由一个结论深度探究同构思想在高考压轴题中的应用

柯桂宏 林彩凤

【摘 要】 在近几年高考题压轴题研究中发现，用同构思想解决问题是高考的一个热点.本文立足于课本，探索同构思想的来源，深度探究同构思想在高考函数题、解析几何题、经典几何结论证明中的巧妙应用，让学生理解和掌握同构思想运用的基本步骤和基本推理过程.本文先从具体例子过度到用同构法探究证明解析几何结论、一般的同构函数模型，从个别到一般，从复杂到简单，从而培养学生数学运算以及逻辑推理的素养.

【关键词】 同构思想;深度探究;高考压轴题;数学核心素养

1 同构思想原理溯源

数学中的同构式是指具有相同结构的两个式子，但是变量不同.同构式的思想来源于函数的一个基础的结论：设函数f（x）在定义域D上是一个增函数，当f（x1）>f（x2），则有x1>x2;当f（x1）=f（x2），则有x1=x2;当f（x1）<f（x2），则有x1<x2.同构思想的本质就是构建相同结构的函数，利用函数的单调性，把函数值f（x1）、f（x2）之间的关系转化为两个变量x1、x2的关系，从而化繁为简，化难为易解决问题.利用同构思想需要掌握以下几个关键的步骤：

（1）找出同构函数，经过移项，化简，变形等方法找出相同结构的函数;

（2）研究同构函数的单调性，通过直接法或者求导研究同构函数的单调性;

（3）利用函数的单调性，把函数值f（x1）、f（x2）之间的关系转化为两个变量x1、x2的关系[1].

在高考中，函数题、解析几何题基本是压轴题，难度比较大，但对于近几年高考压轴题，使用同构思想可以巧妙简单地解决.下面以数学试题为例，从不同方面深度研究同构思想的作用.

2 同构思想的应用

2.1 同构思想在函数高考压轴题的应用2.1.1 双变元的同构式[2]

例1 （2020全国高考二卷理科数学11题）若2x-2y<3-x-3-y，则（  ）.A.ln（y-x+1）>0  B.ln（y-x+1）<0

C.ln|x-y|>0  D.ln|x-y|<0

分析 （1）考察的对象是指数函数，将不等式移项变形为2x-3-x<2y-3-y，不等式左右两边是结构相同的式子，得到同构函数为f（t）=2t-3-t;

（2）由直接法得知函数f（t）是在R上单调递增;

（3）因为f（x）<f（y），由函数f（t）单调性知x<y.

因此去判断各个选项得知A是正确，B是错误，C，D是无法判断，故选A.

例2 （2020全国高考一卷理科数学12题）若2a+log2a=4b+2log4b，则（  ）.

A.a>2b    B.a<2bC.a>b2     D.a<b2

分析 （1）考察的对象是指数函数和对数函数，将等式右边变形为4b+2log4b=22b+log22b-1，所以2a+log2a<22b+log22b，不等式左右两边是结构相同的式子，得到同构函数为f（t）=2t+log2t;（2）由直接法得知函数f（t）是在（0，+∞）上单调递增;

（3）因为f（a）<f（2b），由函数f（t）单调性知a<2b.

因此去判断各个选项得知B是正确，所以选B.

例3 （2017全国高考一卷理科数学11题）设x，y，z为正数，且2x=3y=5z，则（  ）.

A.2x<3y<5z  B.5z<2x<3y

C.3y<5z<2x  D.3y<2x<5z

分析 （1）本题要比较2x，3y，5z的大小，设2x=3y=5z=k（k>1），解得x=log2k，y=log3k，z=log5k，所以2x=2lnkln2，3y=3lnkln3，5z=5lnkln5，又因为lnk>0，故比较2x，3y，5z的大小，即比较2ln2，3ln3，5ln5大小，而这三个式子结构相同，得到同构函数为f（t）=tlnt;

（2）求导得知f（t）在（e，+∞）是增函数;

（3）利用函数的单调性知，因为f（2）=f（4），所以f（3）<f（4）<f（5），故3y<2x<5z，选D.

以上三道高考压轴题的条件中有函数不等式，有方程，有二元或三元等不同条件，但本质上都是比较函数自变量的大小.通过移项、放缩、变形等方法把复杂的式子变形成结构相同的式子，从而找出同构函数，利用函数的单调性解决问题.通过对不同层次的高考压轴题的研究发现，同构思想真是一把利器，不用蛮力也能巧妙轻松解决问题.

2.1.2 指对混合的同构式

例4 （2020山东高考21（2））已知函数f（x）=aex-1-lnx+lna.若f（x）≥1，求a的取值范围.

分析 （1）由f（x）≥1，可得aex-1+lnax≥1，移项得aex-1≥1-lnax=lnexa，两边同时乘ex化简得xex≥exalnexa.如果结构同左，用恒等式x=elnx化不等式右边为exalnexa=elnexalnexa，所以不等式可变形为xex≥lnexaelnexa，不等式左右两边是相同结构的式子，得到同构函数为F（t）=tet;

（2）求导知函数F（t）=tet在（0，+∞）是增函数;

（3）因为F（x）≥Flnexa，由函数F（t）=tet的单调性知x≥lnexa，最后进行参变分离得出lna≥lnx-x+1，求出a的取值范圍为[1，+∞）.

例5 （2018全国高考一卷文科数学21（2））已知函数f（x）=aex-lnx-1，证明：当a≥1e时，f（x）≥0.

分析 （1）当a≥1e，先放缩得f（x）≥exe-lnx-1，所以要证f（x）≥0，即证exe-lnx-1≥0，移项化简得exe≥lnex，两边同乘ex得xex≥exlnex，如果结构同左，即用x=elnx化不等式右边为exlnex=elnexlnex，所以不等式为xex≥elnexlnex，得到同构函数为F（t）=tet;

（2）求导知函数F（t）=tet在（0，+∞）是增函数;

（3）因为F（x）≥F（lnex），由函数F（t）=tet的单调性知x≥lnex，易证x≥lnex成立，所以当a≥1e时，f（x）≥0.

以上两道题目是高考的压轴题，一个是恒成立求参数范围，一个是证明不等式，兩道题都含有ex和lnx函数，这两个函数属于跳阶函数，幂函数x是ex和lnx的沟通桥梁，通过恒等式x=elnx，可以把幂函数化成指数函数，通过恒等式x=lnex，可以把幂函数化成对数函数.例如几个常见的同构函数：（1）f（x）=xlnx，（2）f（x）=lnxx，（3）f（x）=xex，（4）f（x）=exx，由恒等式x=elnx，可以把（1）转化为f（x）=xlnx=elnxlnx.同理，用恒等式x=lnex可以把（3）转化为f（x）=xex=exlnex.掌握了这种指对互化的魔法，就可以把指对函数化成相同结构函数，从而轻松秒杀高考压轴题.2.1.3 常见的同构函数模型

（1）双变元的同构函数经典模型[3]

①和差型：f（x1）-f（x2）>k（x1-x2）f（x1）-kx1>f（x2）-kx2同构函数为φ（t）=f（t）-kt;

②商型：f（x1）-f（x2）x1-x2>k（当x1>x2）f（x1）-f（x2）>k（x1-x2）同构函数为φ（t）=f（t）-kt;

③积型：x1x2[f（x1）-f（x2）]>k（x1-x2）（当x1x2>0）f（x1）-f（x2）>k1x2-1x1

f（x1）+kx1>f（x2）+kx2同构函数为φ（t）=f（t）+kt.

（2）指对混合的同构经典模型

①和差型：x+ex>x+lnxx+ex>elnx+lnx同构函数为φ（t）=t+et;

②商型：exx>xlnxexx>elnxlnx同构函数φ（t）=ett;

③积型：xex>xlnxxex>elnxlnx同构函数φ（t）=tet;

④凑型：kekx>lnxkxekx>xlnxkxekx>elnxlnx同构函数为φ（t）=tet.2.2 同构思想在解析几何高考压轴题的应用

同构思想不仅在高考函数压轴题中广泛使用，在高考解析几何压轴题中也起到了很重要的作用.在解析几何中，同构法完美地结合数和形，利用图形对称，方程结构对称进行同构，设而不求地解决问题，既打破了解析几何的“联立方程求解”的固定思维，还可以大大减少计算，化难为易，化繁为简.下面通过例子不同解法深度探究同构思想在解析几何压轴的应用.

例6 （2021八省联考单选第7题）已知抛物线y2=2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆（x-2）2+y2=1的两条切线，则直线BC的方程为（  ）.

A.x+2y+1=0   B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0D.x+3y+2=0

解法1 设直线方程，联立直线与圆方程求解出直线方程，再由直线方程和抛物线方程求出点B、C，最后再求直线BC.（具体过程省略）图1

解法2（同构法） 点A在抛物线y2=2px上，即p=1，抛物线方程为y2=2x.

设过点A（2，2）与圆（x-2）2+y2=1相切的直线的方程为：kx-y+2-2k=0，即圆心（2，0）到切线的距离d=1，解得k=±3，如图1，kAB=3，kAC=-3.

设By212，y1，Cy222，y2，则kAB=y1-2y212-2=2y1+2=3，kAC=2y2+2=-3，分别平方得3y21+12y1+8=0，3y22+12y2+8=0，将y21=2x1，y22=2x2化简得直线AB：3x1+6y1+4=0，直线AC：3x2+6y2+4=0，所以BC：3x+6y+4=0，故选B.解法3（同构法） 由题意已知抛物线为y2=2x，设By212，y1，Cy222，y2，设直线AB：y-2=y1-2y212-2（x-2），化简为2x-（y1+2）y+2y1=0，又因为直线AB是圆的切线，所以|4+2y1|4+（y1+2）2=1，化简得3y21+12y1+8=0，又y21=2x1化简得3x1+6y1+4=0;因为直线AC也是过A点的切线，结构对称，故直线AC：3x2+6y2+4=0，所以BC：3x+6y+4=0，故选B.从上面三种解法分析，第一种方法是通法，这一方法比较容易想到，但是计算非常复杂，让学生望而生畏.解法2是发现切线AB，AC的斜率通过平方之后代数式的结构相同，找出同构方程，“设而不求”，减少计算量，解决问题.解法3是从图形的结构对称，直线AB，AC都是经过点A和圆的切线，从而发现直线方程的结构是相同，通过同构轻松巧妙解决问题.2.3 同构思想在解析几何证明经典结论中的应用

同构解法不仅是解高考压轴题的宝剑，也是我们数学结论证明的利器，下面通过证明以下两个经典结论体现同构思想的作用.图2

1.（蒙日圆定理）如右图2所示，设椭圆的方程是x2a2+y2b2=1，两切线PN和PM互相垂直，交于点P，求证点P在圆x2+y2=a2+b2上.

证明（同构法） 设P（x0，y0），设过P（x0，y0）的直线方程为y-y0=k（x-x0），与椭圆方程为联立为y-y0=k（x-x0），x2a2+y2b2=1，化简得（a2k2+b2）x2+2ka2（y0-kx0）x+a2（y0-kx0）2-a2b2=0.令Δ=0，化简得a2k2+b2=（y0-kx0）2，整理得（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0.設PM，PN的斜率为k1，k2，k1，k2是（a2-x20）k2+2x0y0k+b2-y20=0的两根，所以k1·k2=b2-y20a2-x20=-1，所以得x20+y20=a2+b2，故点P在圆x2+y2=a2+b2上.

2.（阿基米德三角形性质）抛物线的弦两端点M，N，

过M，N分别做切线交于P，三角形PMN叫阿基米德三角形，设底边MN的中点为K，则PK平行于抛物线的对称轴[4].

证明 （如图3所示）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），则过M点的切线方程为x1x=p（y+y1），同理过N点的切线方程为x2x=p（y+y2），又同时过P（x0，y0），代入得x1x0=py0+x212p，x2x0=py0+x222p，由于上述两个式子结构相同，可以得到关于x1，x2的同构方程xx0=py0+x22p，化简得x2-2x0x+2py0=0，因此x1+x22=x0，所以PK∥y轴.

3 结束语

从上述的例子中看出同构思想在数学中的重要作用，同构思想突破常规的思维，为我们解题带来了新的思路，新的方法，新的视野.

从具体的函数和解析几何同构式的教学中发现，同构思想不仅可以提高学生运算能力和分析能力，还可以提升学生逻辑推理能力，这符合《新课标》数学运算核心素养中数学计算最高水平要求，也是计算的最高层次素养.

参考文献

[1] 陈选明.变形无意同构有法，同构遇上相似的你[J].高中数理化，2021（05）：1-2.

[2] 候有岐.解开三道高考试题背后的“秘密”——同构[J].数理天地（高中版），2021（6）：24-28.

[3] 张春华.同构函数在解决高考压轴题中的应用[J].数理化解题研究，2021（10）：42-43.

[4] 周正文.同构算法显神力，核心素养从中来[J].知识文库，2021（04）：53-55.

作者简介 柯桂宏（1990—），女，中学二级教师;荣获广州市高考突出贡献奖等;主要从事高中数学教育与教学研究.林彩凤（1989—），女，中学二级教师;主要从事高中数学教育与教学研究.