例谈含参数的函数不等式恒成立求参数范围问题几种解题策略

吴水萍 赵忠平

【摘 要】 含参数的函数不等式恒成立求参数范围问题是近年来高考的重点和热点问题，思维难度高，学生得分率低，本文试图全面总结此类题型的解题方向和方法，帮助考生有针对性突破解决此类问题的卡点，提高学生分析和解决函数综合问题的能力，促进学生数学学科核心素养的达成.

【关键词】 函数不等式;恒成立;参数范围;解题策略

近年来，全国高考试题及高考模拟试题中出现了颇有新意、构思精巧的函数不等式恒成立求参数范围的综合题，这类题涉及知识面广、综合性强，对能力要求较高，能较好地考查学生的思维能力，很值得重视和探究.下面举例说明此类问题的几种解题策略，供参考.1 特值探路

例1 已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna.

（1）当a=e时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积;（2）若f（x）≥1，求a的取值范围.

分析 特殊值是函数的重要节点，特殊值往往显得简单、直观、具体，通过特殊值容易探索出所求参数的具体范围，得到问题的必要条件，再进一步证明其充分性，问题就可以得到完美解答.

解 （1）略;（2）将x取特殊值1代入不等式中，不等式应该成立，即f（1）≥1，也即a+lna≥1，令g（a）=a+lna-1.易知函数g（a）单调递增，g（1）=0，所以a≥1.下面证明充分性，当a≥1时，f（x）=aex-1-lnx+lna≥ex-1-lnx≥x-lnx.令h（x）=x-lnx，则h′（x）=1-1x=x-1x.当x∈（0，1）时，h′（x）<0;当x∈（1，+∞）时，h′（x）>0，故h（x）≥h（1）=1.所以a的范围是[1，+∞）.

点评 利用特殊值探路可以迅速化解題目难度，快速找到题目的答案（准答案），减轻解题思想压力，转换解题思维角度，补全充分性证明过程即可完美收官.一般对数函数可将真数取特值1，指数函数的指数可取特值0.2 分类筛选

例2 设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]. （1）讨论f（x）的单调性;（2）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.分析 当问题所给的对象不能统一研究时，就要将研究对象按照相同点和不同点，按照某一标准分成不同种类逐一进行研究，最后综合得解，即先对明显成立的部分进行证明，再对不成立的部分举反例，说明不恒成立，从而筛选出所求参数的范围.

解 （1）略;（2）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，所以a≤2π.令g（x）=sinx-2πx0≤x≤π2，则g′（x）=cosx-2π.当x∈0，arccos2π时，g′（x）>0，当x∈arccos2π，π2时，g′（x）<0.又g（0）=gπ2=0，所以g（x）≥0，即2πx≤sinx0≤x≤π2.当a≤2π时，有f（x）≤2πx+cosx.（ⅰ）当0≤x≤π2时，2πx≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx;（ⅱ）当π2≤x≤π时，f（x）≤2πx+cosx=1+2πx-π2-sinx-π2≤1+sinx.综上，a的取值范围是-∞，2π.

点评 含参数函数不等式恒成立求参数范围问题可以利用逐段筛选讨论法求解，对参数按照重要节点进行分类，在每一类中证明不等式成立或举反例说明不成立，最后得解，体现了化整为零的思想和归类整理的思想.3 分离参数例3 同例2（2）.

分析 含参数函数不等式恒成立求参数范围问题如果参数和变量容易分离，则可以先分离参数，将不等式恒成立问题转化为最值（或上、下界）问题求解，从而只需构造函数求最值即可.

解 f（x）≤1+sinx即ax+cosx≤1+sinx（），当x=0时，对a∈R不等式（）恒成立;当0<x≤π时，不等式（﹡）可化为a≤1+sinx-cosxx.构造函数g（x）=1+sinx-cosxx，则g′（x）=（sinx+cosx）x-（1+sinx-cosx）x2，构造函数h（x）=（sinx+cosx）x-（1+sinx-cosx），则h′（x）=（cosx-sinx）x.当0<x≤π4时，h′（x）≥0，当π4≤x≤π时，h′（x）≤0，故h（x）在区间0，π4上递增，在区间π4，π上递减，又因为hπ4=2π4-1>0，h（π）=-π-2<0，所以存在x0∈π4，π，使得h（x0）=0.故当x∈（0，x0]时，h（x）≥0，当x∈[x0，π]时，h（x）≤0，故当x∈（0，x0]时，g′（x）≥0，当x∈[x0，π]时，g′（x）≤0，即g（x）在（0，x0]上单调递增，在[x0，π]上单调递减.又因为limx→0+g（x）=limx→0+（1+sinx-cosx）′x′=1，g（π）=2π，因为1>2π，故当x=π时，g（x）min=2π，要使不等式a≤1+sinx-cosxx在x∈（0，π]上恒成立，只需a≤2π.综上a的范围是-∞，2π.点评 不等式恒成立求参数范围问题，只要容易实现参变分离，就可以很容易转化为最值（或上、下界）问题求解，但在求最值（或上、下界）时常常要用到洛必达法则.

4 构造函数

例4 同例1（2）.

分析 根据解析式的特点，将不等式两边凑成一致的形式，运用函数与方程的思想实现问题的转化，构造新函数，利用新函数的单调性，将函数值的大小比较转化为自变量大小的比较.

解 f（x）≥1等价于aex-1-lnx+lna-1≥0，即elna+x-1+lna-1≥lnx，两边同时加x，得elna+x-1+lna-1+x≥lnx+x=elnx+lnx.令F（t）=et+t，显然F（t）在（0，+∞）上单调递增，则不等式等价于F（lna+x-1）≥F（lnx），等价于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1.令g（x）=lnx-x+1，则g′（x）=1-xx.当x∈（0，1）时，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，g（x）单调递减.故g（x）max=g（1）=0，所以lna≥0，解得a≥1.

点评 在含参数函数不等式恒成立求参数范围问题中，将不等式两边转化成同构式，根据同构式构造新函数，利用新函数单调性进一步转化问题，使得问题得到降维求解，此法虽然有一定难度，但能够发现命题人的命题路径及数学问题的本质.5 虚设零点

例5 同例1（2）.

分析 设而不求是解析几何处理问题基本思想，在含参数的函数不等式恒成立求参数范围时，当导函数的零点确实存在，但求不出来时，就可以虚设零点.利用整体代换思想促成问题解决.

解 f（x）≥1的必要条件是f（1）≥1，即a+lna≥1，也即g（a）=a+lna-1≥0.易知g（a）单调递增，g（1）=0，所以a≥1.f（x）≥1，即aex-1-lnx+lna-1≥0.令g（x）=aex-1-lnx+lna-1，则g′（x）=aex-1-1x，显然g′（x）在（0，+∞）上单调递增，且g′（1）=a-1>0，g′1a=ae1a-1-a=ae1a-1-1<0，故x0∈1a，1，使得g′（x0）=0，即aex0-1=1x0.所以函数g（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增.故g（x）min=g（x0）=aex0-1-lnx0+lna-1=1x0-lnx0+lna-1=1x0+ln1x0+lna-1.因为x+lnx-1≥0，lna≥0，所以g（x）≥0.即当a≥1时，f（x）≥1.所以a的范围是[1，+∞）.

點评 虚设零点体现设而不求思想，是解决导数问题常用方法，当导数的零点存在但不易求出的时候，就可以虚设零点，回代到原函数解析式中求值，确定函数值的符号.

6 数形结合例6 同例2（2）.

分析 将原不等式适当变形得到g（x）≤h（x）恒成立形式，借助导数的工具，分别研究两个函数的性质，再分别画出两函数图象，根据图象能直观得到参数范围.

解 f（x）≤1+sinx即ax+cosx≤1+sinx，可化为ax-1≤sinx-cosx，构造函g（x）=ax-1，h（x）=sinx-cosx，x∈[0，π]，画出函数g（x）、h（x）图象如图1， g（x）图象是过（0，-1）点的直线，h（x）的图象也过（0，-1）点，在0，3π4上为增函数，在3π4，π上为减函数，要使ax-1≤sinx-cosx在[0，π]上恒成立，只需x∈[0，π]时g（x）图象在h（x）图象下方，由图象知a≤2π时不等式恒成立，即a的范围是-∞，2π.

点评 数学是研究数量关系和空间形式的科学，“数”让“形”更精确，“形”让“数”更直观，二者“比翼双飞”，共同促进数学发展[1].本解法通过挖掘数学式子背后形的特征，以形助数，是解决数学问题的常用方法.

参考文献

[1] 徐进通.开发数学应用素材的路径探究＼[J＼].中学数学杂志，2021（10）：22-28.

作者简介 吴水萍（1976—）， 女，甘肃武威人，中学一级教师;主要从事中学数学教学研究工作;主持和参与省级课题多项，发表论文20多篇.赵忠平（1972—），男，甘肃庆阳人，中学高级教师;主要从事中学数学教学研究工作;发表论文40多篇.