校本化作业设计的实践与思考——以“一元二次方程”为例

何君青

(致远初级中学，江苏 南京 210019)

义务教育的质量关乎少年儿童健康的成长，关乎国家的发展、民族的未来.为深入贯彻党的十九大精神，加快推进教育现代化，建设教育强国，办好人民满意的教育，2021年7月24日，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》，即近期风靡全国的“双减”政策.政策中提出的“减”主要包含两层含义：一是减轻学生作业的负担；二是减轻学生校外培训的负担.文件中明确指出：提高作业设计质量，发挥作业诊断、巩固、学情分析等功能，系统设计符合年龄特点和学习规律、体现素质教育导向的基础性作业.鼓励布置分层、弹性和个性化作业，坚决克服机械、无效作业，杜绝重复性、惩罚性作业.

针对国家的“双减”政策，近期义务教育学校对作业开展了一系列的改革，这既是国家政策的回应，也是学校现实的需求，更是学生未来发展的必然考虑.

在“双减”的背景下，根据学生的学习起点，设计开放、有意义、有助于学生理解学科本质的作业，驱动学生自主探究、合作学习、反思提炼，是作业设计的必然趋势.基于此，在笔者的带领下，笔者所在学校开展了作业设计的探索，围绕着体验、探究、反思式校本化学科作业进行了尝试与研究.此做法有助于学生认知学科的过程与结果，自主参与学科的抽象与概括，明晰相关的结论，让学生对作业的兴趣提高、研究性加强，直指学生未来的发展.笔者研究已半年有余，略有收获，故撰文与读者交流.

1 研究的内涵

长期以来，由于应试教育的负面影响，初中数学作业的内容拘泥于课堂、教材，以固有的形式呈现，机械、重复的训练较多.作业陷入反复、单调、封闭的误区不能自拔.这种不利于学生成长的作业使学生埋头于烦琐、重复的练习苦不堪言.作业脱离生活实际、围着书本做文章的现状，极大地削弱了学生解决实际问题的能力，泯灭了学生的学习热情，违背了学生发展的规律，也与《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)》(以下简称《新课标》)的理念背道而驰，严重影响了学生的身心健康.

面对这样的状况，笔者所在学校清醒地认识到对作业的改革必须打破原有落后、陈旧的方式，还之以新的活力，使之以崭新的面貌呈现，使其走进学生的心中、走进生活实际.体验、探究、反思式校本化学科作业的研究正符合这一要求，这样的作业充满生机、充满趣味，让学生感受到作业的趣味、实践的充实、探究的快乐、反思的乐趣.

体验、探究、反思式校本化学科作业追求的是高阶、有意义、有趣味的学习，研究如何把体验、探究、反思式的学习任务形成作业，在完成任务中“做中学”.这不仅是作业内容的丰富，也是学习路径与学习方式的拓展；不仅是知识的巩固，更是推进知识从“应用”走向“运用”的过程.于是作业从附属意义的学习活动发展成为具有独立意义的学习活动.

在体验式作业中，学生通过观察、思考、感悟、尝试、总结，将所学知识应用于新的学习场景中，建立一个生动、主动和个性化学习的路径，从而培养学生的创新意识和应用意识.

在探究式作业中，学生通过对某一特定问题的深入研究，基于自身知识经验、思维方式，解决有指向、有主题、承载着探究任务的问题，从而培养学生分析问题和解决问题的能力.

在反思式作业中，通过对所涉及的事物、材料、信息、思维、结果等学习特征进行反向思考，促使学生更好地领悟方法和活动经验，从而指向学生未来的发展.

2 研究的尝试

在作业设计的理念中，体验、探究、反思式校本化作业的设计，对学生未来的发展大有裨益，笔者以“一元二次方程”课时作业的设计为例.此作业包含作业设计的目标以及目标指导下具体的作业内容、意图，作业的呈现既有基础性作业又有提高性作业，既有常规的数学作业题型又有非常规的题型，既有必做作业又有分层选做作业.具体呈现如下.

2.1 作业目标

1)理解一元二次方程的意义，会判断一个方程是否是一元二次方程;

2)能根据具体问题中的等量关系列出一元二次方程;

3)经历解一元二次方程的探索过程，积累分析问题和解决问题的经验;

4)知道一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别和联系，体会一元二次方程的内涵.

2.2 基础训练

练习1下列方程是一元二次方程吗？如果不是，请说明理由.

3)x(12-3x)=17； 4)ax2+bx+c=0.

设计意图与作业目标1)呼应，判断一个方程是否是一元二次方程，这是对一元二次方程意义的理解，第1)～3)小题较容易判断，第4)小题要进行分类讨论，有一定的难度，但可以加深学生对一元二次方程中二次项系数不为0的认识.

练习2填空：

1)电影《长津湖》上映仅5天，票房已经达到22亿元.设平均每天票房的增长率为x，若2天后票房达到26.3亿元，则可得方程______.

2)一个直角三角形两条直角边相差3 cm，面积是9 cm2.设它的短直角边长是xcm，可得方程______.

3)将方程x(x-2)=5x+10化成一元二次方程的一般形式为______，它的二次项系数、一次项系数和常数项分别是______.

设计意图与作业目标1)和目标2)呼应，填空第1)，2)小题根据题意列一元二次方程，让学生体会到方程是解决实际问题的常用模型，第3)小题将方程转化成一元二次方程的一般形式、写二次项系数、一次项系数和常数项，是对一元二次方程相关概念的运用.

2.3 拓展练习

练习3填空:

1)若关于x的方程ax2-2x+3=0是一元二次方程，则a需要满足的条件是______;

2)若关于x的方程ax|a|+1-2x+3=0是一元二次方程，则a需要满足的条件是______;

3)若关于x的方程(a+1)x|a|+1x2-2x+3=0是一元二次方程，则a需要满足的条件是______.

设计意图与作业目标1)呼应，这组题目难度逐渐提升，强化了学生对一元二次方程意义的理解.练习3是练习1的升级，让学生再次认识一元二次方程的意义，能规范地表达、有条理地思考.

2.4 深入探究

练习4小明借助图1来说明求一元二次方程x2+6x=55的解的过程，你明白他的想法吗？

图1

设计意图与作业目标3)呼应，此题设置了一元二次方程图形的解法的表达，体现了几何直观；让学生说出图形中蕴涵的道理，体现了代数推理，这都是《新课标》中强调的内容.题目与后面学习的一元二次方程的配方法呼应的同时，也增加了学生对一元二次方程解法研究的兴趣.

练习5《九章算术》中有一题：今有户不知高、广，竿不知长、短.横之不出四尺，从之不出二尺，斜之适出，问户高、广、斜各几何.

大意是说：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等.问门高、宽、对角线长分别是多少？

1)设门的对角线的长为x尺，根据题意列出一元二次方程；

2)请你尝试解这个一元二次方程；

3)你发现该如何解一元二次方程了吗？请说说你的想法.

设计意图与作业目标3)呼应，从《九章算术》中的题目入手，符合《新课标》的要求，体现数学文化的价值.该题目让学生深入探究、尝试求解、归纳经验，培养了分析问题、解决问题的能力,同时也为后续学习解一元二次方程做了铺垫，并让学生初步感受到解一元二次方程的本质.

2.5 反思提升

练习6结合一元一次方程、分式方程、二元一次方程研究的经验，编写“一元二次方程”这一章的目录.

练习7一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程有什么区别和联系？

设计意图与作业目标4)呼应，练习6和练习7均为反思型问题.练习6以有趣的方式让学生编写章节目录，实则是一种对方程章节研究经验的反思;练习7写出一元二次方程与一元一次方程、二元一次方程的区别和联系，实则是对一元二次方程知识本身的反思，加深对一元二次方程意义的理解.

2.6 分层选做

练习8全国各套版本教材中对一元二次方程的定义有所不同.

人教版教材的定义是：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.

北师大版教材的定义是：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2+bx+c=0(其中a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程.

苏科版教材的定义是：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.

请你分析这3套版本教材中的一元二次方程定义的相同之处与不同之处.

设计意图选做作业，让学生对比3套版本教材的定义方式，体会其中定义的相同之处与不同之处，对学生有极高的要求，既能让学生从文字语言、符号语言不同的角度，又能让学生从一类方程的属性表征对一元二次方程的意义有更深刻的认识，也能体会规范的表达的价值，为学生后续有条理地表达数学概念、分析数学概念做铺垫.

练习9查阅资料，了解一元二次方程的发展历史.

设计意图关于选做作业，《新课标》提出教学需要关注数学文化的渗透，故在课后增加了“查阅资料，了解一元二次方程的发展历史”这一作业，这种体验式的作业，让学生了解历史、增长见识的同时，也让学生体会到古人研究数学的不易，培养责任感和使命感.

3 研究的思考

3.1 体验、探究、反思式作业的作用

体验式作业是一种人性化、情感化、直觉式、人际交互式的“浸润式作业”，避免了冰冷的训练，使作业更为鲜活、更有温度.“一元二次方程”作业中的练习9就是一个很好的展现，查阅资料了解一元二次方程的发展历史，让学生在亲身感悟数学文化的魅力、了解历史的同时，增添了对数学学习的热情.

探究式作业是一种在学科领域内或现实生活情境中选取某个问题作为突破点，深入研究的“探索式作业”，避免了对知识内容的肤浅认识，让学生从作业中获得更多的知识、掌握更多的方法.“一元二次方程”作业中的练习5就是很好的例子，让学生结合《九章算术》中的问题，列出方程，继而试着求解方程，再总结经验，这样学生对一元二次方程的理解就会更加深刻，从而串起了一章的学习，也让学生在探索的过程中，初步体会到解一元二次方程的思想，更让学生获得了成功，收获了喜悦.

反思式作业是一种创造智慧、指向学生未来发展、“转识为智”的“发展式作业”，避免了学生对知识的机械运用，使作业关注人的发展、能力的提升，更好地促进学生未来的发展[1].“一元二次方程”作业中的练习6就是很好的呈现，让学生结合之前学习方程章节的经验，编写一元二次方程一章的目录，这是一种经验的反思，只有学生了解研究方程的一般流程，对其有深刻的认识后才能很好地完成此作业，这对日后学习新的知识、研究新的问题都有很好的指引作用.

3.2 体验、探究、反思式作业的选材

事实上，布置作业对教师来说并不困难，但设计体验、探究、反思式校本化作业有一定的难度，毕竟这是一种新的尝试.因此，3种类型校本化作业的选材很重要，“哪些地方进行体验，哪些地方进行探究，哪些地方进行反思”都值得思考.

体验式作业的选材可以从以下4个方面考虑：一是操作动手型作业，可以让学生制作学具等，比如学习立体图形这一章时可以让学生制作正方体、圆柱、圆锥等；二是观察总结型作业，比如让学生学完一章后制作知识框架图、思维导图等；三是调查报告型作业，比如在学习统计、概率章节时让学生自己设计调查问卷、撰写报告或在某些内容学习时查阅资料，了解学习内容的相关发展历史等；四是趣味互动型作业，比如学习一些简单的内容时，可以提前让学生录制讲解视频，既让学生提前预习了知识，又让学生有了教学的成就感.

探究式作业的选材可以从以下4个方面考虑：一是从教材内容入手，比如当天学习知识后探索后续内容的某一结论；二是从学科内容入手，对类似知识进行探究，比如学过二次函数后，布置三次函数探究的作业；三是从综合探究入手，比如学完三角形的全等后探究四边形全等的条件；四是从生活实际入手，比如学过相似后研究学校旗杆的高度.

反思式作业的选材可以从以下5个方面考虑：一是对知识内容进行反思，有助于概念深入研讨，把握知识内涵；二是对研究过程进行反思，有助于回顾研究过程，厘清研究思路；三是对类似经验进行反思，有助于弄清知识关联，理解知识脉络；四是对思想方法进行反思，有助于理念高位引领，追寻数学本质；五是对解题策略进行反思，有助于题目一题多变、一题多解，延续有限的课堂时间.

当然，每课时作业的设计中基础性的作业仍然是不可或缺的部分，体验式、探究式、反思式的作业仅仅是作业中的一部分，有时涉及其中1～2种类型，有时间兼顾3种，根据学习内容、学情的不同适当调整、取舍.

3.3 体验、探究、反思式作业的原则

作业的设计必然有其需要关注的地方，笔者认为体验、探究、反思式作业要关注4个原则，即4个“要”.一是要遵循学生学习动机的规律，从而激发学生学习数学的兴趣；二是要遵循学生学习迁移的规律，让选择的作业能够举一反三、以“精”代“多”；三是要遵循学生学习记忆的规律，不是越多的作业越好，适度为宜；四是要遵循理论联系实际的规律，从而让作业学以致用[2].

在具体操作过程中，设计体验、探究、反思式的作业，需先研读课标、教材，再分析学情、弄清考点，继而设计作业目标，在保证基础作业的同时，选择体验、探究、反思中一种或多种方式进行作业设计，最后评价、优化.具体流程如下:

总之，作业设计的改革绝不是一股风潮，而是一种必然使命，也不是一张蓝图，而是一种责任.教师必须由“看客”到“创客”，让“翻新”变“创新”，体验、探究、反思式校本化作业的探索从学生的发展入手，优化了教学中作业这一环节，对教学起到了积极的作用，但研究的道路总需一步步探索、一步步完善，从而最终达成教、学、评的深度融合.