真题解密同构显 课本一隅题根隐

巨小鹏 魏宁

【摘 要】 解题目的在于化繁为简，以此理解数学的本质，同构法在近几年高考题中不断显现，方法让人耳目一新，做到了解题至简，也达到了理解函数性质的目的，然而这种方法的题根题源就在课本里.文中就两个函数高考压轴题所涉及同构法的例题进行剖析，找出在课本中的题根题源，并对四种类型的同构法进行举例提升总结，以深刻理解同构法的底层逻辑.

【关键词】 真题;同构;课本;题根题源

高考题源于课本，高于课本，重视课本中的例题、习题、阅读材料以及旁白思考问题是需要师生共同关注的部分，比如2020年全国2卷理科第4题北京天坛问题，在北师大版必修五第一章第二节例8中可以找到其题根题源，比如高考题中求三角形面积需要用到其坐标公式，在北师大版必修五第二章第一节例3中有所介绍，所以强调重视课本教材是高中教学不可忽视也不可错失的阵地.同构法在函数、圆锥曲线和数列等模块中的应用逐渐显现并被大家接受和认可，文中就同构法解决函数问题在课本中的题根题源做以分析，并对其内在规律总结提升，以期完成对同构法的思维构建.1 平凡见奇生面开——真题呈现

问题1 （2020年山东新高考卷·21）已知f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范围.问题2 （2018年全国新课标Ⅰ卷文科·21）已知函数f（x）=aex-lnx-1.

（1）设x=2是f（x）的极值点.求a，并求f（x）的单调区间;（2）证明：当a≥1e时，f（x）≥0.

2 源头活水清如许——课本寻根

特级教师万尔遐说过：“题海战术人笑痴，别人抓根你抓枝，抓根九九能归一，抓枝遍野怎收拾？课有本，题有根，题根课根联考根，讲课不把根题展，盲人摸象白费神.”命题时，命题人在千方百计地把这个题根藏起来;解题时恰好相反，解题人则是要千方百计地把这个题根寻找到[1].找到题根题源，就找到问题的底层逻辑，以此展开思维生发生长的继续探究.题源1 （苏教版（新版）高中数学必修一第19页13题）已知两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A（1，2），求过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线方程[2].解析 因为两条直线a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都过点A（1，2），所以a1+2b1+1=0且a2+2b2+1=0.即（a1，b1），（a2，b2）是方程x+2y+1=0的两组解，所以过两点P1（a1，b1），P2（a2，b2）的直线方程是x+2y+1=0.

评注 题本身不难，重点在由已知得出（a1，b1），（a2，b2）是方程x+2y+1=0的两组解，对于这种结构相同性问题，构造出新的方程解决问题的方法值得我们去探究.

题源2 （北师大版高中数学必修一第83页练习2第1题（3））求等式中x的值：10x+lg2=2000[3].

解析 角度1：10x+lg2=10x·10lg2=2·10x=2000，所以10x=1000=103，即x=3.

角度2：2000=2·103=10lg2·103=10lg2+3=10x+lg2，即x=3.

评注 角度1运用指数运算性质化简，其中用到了对数性质公式，然后将等式两边化成以10为底的形式（即结构相同的形式），指数对应相等;角度2运用对数性质公式将2化成10lg2，再运用指数运算性质，将等式两边化成都是底数为10的形式，左右结构相同，则数对应相等.两个角度都用到了一个重要的对数性质公式alogaN=N（a>0，a≠1），然后将等式化成结构相同的形式解决问题.

3 鸳鸯绣出凭君看——同构法问题解答

问题1解析 解法1：f（x）=aex-1-lnx+lna=elna+x-1-lnx+lna≥1等价于elna+x-1+lna+x-1≥lnx+x=elnx+lnx（x>0），令g（x）=ex+x，上述不等式等价于g（lna+x-1）≥g（lnx），可知g（x）为单调增函数，上式又等价于lna+x-1≥lnx，即lna≥lnx-x+1，令h（x）=lnx-x+1，则h′（x）=1-xx，则函数h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，即h（x）max=h（1）=0，所以lna≥0，即a≥1.

解法2：aex-1-lnx+lna≥1等价于aex-1≥lnexaxaex-1≥xlnexaxex≥exalnexaexlnex≥exalnexa，令g（x）=xlnx（x>1），易知g（x）在（1，+∞）上单调递增.上式等价于g（ex）≥gexa，则ex≥exa即a≥exex在（0，+∞）上恒成立.令h（x）=exex，则h′（x）=e（1-x）ex，所以h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上單调递减，所以h（x）max=h（1）=1，即a的取值范围是[1，+∞）.评注 本题用分类讨论也可以完成，利用必要性探路也可以，利用同构等价转化思想比较简捷，但是综合分析能力要求更高一些.

问题2解析 （1）a=12e2;f（x）的单调递减区间是（0，2），单调递增区间是（2，+∞）;（2）当a≥1e时，要证f（x）=aex-lnx-1≥0，需证1eex-lnx-1≥0，需证ex≥elnex，需证xex≥xelnex，需证xex≥elnxelnex或exlnex≥exlnex.可设F（x）=xlnx或F（x）=xex在（0，+∞）上单调递增.只需要证x≥lnex=lnx+1即可.

评注 此题开始做了一个简单的放缩，然后变形.放缩在函数和数列中应用比较广泛，游刃有余地放缩可以达到事半功倍的效果.

从几个高考例题和题根中可以看出，解题过程中通过引导和同化，以顺应学生的思维层次和知识结构，让学生从观察到变形，将条件进行等价转化，化成结构形式相同的方程或者不等式，然后构造出熟悉的方程或者函数问题，从而通过函数的单调性或者其他性质进行解决问题，起到化繁为简的目的，我们将这种方法称为“同构法”.

4 悉数金针度与人——函数中应用举例揭规律

4.1 涉及方程两根的同构问题

例1 对于定义域为I的函数，如果存在区间[m，n]I，同时满足下列两个条件：①f（x）在区间[m，n]上是单调的;②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]是函数y=f（x）的一个“黄金区间”.如果[m，n]是函数y=（a2+a）x-1a2x（a≠0）的一个“黄金区间”，则n-m的最大值为（  ）.

A.33  B.1  C.233  D.2

解析 由题意，f（x）=a+1a-1a2x 在（-∞，0）和（0，+∞）上均是增函数，故f（m）=m，f（n）=n，即m，n为方程a+1a-1a2x=x的两个同号实数根，因为mn=1a2>0，且m+n=a+1a，所以只需要a<-3或a>1，所以n-m=（m+n）2-4mn=-31a-132+43，则当a=3时，n-m有最大值233.故选C.例2 已知函数f（x）=x+2+k，若存在区间[a，b][-2，+∞），使得函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[a+2，b+2]，则实数k的取值范围为（  ）.

A.（-1，+∞）  B.（-14，0]

C.（-14，+∞）  D.（-1，0]

解析 据函数的单调性可知，f（a）=a+2，f（b）=b+2，即a+2-a+2-k=0，b+2-b+2-k=0，则a+2，b+2是方程x2-x-k=0的两个不同非负实根，所以Δ=1+4k>0，-k≥0，得-14<k≤0.故选B.

评注 两个题都涉及同构法的雏形，通过题意得出两个结构相似的等式，即可看出方程的两个根，借助韦达定理，根据题意，从而解决问题.4.2 双变量类型问题

例3 若对于任意的0<x1<x2<a，都有x2lnx1-x1lnx2x1-x2>1，求a的最大值.

解析 原不等式可化为x2lnx1-x1lnx2<x1-x2lnx1x1-lnx2x2<1x2-1x1lnx1+1x1<lnx2+1x2，据此可设函数f（x）=lnx+1x 在定义域（0，a）上单调递增，其导函数f′（x）=-lnxx2≥0在（0，a）上恒成立，据此可得0<x<1，即实数a的最大值为1.

总结提升 ①已知f（x1）-f（x2）x1-x2>k设x1>x2，则f（x1）-kx1>f（x2）-kx2，即证y=f（x）-kx为增函数.②已知f（x1）-f（x2）x1-x2<kx1x2设x1>x2，则f（x1）-f（x2）<k（x1-x2）x1x2=kx2-kx1，即证y=f（x）+kx为减函数[4].

4.3 指对同构问题

例4 设实数λ>0，若对任意x∈（0，+∞），不等式eλx-lnxλ≥0恒成立，求λ的取值范围.

解析 因为eλx-lnxλ≥0，所以λeλx≥lnx.解法1：λxeλx≥xlnx=elnxlnx.因为f（x）=xex在（0，+∞）上递增，则f（λx）≥f（lnx），则λx≥lnx，即λ≥lnxx，又因为g（x）=lnxx在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，即g（x）max=1e，所以λ的取值范围是1e，+∞.

解法2：xlnx≤λxeλx=eλxlneλx，因为f（x）=xlnx在0，1e上递减，在1e，+∞上递增，

当0<x≤1时，x≤eλx（λ>0），显然成立;当x>1时，eλx>1，f（x）=xlnx在（1，+∞）上递增，

则f（x）≤f（eλx），x≤eλx两边取对数得λ≥lnxx，下同解法1.

解法3：λxeλx≥xlnx两边同取对数得：λx+lnλx≥lnx+lnlnx，因为f（x）=x+lnx在（0，+∞）上递增，由f（λx）≥f（lnx），得λx≥lnx，下同解法1.

总结提升 此题三种同构方式很常见，比较常见的还有指对同构：①积型：aea≤blnbaea≤（lnb）elnb，构造f（x）=xex;aea≤blnbealnea≤blnb，构造f（x）=xlnx;aea≤blnba+lna≤lnb+lnlnb（两边取对数），构造f（x）=x+lnx等三种同构方式.②商型：eaa<blnbeaa<elnblnb，构造f（x）=exx;eaa<blnbeaelnea<blnb，构造f（x）=xlnx;eaa<blnba-lna≤lnb-lnlnb（两边取对数），构造f（x）=x-lnx等三种同构方式.③和差型：ea±a>b±lnbea±a>elnb±lnb，构造f（x）=ex±x;ea±a<b±lnbea±lnea<

b±lnb，构造f（x）=x±lnx两种同构方式.4.4 同构放缩问题例5 已知不等式xex-a（x+1）≥lnx对任意正数x成立，求实数a的取值范围.解析 因为x>0，则x+1>0.原不等式可化为a≤xex-lnxx+1=ex+lnx-lnxx+1，又因为ex+lnx-lnxx+1≥x+lnx+1-lnxx+1=1，当且仅当x=1e时取等号.所以a≤1.即实数a的取值范围为（-∞，1].

总结提升 在同构变形的过程中，有时需要利用对数不等式或者指数不等式（两个重要不等式）进行适当的放缩.例如：（1）ex≥x+1（当且仅当x=0时取等号），以此公式展开的变形有：ex-1≥x;ex≥ex;xex=ex+lnx≥x+lnx+1;exx=ex-lnx≥x-lnx+1等等.（2）lnx≤x-1（当且仅当x=1时取等号），以此公式展开的变形有：lnex≤x;lnx≤xe;xex=elnx-x≥lnx-x+1;x2ex=ex+2lnx≥x+2lnx+1;x2ex=ex+2lnx≥e（x+2lnx）;lnx≤ex-2;lnx≥1-1x;xlnx≥x-1等等.需要注意的是取等條件，即使多次放缩，也要使得取等条件相同.

在解题过程中有时需要借助指数或对数性质进行等价转化，比如xex=ex+lnx;exx=ex-lnx;x+lnx=ln（xex）;x-lnx=lnexx等需要对性质做到烂熟于心.利用同构法解函数问题，以上的练习远远不够，需要足够的例题以加强训练，只有在足够的变式训练之后，才能在有限的时间内作出判断，用什么样的方法最便捷，以此理解构造函数其本质是函数性质在函数形式变化中的不变性和规律性.

参考文献

[1] 万尔遐.命题藏根与解题寻根之例说[J].数学爱好者（高考版），2008（12）：9.

[2] 高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书数学必修第二册（苏教版）[M].南京：江苏凤凰教育出版社，2019.

[3] 高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书数学必修第一册（北师大版）[M].北京：北京师范大学出版社，2014.

[4] 巨小鹏.几道高考题背后的破解秘密——同构[J].数理化解题研究，2022（01）：56-58.

作者简介 巨小鹏（1983—），男，陕西汉中人，硕士，中学二级教师;多次教学设计大赛获奖，曾主持并编写校本教材高中数学“问题式”“探究合作式”导学案必修和选修系列;研究方向为数学教育和课程与教学论;发表教育教学论文多篇.

魏宁（1981—），男，陕西汉中人，中学一级教师;研究方向数学教育教学研究;主持并编写校本教材多本.