利用同构特点巧解数学问题

李铠辰

在求解函数与方程的问题中，往往会出现一些除变量外完全相同的结构式，解题时若能利用其同构的特点，寻求与问题的某种内在联系，深刻分析、正确思维和丰富联想，使之简单明了，起到化简、转化和桥梁作用，从而找到解决问题的思路、方法.这体现了数学中发现、类比、化归等思想，渗透着猜想、试验、探索、概括等重要方法，是一种富有创造性的解决问题的方法.本文列举函数、不等式、数列中的常见问题解析如下.

题型一：利用同构特点解决方程问题

在方程中的应用：如果方程f（a）=0和f（b）=0呈现同构特征，则a，b可视为方程f（x）=0的两个根.

例1.若函数f（x）=+m在区间[a，b]上的值域为[，]（b>a≥1），则实数m的取值范围是？

【解析】∵f（x）为增函数∴f（a）=，f（b）=-？圯+m=+m=

∴a，b为方程+m=在[1，+∞）上的两个根，即m=-有两个不同的根，

令t=（t≥0）？圯x=t+1，

所以方程变形为：m=（t+1）-t=（t-2t+1），结合图像可得：m∈（0，].

【点评】注意到f（x）是增函数，从而得到f（a）=，f（b）=，即+m=+m=，发现两个式子为a，b的同构式，进而将同构式视为一个方程，而a，b为该方程的两个根，m的取值只需要保证方程有两根即可.

题型二：利用同构特点解决不等式问题

在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系.可比较大小或解不等式.

例2.已知函数φ（x）=，a为正常数，若g（x）=lnx+φ（x），且对任意x，x∈（0，2]，x≠x，都有>-1，求a的取值范围.

【解析】g（x）=lnx+，不妨设x

g（x）-g（x）>x-x？圯g（x）+x>g（x）+x，

设h（x）=g（x）+x=lnx++x，则由h（x）>h（x）恒成立和x

只需h（x）在（0，2]单调递增即可，∴h′（x）≥0恒成立.

∵h′（x）=-+1∴-+1≥0

即a≤（x+1）+恒成立

所以只需a≤[（x+1）+]

令p（x）=（x+1）+

∴p′（x）=2（x+1）+=

∴p（x）在（0，）单调递减，在（，2）单调递增，∴p（x）=p（）=

∴0

【点评】观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令x>x，则不等式变形为g（x）-g（x）>x-x，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数h（x）=g（x）+x，从而由x>x且h（x）>h（x）可知只需h（x）为增函数即可.从而只需不等式h′（x）≥0恒成立即可，求出a的范围.