构建“生”动教学 促进概念生成

周玉宝 蔡海涛

[摘  要] 概念教学在高中数学教学中占有重要地位，以学生为主体的教学，应鼓励学生“动”起来，激发学生学习的热情，积极参与数学活动.文章以“数列的概念”教学为例，谈谈“生”动教学的实践与思考.

[关键词] 数列;“生”动;概念教学;实践与思考

数学概念是反映现实世界空间形式和数量关系本质属性的思维过程，而中学数学是由概念、命题经推理组成的逻辑体系[1]. 因此，概念教学的重要性不言而喻. 而在当前的概念教学中，部分教师对概念的生成、辨析和厘清浅尝辄止，把课堂上的时间更多地花在概念的应用上，认为学生只要通过重复的训练，就能达到理解概念、深化概念的目的. 殊不知，如果教学中忽视了概念的生成，那么学生对概念的本质就会一知半解，遇到情境新颖的问题就无从下手.

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》明确指出：高中数学课程以学生发展为本，落实立德树人根本任务，培育科学精神和创新意识，提升数学学科核心素养[2]. 所以，概念教学也应以发展学生数学核心素养为目标.笔者认为，以核心素养为导向的教学是以学生为主体的教学——“生”动教学. 其中，“生”代表“学生”，“动”代表学生动脑、动手、动口等. “生”动教学是以学生为主体的教学，通过教师的引导，学生参与系列化的数学活动，掌握“四基”，提高“四能”，发展数学学科核心素养.

下面，笔者以“数列的概念”教学为例，谈谈基于“生”动教学的概念课的教学设计与实践，以期与同人交流.

[?]教材分析

“数列的概念”是人教A版数学（选择性必修二）[3]“第四章 数列”的起始课. 在本节课前，学生已经学习了自然数、整数、实数等概念，并学习了函数的概念及一次函数、指数函数、三角函数等具体函数的概念. 本章分为4个小节：数列的概念、等差数列、等比数列、数学归纳法. “数列的概念”涉及的知识有数列、数列的项、通项公式、递推公式、有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列等基本概念，以及归纳、函数与方程、数形结合等思想方法. 一方面，数列是函数知识的延伸及应用，学习数列概念可以加深学生对函数概念的理解;另一方面，学习数列概念又为进一步学习等差数列、等比数列的概念，以及数列的通项公式、前n项和公式做好了铺垫. 本节课的目标是发展学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数据分析等核心素养，这四个素养贯穿“数列”整个章节的学习.

[?]教学过程

1. “生”动创设情境——概念引入

问题1 有人说，大自然都是懂数学的，不知道你注意过没有，树木的分叉、花瓣的数量、植物种子的排列等都遵循着某种数学规律，你能发现这种规律与这些数的关系吗？

问题2 王芳从1岁到17岁，每年生日那天都会测量身高，将这些身高数据（单位：cm）依次排成一列数：75，87，96，103，

110，116，120，128，138，145，153，158，160，162，163，165，168①. 记王芳第i岁时的身高为h，那么h=75，h=87，…，h=168.我们发现，h中的i反映了身高按岁数从1到17的顺序排列时的确定位置，即h=75是排在第1位的数，h=87是排在第2位的数……h=168是排在第17位的数，它们之间不能交换位置. 所以，①是具有确定顺序的一列数.

問题3 在两河流域发掘的一块泥版（编号K90，约产生于公元前7世纪）上，有一列依次表示一个月中从第1天到第15天每天月亮可见部分的数：5，10，20， 40，80，96，112，128，144，160，176，192，208，224，240②. 记第i天月亮可见部分的数为s，那么s=5，s=10，…，s=240. 这里，s中的i反映了月亮可见部分的数按日期从1到15的顺序排列时的确定位置，即s=5是排在第1位的数，s=10是排在第2位的数……s=240是排在第15位的数，它们之间不能交换位置. 所以，②也是具有确定顺序的一列数.

问题4 -次幂按1次幂、2次幂、3次幂、4次幂……依次排成一列数：-，，-，，…③你能仿照上面的叙述，说明③也是具有确定顺序的一列数吗？

设计意图：问题1通过实际生活情境引入，激发学生的学习兴趣，引导学生用数学眼光观察问题，用数学思维思考问题.问题2和问题3让学生认识生活中的数列，让学生感受这些数是具有确定顺序的，每个位置上的数都有其特定的意义，为抽象出“数列”的概念做铺垫.问题4让学生认识数学中的数列，通过仿照问题2和问题3，用数学符号表示数列并进行分析，进一步认识数列是具有确定顺序的一列数.

2. “生”动观察归纳——概念形成

问题5 问题2、问题3、问题4三个例子的共同特征是什么？

教师引导学生从特殊到一般，归纳概括其共同特征，教师在师生活动的基础上给出数列的概念，抓住“一列数”和“顺序”这两个关键点.

追问1：1，3，5，7是一个数列，7，5， 3，1也是一个数列，这两个数列是不是同一个数列？

师：这就好比在生活中输入账号时，若某两个数字的顺序输入错误，即使数字正确，也无法登录.

追问2：1，1，1，1，…是不是一个数列？

追问3：如何用一般的符号表示数列？

设计意图：问题5是从特殊到一般归纳得到数列的概念，结合追问让学生感受数列“序”的特征，达到对概念辨析的目的. 在概念的形成过程中，帮助学生学会观察、分析、归纳，发展学生数学抽象和数学建模等核心素养.

问题6 数列{a}中的各项a与它的序号k（k=1，2，3，…，n，…）是什么关系？

教师呈现数列{a}中的各项a与它的序号k一一对应的关系：

数列{a}是从正整数集N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项a，记为a=f（n）.

追问1：你能从函数的角度解释问题2、问题3、问题4中的三个数列的特点吗？

追问2：在数列中，符号{a}与a所表示的意义是否相同？

设计意图：揭示数列的项与它的序号的对应关系本质上是函数关系，通过列举数列使学生进一步认识数列是一种特殊的函数，并给出其定义域，再通过追问进一步揭示数列的函数特点.

问题7 对于不同的数列，它们的项数有何特点呢？

设计意图：教师引导学生回顾问题2、问题3和问题4，问题2中的数列有17项，问题3中的数列有15项，它们是项数有限的数列，而问题4中的数列有无穷多项.根据数列中的项数是有限还是无限，自然地将数列分成以下两类：有穷数列（项数有限的数列），无穷数列（项数无限的数列）.

问题8 数列有哪些表示方法？

追问1：数列图像有什么特点？

追问2：数列通项公式的作用是什么？

设计意图：通过问题8和两个追问，让学生理解数列是一种特殊的函数，数列和函数一样有三种表示方法，数列的图像是一些孤立的点，数列的通项公式就是数列作为函数的解析式.

问题9 单调数列怎样定义呢？

追问：函数有哪些性质？类比函数，数列有什么性质？

设计意图：教师让学生从表和图中观察单调数列中的项随序号变化出现的特点.问题2中，学生不难发现从第2项起，每一项都大于它的前一项，教师给出递增数列的定义：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列.类比递增数列，给出递减数列的定义.特别地，各项都相等的数列叫做常数列.研究数列的性质，让学生进一步深入理解数列，体会数列单调性的特殊性与一般性.

3. “生”动即时训练——概念应用

例1 根据下列数列{a}的通项公式，写出数列的前5项，并画出它们的图像.

（1）a=;（2）a=cos.

变式：写出下列数列的前10项，并画出它们的图像.

（1）当自变量x依次取1，2，3，…时，函数f（x）=2x+1的值构成的数列;

（2）数列的通项公式为

a=2，n为奇数，

n+1，n为偶数.

师生活动：学生计算、画图，教师利用电子表格计算、画图.请学生回答例1和变式中的数列是否为递增数列.

设计意图：例1和变式是对数列通项公式的直接应用，要求学生描点作图，使学生从通项公式、表格和图像三个角度认识数列.

例2 根据下列数列的前4项，写出数列的一个通项公式.

（1）1，-，，-，…;

（2）2，0，2，0，…;

（3）9，99，999，9999，….

设计意图：让学生体会从数列的具体项归纳数列通项公式的基本方法，认识数列的通项公式不是唯一的.

4. “生”动讨论交流——概念深化

问题10 回顾数列的概念及其表示方法的学习过程，说一说其中运用了怎样的思想方法.

学生交流后回答，由教师总结.

问题11 课外欣赏两个数列——斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，…;提丢斯数列：4，7，10，16，28，52，100，196，388，772，…. 利用本节课所学知识观察其规律.

设计意图：一方面巩固本节课所学知识，另一方面引导学生重视使用教材中的习题.

[?]教学反思

1. 关注序言，做好起始教学

“数列的概念”是“数列”这一章节的起始课，起始课是一个章节的源头，有较多的基本概念，这些概念为后续数列的学习奠定了基础. 好的开始是成功的一半，起始课承担的首要任务就是把源头概念讲清、讲透. 教学中，教师先引导学生自主阅读章节序言，明确章节的学习任务，激发学生的学习热情，然后将思想方法和素养在教学过程中逐渐渗透、积累、提升[4].

2. 关注主题，函数数列关系

新教材突出“主线—主题—核心内容”的基本结构和框架.“数列”是离散型函数，属于函数主题方面的内容[5]. “数列的概念”这节课中，教师引导学生发现数列的通项公式即函数的解析式，通过“列表—函数—数列”的流程，以函数思想贯穿教学，指导学生运用研究函数的一般方法，通过观察、概括、归纳和反思来研究数列，鼓励学生自主探究、合作交流，主动参与数学活动，形成依托函数主题的数列学习活动经验.

3. 关注“生”动，发展核心素养

本节课以“生”动为主线，关注概念的“引入—生成—应用—深化”，让学生经历解决问题方法的形成过程，教师适时启发和点评. 课堂上留给学生足够的时间去思考、练习、归纳，一方面让学生学会从数学现象中抽象出数学原理、规律的基本方法，注重培养学生用准确严谨的数学语言表述数学概念、规则;另一方面让学生在应用中把握概念的本质属性，注重思想方法的提炼. 由这两个方面提高学生的“四基”和“四能”，从而发展学生的数学核心素养.

参考文献：

[1]  蔡海涛，林运来. 核心素养下高中数学概念课教学策略[J]. 数学通报，2019，58（09）：20-25+66.

[2]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]  人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心.普通高中教科书·数学（A版）：選择性必修第二册[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[4]  李响，黄继红. “单元统整”背景下序言课教学设计的思考与实践——以沪教版“7.1数列”为例[J]. 数学教学，2021（06）：13-16.

[5]  陈俊鹏. MPCK视角下新教材“数列的概念”教学[J]. 中学数学教学参考，2021（16）：30-32.