运用同构法解题的步骤

焦学刚

同构法是指通过构造同构式建立函数模型，利用函数的图象和性质来解答问题的方法.具有相同结构的两个代数式称为同构式.同构法常用于解答较为复杂的代数问题.运用同构法解题，能达到出奇制胜的效果.

运用同构法解题的常规思路是：（1）将不等式或方程合理进行变形，得到同构式;（2）根据同构式的特点构造函数模型;（3）明确函数的某些性质，借助这些性质将方程或不等式化简，从而得到新的关系式，求得问题的答案.

下面举例说明.

例 1.若实数 t ≥2，则下列不等式中一定成立的是（）.

分析：观察 A，B，D 三个选项，我们可以发现它们左右两边的式子均为同构式，可以运用同构法来解题.分别根据三个不等式的特点构造出对数函数、指数函数模型，然后利用对数、指数函数的单调性来判断它们的正确性.对于 C 选项，可通过取特殊值来判断不等式是否成立.

综上，本题应选ABD三项.

例 2.已知θ∈[0，2π），若关于 k 的不等式  上恒成立，则θ的取值范围为_____.

分析：我们观察已知不等式可以发现，该不等式左右式子的结构比较类似，可将不等式变形为同构式，构造函数 ，再利用函数的单调性建立新的不等式便可解题.

解：将 变形可得 ，

例 3.已知实数 x1，x2满足  ，则 x1 x2= ____.

分析：可将已知的两个关系式转化为结构相同的形式，然后构造函数 ，借助函数的单调性建立关于 x1，t 的关系式，即可解题.

解法一：实数 ，

解法二：

在 的两边取对

数得

这两种解法在本质上是相同的，解题的关键是对已知等式进行变形，使其结构相同，然后构造函数，利用函数的单调性求解.

例 4.设实数λ>0若对任意的 x ∈（1，+∞） ，不等式 恒成立，求λ的最小值.

分析：可考虑对不等式变形，使其变成同构式，利用同构法解题.

由此可以说明，运用同构法解题的关键在于将方程或不等式变形.常常需要对指数、对数式进行转换，常用方法有：  .有时需要在等式两边进行加乘变换，常见的同构式有两种（1）积型： ，可将其变换为 .（2）和差型：  ，可将其变换为 .同学们熟练掌握这些常见的同构式及运用同构法解题的思路，便能顺利破解难题.

（作者单位：江蘇省邗江区蒋王中学）