问题驱动,触及数学教学深处

张新秀

[摘  要] 问题是数学的心脏，是学生思维发展的方向与路标. 问题驱动常能唤醒学生原有的学习经验，激活图式，提升学生的思考能力. 文章以“任意角的三角函数”为例，具体从“开门见山，直切主题”“旧知回顾，唤醒认知”“探究活动，建构新知”“课堂小练，巩固新知”“课堂小结，回顾提炼”“作业布置，巩固提升”六方面进行教学设计，并提出一些思考.

[关键词] 问题驱动;思维品质;三角函数

波利亚认为，问题是指有意识地寻求某种行动，期望达到一个清晰的目的，却又无法立即达到这个目的[1]. 新课标提出，课堂中，高质量的问题可以驱动学生主动思考，让学生在丰富的思维活动中深化对知识本质的理解，提高认识，获得良好的情感态度与思维品质[2]. 由此可以看出，问题在课堂教学中有着重要意义，值得每一位教育工作者去重视、探索与研究.

本文以“任意角的三角函数”为例，具体谈谈如何在教学设计中利用问题触及数学教学深处，以激发学生的数学思维，提升学生的数学综合素养.

[?]教学设计

1. 开门见山，直切主题

课堂导入是一节课的序幕，把握好导入环节，课堂就基本成功了一半. 本节课从教学对象来说，高中生已经具备了较强的逻辑思维能力，对数学内容的接受程度较强;从教学内容来说，任意角的三角函数是高中阶段的重点知识，虽然难度系数不高，但对后期教学有着深远的影响.

鉴于此，笔者结合学情与教学内容的特点，开门见山地导入主题，让学生在充满“数学味”的引导中，充分重视并严肃对待本节课教学.

师：众所周知，三角函数是描述周期现象的一种常用数学模型，它的应用十分广泛，是一种解决生活实际问题的重要工具，在物理、几何、天文与测量学等领域中有着重要贡献. 同时，三角函数与其他学科也有着重要联系，对声音的传播、振动的研究都有重要作用. 今天我们所接触的“任意角的三角函数”问题是解决所有与三角函数相关问题的基础，也是后续学习的根基.

以上描述，教师将三角函数的重要性、用途及地位都交代得清清楚楚，学生能快速调整状态进入课堂. 因此，这是一个成功的导入方式，瞬间就吸引了学生的注意力，引发学生对本节课教学内容的研究兴趣.

2. 旧知回顾，唤醒认知

问题1 如图1所示，请大家想一想之前我们接触过的关于锐角α的三角函数的定义，也就是正弦、余弦、正切（sinα，cosα，tanα）的定义分别是什么？

设计意图：锐角三角函数的相关内容是任意角三角函数的“先行组织者”. 想要促进有意义的学习，先要调动学生原有的认知经验，让学生从信息库中提取相关信息作为本节课学习的支撑点，此问所提及的sinα，cosα，tanα是本节课教学的基础.

问题2 如图2所示，若将一个直角三角形的一条直角边延长或缩短，与斜边一起构造出一个新的直角三角形（或大或小），是否可用新的直角三角形的对边长与斜边长来表示sinα（α為锐角）？说明理由.

设计意图：此问意在引导学生从相似三角形的角度出发，发现三角函数蕴含的本质——相似比具有不变性. 同样，对角α的正切和余弦也成立. 由此可获得结论：对于确定的角α而言，这三个比值都不会因为点P位于角α的终边位置发生变化而改变. 学生一旦掌握了这个本质，对接下来探究任意角的三角函数有重要帮助.

3. 探究活动，建构新知

探究活动1：平面直角坐标系内，锐角三角函数的定义.

如图3所示，我们将锐角α放到平面直角坐标系内进行分析.

设计意图：关于角的问题，一般可以在平面直角坐标系内进行讨论，因此教师直接带领学生将目光锁定到坐标系中，角的终边围绕原点旋转一周后又回到了原来的位置. 此探究活动的设计，意在启发学生感知“周而复始”的周期变化规律，为更好地讨论角的问题奠定基础.

问题3 如图4所示，在Rt△OMP中，角α的邻边、对边与斜边分别和点P的坐标存在怎样的关系？

设计意图：通过分析坐标与直角三角形中各边的关系，让学生直观感知角α的对边长与点P的纵坐标b为相等的关系，同时角α的邻边长与点P的横坐标a也是相等的关系，斜边长为. 若想让斜边取值更简单，可联想到对于确定的角α，其比值并不会因为点P的位置发生变化而改变，因此将点P放在OP=1这个特殊的位置是合乎情理的.

问题4 锐角三角函数是否可以用平面直角坐标系中角终边上的点坐标来表示？

设计意图：从锐角三角函数的定义出发，能让学生直接获得三角函数与点坐标之间的关系，即cosα=a（横坐标），sinα=b（纵坐标），tanα=

，由此引出单位圆的概念.

探究活动2：探究任意角的三角函数定义.

问题5 若α为任意角，是否可以用单位圆上的点坐标来表示α的三角函数？该怎么表示？

学生经合作交流，获得了如下结论：与锐角三角函数相类比，假设α为一个任意角，单位圆与它的终边相交于点P（x，y），则①y称为α的正弦，记为sinα，也就是sinα=y;②x称为α的余弦，记为cosα，也就是cosα=x;③称为α的正切，记为tanα，也就是tanα=（x≠0）.

师：我关注到大家在结论中提到的“也就是”为“等价”的意思，但前面的“sinα”是一个解析式，而后面的“sinα=y”是一个等式或方程，这两者怎么能等价呢？

数学一贯以“严谨”著称，尤其对于概念、定理、法则类的陈述更应该严谨. 教师提出这个疑问后，引发学生进行新一轮讨论，得到了新的结论：①y称为α的正弦，记为y=sinα，也就是sinα=y;②x称为α的余弦，记为x=cosα，也就是cosα=x;③称为α的正切，记为=tanα，也就是tanα=（x≠0）.

设计意图：以上问题，意在让学生自主发现思维的不严谨之处，从而培养学生的科学精神. 这种教学方式，不仅帮助学生解决了多个问题，还从一定意义上增进了学生的反思意识与质疑能力，为创新意识的形成奠定了基础.

探究活动3：三角函数的定义域.

要求学生分别说一说任意角α的三角函数sinα，cosα，tanα的定义域.

设计意图：学生在表达过程中不仅能建立角的弧度制，还能在角的集合与实数集合间建立“一一对应”的关系，从而自主获得用弧度制来表示三角函数定义域的能力. 最终学生得到：sinα，cosα的定义域均为R;因为tanα=（x≠0），所以tanα的定义域为α

α≠

+kπ，k∈Z.

以上探究过程层次清晰、目标明确，学生在教师的引导与点拨下，思维由浅入深地逐层递进. 学生通过自主探索、合作交流不仅突破了本节课教学的重点与难点，还从一定意义上发展了思考能力，使学生的思维水平迈上了一个新台阶. 尤其是探究活动2中教师提出的疑问，端正了学生的学习态度，让学生进一步认识到数学是一门严谨的学科，学习数学应保持慎重的态度.

4. 课堂小练，巩固新知

课堂小练是学生掌握知识与技能的载体，是巩固知识结构，发展学生智力，激发学生潜能的重要途径. 有效的课堂小练，从学生实际认知水平出发，在尊重学生生命活动意识的基础上设计问题，可让学生的思维随着问题的解决拾级而上，从而有效促进学生更好地掌握知识结构. 一般课堂小练以“小量，围绕核心，高思维”为主. 如本节课，教师结合实际情况，设计了以下两个问题：

（1）说一说求任意角三角函数的本质是什么;

（2）求的正弦、余弦和正切值.

设计意图：看似简短的两个问题，却有着巩固新知的重要作用. 对于第一个问题，求任意角三角函数的本质就是求角α终边与单位圆交点的坐标，学生一旦掌握了这个核心知识，那么不论问题会发生怎样的变化，最终都能从这个本质着手去解决，此问也为后续综合问题的解决奠定了基础. 对于第二个问题，是学生学以致用的表现，意在锻炼学生的实际应用能力.

5. 课堂小结，回顾提炼

要求学生思考以下三个问题：①本节课获得了哪些知识？说一说锐角三角函数与任意角三角函数之间的区别与联系;②本节课应用到了哪些数学思想方法？③说一说你在本节课的收获、感受与体会.

设计意图：第一个问题是对本节课知识的总结，学生回顾知识的同时可厘清知识脉络，梳理知识结构，完善认知;第二个问题主要引导学生回顾本节课涉及的化归与转化、数形结合、方程、符号转化以及函数等思想，提升思维能力;第三个问题是发展学生个性的问题，考虑到学生客观存在的个体差异，这个问题不同的学生会呈现出不一样的答案，坚持学生个性发展与全面发展的辩证统一.

6. 作业布置，巩固提升

时教必有正业，退息必有居学. 随着新课改的深入与推进，如今对学生的能力测评重点正朝多元化的方向发展. 本节课的教学重点为任意角的三角函数，作业设计固然以此为中心，结合学生的实际情况，作业设计如下：

（1）观察下列函数值，其中符号是负的有______. （填序号）

①cos（-220）°;

②sin（-10000°）;

③tan（-10）;

④sinπcosπcosπ.

（2）若β為第二、三、四象限角，那么点P（sinβ，cosβ）分别在______、______、______象限;

（3）若角θ的终边过点M（x，y），MO=r（r>0）（点O为坐标原点），则sinθ，cosθ，tanθ分别是多少？

（4）思考：若角β的终边过点P（-3cosα，4cosα），且α∈

+2kπ，（2k+1）π（k∈Z），则角β的各个三角函数值分别是多少？

（5）预习下一节课学习的内容.

设计意图：多元化的作业设计不仅规避了作业的枯燥性，还在一定程度上为教师从多角度评价学生的学习成效提供了依据. 以上作业并不要求所有学生全部完成，而是让学生根据实际认知水平选择作业. 如基础水平薄弱的学生，只要完成最基础的（1）（2）（5）即可;中等水平的学生要求完成（1）（2）（3）（5）;而学有余力的学生则要求完成所有作业. 当然，应鼓励学生“跳一跳，摘到桃”，去完成高层次作业，以突破自我，建立学习信心.

[?]教学思考

1. 重视问题驱动的重要性

问题是数学的灵魂. 从数学史的发展历程来看，一切知识的形成和发展都是问题发现和解决的过程. 本节课教学，教师通过“问题链”的方式驱动学生思维，推进课堂教学，让知识间建构成系统性和逻辑性关系. 如锐角三角函数与任意角三角函数的类比，让学生从结构上认清各个知识点的本质.

2. 把握问题本身的意义

每一个问题的提出都应该是深思熟虑的，既要考虑到学生大脑中的信息组块，还要清晰问题提出的意图与目标，并从逻辑角度分析其是否能承担预期的作用[3]. 本节课中，教师提出的每一个问题都是基于教学目标而展开的，一环接一环的问题不仅凸显了问题本身带来的知识与技能的教学意义，还具有引导学生思维发展，促进学生能力提升的作用.

3. 注重学习动机的激发

学生才是学习的主体，一切课堂活动的开展都应围绕学生的发展而进行. 同样，每一个问题的设计，都应以激发学生的学习动机为目的. 本节课中，教师从三角函数的重要性出发，与学生一起回顾锐角三角函数相关知识，有效激发了学生的学习动机. 同时，知识的探究过程中，教师都是基于动机而提问、引导的;学生在类比分析中，经历了从特殊到一般的认知过程，积累了数学学习经验，也充分认识到单位圆定义任意角三角函数的优势.

总之，教学是不断实践与探索的过程，教师只有在准确把握学情的基础上，边教学、边反思、边总结，才能从真正意义上提出高质量的问题，唤醒学生的求知欲，激发学生的潜能，促进学生各项能力的发展.

参考文献：

[1]  G·波利亚. 怎样解题[M]. 阎育苏，译. 北京：科学出版社，1982.

[2]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.

[3]  郑毓信. “问题意识”与数学教师的专业成长[J]. 数学教育学报，2017，26（05）：1-5+92.