椭圆+=1（a>b>0）與过坐标原点的直线相交于点A，B，已知点M是椭圆上的任意一点（异于点A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

问题13：如果椭圆+=1（a>b>0）与过坐标原点的直线相交于点A，B，已知点M是椭圆上的任意一点（异于点A，B），k·k是不是定值？若是，求出k·k的值.

随着“枝叶”的繁茂，学生的思维宽度越来越广，对于学有余力的学生，教师还可以提出更宽泛的问题供学生思考，例如将以上问题中的“椭圆”换为“双曲线”等. 观察本题的生长路线，主要是“纵深”与“横向”两个方面，随着主干的生长，衍生出了新的“枝叶”. 学生的思维随着低起点、小步子的台阶呈螺旋式上升，并获得从特殊到一般的数学思想.

[?]教学反思

解决原题时，虽然容易获得方程+=1，但不少学生却将“x≠±5”这个条件遗漏了，导致解题过程不完整. 作为教师，不仅要重视这个问题，还要帮助学生获得勤于反思的习惯，避免同样的问题再次出现. 针对原题，教师可以引导学生从以下几方面着手进行反思：

1. 反思知识储备，完整认知结构

出现漏解的主要原因，一般是知识体系还不够完整，学生尚无法系统地建构知识网络. 想要增加并完善学生的知识储备，可以应用纠错笔记等方式，将易错题进行归类、分析，以不断完善学生的认知.

原题设方程为点斜式时，先要考虑直线斜率是否存在;同样，遇到集合问题时，应优先考虑空集的现象;遇到关于函数y=ax2+bx+c类问题时，先要考虑最高次项的系数是不是存在零的情况，等等. 如此，才能不断完善学生的认知结构，建构全覆盖的知识网络.

2. 反思解题过程，优化解题程序

同一个问题，若从不同的角度去分析，可能会出现多种不同的解决方法. 教学时，除了帮助学生理清通法通解外，还要尽可能地发散学生的思维，让学生从多种解法中，自主分析每种解法的优劣性，以优化认知结构中的解题程序，形成择优解题的习惯[3].

例如：已知椭圆的标准方程是+=1，若过点P（2，1）作一条弦，点P恰好平分这根弦，求该弦所在的直线方程.

此问存在多种解决方法，分别有：①联立直线方程与椭圆方程;②用“点差法”获得直线斜率;③用“交轨法”获得结论;④通过画图，从直观图像中获得结论，等等. 通过对这些解题方法的逐一探索，学生不仅能获得最简单的解题过程，还能优化解题程序，选择最便捷的解题方案.

3. 反思解题方法，提炼数学思想

高考试题千变万化，“题海战术”必然解决不了问题. 只有在解题中学会不断总结、提炼与反思，才能获得解题的精髓——数学思想方法. 数学思想方法一旦形成，则能突破思维定式的干扰，跳出“题海”，获得融会贯通、举一反三的解题能力.

总之，教材中呈现的例题固然好，但就题论题进行教学，只能让学生的思维浮于表面，难以达到深层次的理解与应用. 而在例题的基础上，进行纵横两方面的拓展与延伸，不仅可以避免“题海战术”带来的疲倦感，达到“减负增效”的教学效果，还能激发学生的探究欲，培养学生的思维能力，让学生自主厘清知识间的联系，达到深化理解、灵活应用的目的.

参考文献：

[1]  章建跃. 发挥数学的内在力量，为学生谋取长期利益——“第六届全国高中青年数学教师优秀课观摩与展示活动”总结暨大会报告 [J].中国数学教育，2013（Z2）：3-6+9.

[2]  乔治·波利亚. 数学的发现：对解题的理解研究和讲授[M]. 呼和浩特：内蒙古人民出版社，1981.

[3]  任长松. 探究式学习：学生知识的自主建构——从两个探究案例引发的思考[J]. 课程·教材·教法，2004（01）：37-42.