借助数学史,优化课堂教学

赵睿英

[摘  要] 当今中国的教育事业在“立德树人”理念下得以迅猛发展，培育学生的学科核心素养是践行这一理念的关键，数学史的应用是促进数学核心素养形成与发展的重要因素之一. 文章以“球的体积和表面积”教学为例，从史料的选择与加工、教学设计与实施、教学思考等方面谈一谈实践与想法.

[关键词] 数学文化;数学史;核心素养;思维

数学教育从来就不是一蹴而就的，不是仅凭教师简单说教就能取得成功的. 真正的数学教育需要社会、学校、家庭，文化、思想等多方面共同协助才能完成. 如今的数学教育以培养学生的核心素养为主要目标，而数学文化的渗透对激发学生学习的积极性具有直接影响，尤其是数学史本身就具有一定的教育功能. 在课堂教学中渗透数学史，有利于学生发现“数学美”，形成创新意识.

[?]教学分析

“球的体积和表面积”是高中数学的重点内容之一. 学生学习本单元前就对柱、锥、台的面积与体积计算有了一定的基础，同时对祖暅原理也有初步认识. 但教材介绍球的体积公式时，对于其形成的历史背景并没有作过多阐述，而是直接给出推导方案，导致学生对于公式的形成过程一知半解，理解起来也不够透彻.

为了让学生感知球的体积和表面积公式的“再创造”过程，笔者在本节课教学中以渗透数学史来驱动学生的学习动机，收效颇丰.

[?]史料的选择与加工

球的度量是一个古老而又经典的问题. 在中国、古希腊、古印度等的早期文献中，能发现关于此类问题的研究记载. 至17世纪微积分诞生，人们对球的体积与表面积的研究有了新的突破，这些数学史都为如今的课堂教学提供了丰富的素材.

祖暅原理提出：若将某个高与底面半径均为R的圆柱挖掉一个“以上底面为底面，下底面圆心为顶点”的圆锥之后，得到的几何体体积等于半径为R的半球体体积. 祖暅原理对球的体积与表面积的研究具有重要意义，这也是课堂教学重要的史料之一. 除此之外，与球的体积公式相关的史料还有：

1. 卡瓦列里法

卡瓦列里1635年在《连续不可分量的几何学》中用卡瓦列里原理证明了若挖掉一个圆柱中同底等高的圆锥后，得到的几何体体积和一个同底等高半球的体积是一样的，这与祖暅原理具有一致性[1]. 教学设计时，教师可有意识地引导学生从时间的跨度上感知球体积公式的形成历程.

2. 《増删算法统宗》记载的球的体积

《増删算法统宗》在我国数学史上具有重要意义，本书对球的体积公式的研究有所记载，并以汇编的形式呈现出了一系列问题，如“有个金球里面空，球高尺二厚三分，一寸自方十六两，试问金球几许金？”

教学设计时，可将《増删算法统宗》中记载的问题改编成例题，让学生在解题中感知数学文化，了解我国古代对球体积公式的探索历程. 例如将该记载改编为：已知一只空心的球体外径为12 cm，球体的厚度为3 cm，该球的体积是多少？

3. 阿基米德墓碑

阿基米德的墓碑上记载了他毕生最重要的研究成果，其中就有“圆柱体积与其内切球体积”以及“圆柱表面积与其内切球表面积”的比值恒为3∶2的记载. 教师可结合学情对这个记载进行改编，以激发学生的探究兴趣.

例如改编为：已知一个球内切于一个圆柱，（1）求该球体积和圆柱体积的关系;（2）求该球表面积和圆柱表面积的关系.

学生在问题的探索中，感知阿基米德发现的原理，体会数学学科独有的统一美，为核心素养的形成奠定基础.

[?]教学设计与实施

设计教学目标时，教师可借助以上素材内容渗透数学史，激发学生的探索欲，让学生在潜移默化中感知球的体积与表面积公式的发展历程，体验数学文化的博大精深.

（一）教学目标

（1）掌握球的体积与表面积公式;

（2）感知祖暅原理等数学史对球的体积与表面积公式发展的影响;

（3）亲历球体相关公式的发现过程，从深层次体验观察、思考、猜想、化归、类比等多种方法在学习中的应用，提炼积分思想.

（二）教学简录

1. 导入新课

将未知转化成已知是课堂教学的关键. 本节课的导入环节，教师可引导学生将本节课待研究的“球的体积和表面积”问题，转化成学生熟悉的求柱、锥、台的体积与表面积问题.

问题1 观察图1，说说图中同底等高的三个图形之间的大小关系.

师：假设图1中圆柱的体积是3，你们知道圆锥的体积是多少吗？

生1：圆锥的体积是1.

师：将图中的半球与圆柱和圆锥分别对比，大家猜想一下半球的体积是多少.

生2：可能是2.

师：如果同底等高的半球体积是2，圆柱的体积是3，圆锥的体积是1，那我们是不是能给这三种图形建立关系等式？关系等式一旦建立，解决半球体积的问题就能迎刃而解.

生3：V=V-V.

寥寥两问有效地引发学生进行猜想，可见这是一个成功的导入过程. 学生的思维在问题的引导下逐渐趋于明朗，虽然目前还不能确定“V=V-V”這个猜想是否成立，但为接下来探究公式生成指明了方向.

2. 公式生成

从学生思维卡壳点出发，带领学生通过构造辅助的几何体来探讨球体积公式的生成. 教师可引导学生再次回顾圆面积公式的推导流程，并将这种研究经验迁移到球表面积公式的研究中，达到事半功倍的效果.

（1）从特殊情况构造辅助的几何体.

若能证明“V=V-V”这个猜想是成立的，那么球体积问题就解决了. 因此，接下来就要从祖暅原理出发，寻找证明思路，构建辅助的几何体.

师：从这个猜想式子来看，等式两边的几何体体积具有相等关系，之前我们接触过一个证明两个几何体体积相等的原理，大家还有印象吗？

师生共同回顾祖暅原理（略）.

师：现在我们逆向思考，即将同底等高的圆锥与圆柱构造成一个几何体，这个几何体的体积与它们同底等高的半球体积相等. 结合祖暅原理，我们可从什么角度来思考？

生4：从高度与截面面积进行思考. 等高的条件已经明确了，现在只要从每个高度的截面面积进行分析即可.

师：不错，在圆柱中挖掉一个最大的圆锥，从图2、图3来看，哪种构造方式能让两个几何体在任何高度的截面面积均相等？

生5：应该是图3.

师：哦？说说你的判断方法呢？

生5：从两幅图的最高点与最低点的截面面积来看，图2并不符合要求.

师：非常好！从特殊情况出发进行分析，是解决问题的一种重要方法，也是发展从特殊到一般数学思想的主要途径.

（2）验证猜想，提炼球的体积公式.

如图4所示，分析高度在h处的截面. 如图5所示，S=πh2，S=πR2，S=π（R2-h2），所以S=S-S. 根据祖暅原理可得，V=V-V，也就是V=πR3-πR3=πR3，所以V=2V=πR3.

（3）与圆面积类比，提炼球的表面积公式.

假设圆由无数个相同大小的三角形组成，这些三角形的顶点均位于圆心上，底边均在圆周上（见图6）. 假设这些三角形的底边无限小，那么这些三角形的高就越接近圆的半径，底边的和则接近圆的周长，那么无数个三角形的面积和与该圆的实际面积越接近.

由以上思路，可提炼出圆面积与圆周长的关系S=aR+aR+…=RC，所以S=πR2.

此探究过程对发展学生的数学思维具有重要意义，教师应耐性倾听学生的见解，鼓励学生自主表达如何将圆分割成三角形，又怎样化曲为直，最后趋向于圆面积的推导过程. 同时，教师可带领学生通过与圆面积推导过程的类比，分析球的体积与表面积之间的联系：

无限细分：把球分成无数个锥体，顶点位于球心，底面位于球面.

化曲为直：想象椎体的底面无限小，近似为棱锥.

逼近精确值：在无限分割的情况下，这些椎体的高与球的半径R无限接近，底面积的和与球的表面积无限接近，因此将这些椎体的体积相加，则无限接近球的体积.

通过以上三个步骤的推导，可得V=RS+RS+…=RS，因此S=4πR2.

教师先带领学生回顾圆面积的推导过程，为新公式的推导奠定基础;再通过类比思想的应用，让球的表面积公式的推导与提炼更加流畅、自然. 这种教学方式彰显了知识迁移的作用. 在此过程中，也可以适当地引入数学史，让学生在史料比较中，感知知识发展的源远流长.

3. 课堂练习

课堂练习对学习具有巩固与提升的功效，为帮助学生建构完整的认知结构奠定基础.

练习：①若一个球的体积和表面积的数值相同，求该球的直径;

②已知一个空心球的外径是16厘米，厚度是4厘米，求该球的体积;

③如图7所示，一个球内切于一个圆柱，这个球的体积与圆柱的体积之间具备怎样的关系？该球的表面积与圆柱的表面积之间有什么关系？

第②题根据《増删算法统宗》中的问题改编而来，学生解题时可联想到中国古代对球的体积研究的成就. 第③题展示了球与圆柱的一种特殊关系（内切），学生解题时，教师趁机介绍此问答案为阿基米德的重大成就之一，至今在其墓碑上都能清晰地看到.

将数学史料渗透在练习中，不仅能增强学生解题的乐趣，还能让学生在解题时产生与古人对话的特殊体验.

4. 课堂小结

本节课的课堂小结，可让学生复述几个公式的推导思路与具体过程，并据此谈谈课堂感悟与收获，让学生察觉到观察、猜想、验证、化归与类比法在数学学习中的重要性.

教师还可以设计调查问卷去了解学生的学习状态，如复述推导思路成功的占比，理解辅助的几何体构造过程的占比，对数学史融入教学的看法等，为后期调整教学方案提供依据.

[?]教学思考

1. 选择数学史，实现研究方法的迁移

从史料素材的分析、选择，学生的课堂状态以及问卷调查等的综合反馈来看，择取合适的数学史进行教学，不仅能让学生体验知识的“再发现”过程，还能让学生从源头上感悟知识间的联系，在类比迁移中建构新知.

2. 借助数学史，实现公式的“再创造”

数学发现不仅需要学习者将原有认知进行组合，还需在各种组合中识别出最优[2]. 本节课中，教师借助数学史带领学生亲历观察与化归的过程，在原有知识组合的基础上去猜想，并通过合适的辅助几何体与祖暅原理的回顾，实现了公式的“再创造”与“再发现”.

3. 应用数学史，发展数学思想方法

推导球的表面积公式时，教师带领学生一起回顾推导圆面积的方法，这为探索球的表面积公式奠定了基础，学生充分感知到类比思想在数学学習中的重要性. 学生的思维也实现了从二维向三维的转化，为更好地提炼数学思想方法奠定了基础.

本节课从祖暅原理出发，加上卡瓦列里法、《増删算法统宗》的记载以及阿基米德的墓碑等史料的辅助，让学生对球的体积与面积公式的由来产生明确的认识. 在数学史的熏陶下教学，不仅能有效推动学生的探索欲，还能让学生感知到数学知识的形成需要经历科学、严谨的过程.

参考文献：

[1]  汪晓勤，韩祥临. 中学数学中的数学史[M]. 北京：科学出版社，2002.

[2]  曹才翰，章建跃. 数学教育心理学[M]. 北京：北京师范大学出版社，2006.