关注发现探究能力 发展数学核心素养——“平面与平面平行的性质”的设计与思考

盛 姗

(金华第一中学，浙江 金华 321000)

1 问题提出

2020年秋，笔者所带的高一年级开始使用新教材.在新教材的实施过程中，笔者所在教研组团队一直坚持探索如何在课堂教学中提升学生的核心素养.笔者在2021年4月省市教研员来校的调研活动中，执教了“平面与平面平行的性质”一课，取得了较好的教学效果.

2 教学设计

2.1 教学内容分析

本节内容是人教A版普通高中教科书《数学(必修2)》第八章第5节“空间直线、平面的平行”,是平行关系的最后一节课，对于完善平行链有着决定性作用.利用平行链可以实现平行关系(线线、线面、面面)的转化，这种转化将有助于后续第6节“空间直线、平面的垂直”的学习，使学生对“空间直线、平面之间的位置关系”的认知更加系统性.由于以平面与平面平行为条件推出的结论有很多，若面面俱到，则课堂容量太大且重点不够突出，因此笔者将这一课时的教学内容设计为“平面与平面平行的性质定理及其应用”.

2.2 学情分析

笔者执教的班级在普通班中属于偏上水平，学生学习积极性高、思维活跃，相互研究、交流的氛围好.同时学生已经学习了空间点、线、面之间的位置关系，有了借助模型(如用笔当直线、用书本当平面)直观想象的学习经验.在“直线与平面平行的性质”学习中体会了降维思想，且对“与同一平面平行的两平面是平行的”等有了初步感性认识.因此，本节课围绕直观想象、数学抽象和逻辑推理等素养的渗透，让学生借助模型观察，教师设计问题引导思考，运用“观察—猜想—论证”的认知方法，完全可以实现重定理发现过程、重学生学习体验、重类比化归思想应用.

2.3 目标分析

基于对教学内容和学情分析，笔者将教学目标确定为：

1)学生通过观察、猜想、论证，发现并掌握面面平行的性质定理；

2)通过典型例题，体会定理在平行链中的地位和作用，形成完整的平行关系知识体系；

3)培养学生发现、探究数学的能力，领悟转化化归的思想方法，逐步提升学生的直观想象、数学抽象和逻辑推理等核心素养.

教学重点理解平面与平面平行的性质定理的内容.

教学难点平面与平面平行的性质定理的发现过程及应用.

2.4 教学过程

2.4.1 复习旧知，引入课题

设计意图先复习旧知，平行链中缺失的箭头激起了学生探究的兴趣，这让笔者意识到本节课题是对已有平行链的一个完善，是非常有必要的.

2.4.2 借助模型，发现结论

小组合作探究模式一直是现代教育理念倡导的一种方式.学生借助最常见的实物模型(笔、书、课桌等)，以小组合作的形式，动手探究，直观感受.学生经过操作，提出以下猜想：

猜想1两平面平行，其中一个平面内的直线必平行另一平面.

猜想2两平面平行，一直线与其中一个平面平行，必平行另一个平面(或在该平面内).

猜想3两平面平行，一直线与其中一个平面相交，必与另一平面也相交.

猜想4两平面平行，第三个平面与其中一个平面平行，与另一个也平行.

猜想5两平面平行，第三个平面与其中一个平面相交，与另一个也相交.

(小组成员分工明确，代表回答猜想的同时其他组员配合摆出相应的空间模型.)

问题1对于猜想5，请画出图形.

(请发现该猜想的同学到黑板上画图，图略.)

问题2第三个平面与两平行平面相交，形成的两条交线之间有什么位置关系？

生(众)：平行？

(受黑板上图形的影响，不太确定.)

受将实物模型转化为图形语言的能力所限，精准得到两交线的位置关系存在困难.于是，笔者借助几何画板软件动态演示，让第三个平面从猜想4的位置开始动起来，逐渐与两平行平面相交，让学生经历空间模型图形化，从直观想象到“眼见为实”！图1～4是动态演示过程中的几种位置截图，由此自然得到猜想6.

图1 图2

猜想6两平面平行，同时与第三个平面相交，则它们的交线平行.

设计说明从线面、面面的位置关系出发，学生容易得到前5个猜想.对于“交线”学生不太容易发现，让学生将猜想5转化为图形语言，自然地关注到交线，并思考交线的位置关系.由于直观感知和图形刻画产生冲突，呼唤多媒体技术介入.教师借助几何画板软件，演示面面位置关系的变化过程，增强直观性，实现静态知识动态化，这样有利于发展学生的直观想象素养.用恰当的文字语言刻画探究得到的猜想可以提升学生的抽象能力和语言表达能力.在两个平面平行的条件下，可以推出的结论是很多的，由于课堂时间所限，顺利得到猜想1和猜想6之后，师生不再共同探索其他猜想，教师鼓励学生课后继续思考.

2.4.3 论证猜想，得到性质

结合长方体模型(如图5)，学生很容易发现猜想1符合线面平行的定义，是正确的.这是面面平行的性质定理1，简记为：面面平行→线面平行.适时提问：面面平行可以直接推出线线平行吗？即猜想6是否正确?

师：我们已经画出了图形(如图4)，证明猜想之前还得先做什么?

生1：写出已知、求证.

已知：α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,求证：a∥b.

生2：用定义法.直线a,b分别在平行平面α,β内，故没有公共点，又同时在平面γ内，自然是平行的.

生3：用今天刚学的面面平行的性质定理1，先得到a∥β，再用之前学的线面平行的性质定理得以证明.

师：非常棒！能够把刚学的性质定理1活学活用！这是面面平行的性质定理2，可以简记为：面面平行→线线平行.至此，平行链得到了完善：

设计意图学生在模型观察的过程中，易受图形直观的影响，难以深入实质，因此猜想是否正确需要进一步证明.由于教学内容所限，重点证明两条性质定理，其余猜想的证明留课后自主完成.图形语言和符号语言是空间想象能力更进一步的体现，准确转化将有助于提升学生的抽象能力和空间想象能力.教师带领学生运用已有的知识和定理对猜想进行严密论证，进而获得新的结论，既体现了数学学科的严密性，又提升了学生的逻辑思维能力.

2.4.4 例题讲解，体会应用

例1(求证夹在两平行平面之间的平行线段相等)已知：如图6，α∥β,AB∥CD,其中A,C∈α,B,D∈β,求证：AB=CD.

图6 图7

例2如图7，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，

1)点P是B′D′上任意一点，求证：AP∥平面BDC′；

2)点E,F分别是侧面对角线AB′,BC′上的点，且B′E=C′F,求证：EF∥平面ABCD.

设计意图例1可转化为证明四边形ABDC是平行四边形.更进一步，转化为证明AC∥BD,根据本节课所学的性质定理2便可得证.设计例1的目的是让学生初步体会性质定理的应用.

例2的背景是学生熟悉的正方体模型，学生对模型中点、线、面的位置关系比较了解，能自然快速地进入思考状态.第1)小题，由于点P的任意性，更适合用本节课的性质定理1来证明；第2)小题，由于EF是确定的，可用之前学的线面平行的判定定理，也可用本节课学的性质定理1来证明，一题多解，让学生加深对平行链的认识.两个小题的差异设计让学生体会对于动点、动直线的处理方法——动中找定，用性质定理中的降维转化思想进行突破.

2.4.5 问题拓展，应用升华

变式拓展1如图8，平面α∥平面β,AB,CD是两条异面直线，A,C在平面α内，B,D在平面β内，AB,CD的中点分别是M,N，求证：MN∥平面β.

引导式提问似曾相识吗？请找一找与例2的关系.

生4：相当于把例2中的异面直线AB′,BC′抽象出来.

师：借鉴例2，转化成在平面β内找一条直线，证明其与MN平行，或者找一个过MN的平面与β平行.如何突破？

生5：例2中的BB′起到了联结异面直线AB′,BC′的作用，这是成功转化的关键.类似地，变式中可联结AD，用本节课所学的性质定理1来证明.

师：“联结AD”是成功的关键，你能分析其中的原因吗？

生6：平行关系一定是以共面为前提的，“联结AD”实现了化异面为共面.

师：分析得非常棒！还有没有其他化异面为共面的方法？同学们课后可以继续思考.

设计意图从例2的正方体背景抽象提取了纯粹的点、线、面的位置关系问题，又与例1背景相似，难度却上了一个台阶，这是立体几何中常见的应用升华.《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称《课标》)明确指出：应先以长方体为载体来认识和理解以及论证出空间的点、线、面的位置关系，在学习中理解体会这种从具体到抽象的思考问题的方法.由已经解决的例1和例2进行铺垫，让学生有种既熟悉又陌生的感觉，引起学生的认知冲突，挑战学生的潜能，顺利地进入下个发展区.这正是维果斯基的“最近发展区理论”所倡导的教学观.

2.4.6 课堂小结，回归素养

结合完善的平行链，回顾两个性质定理的内容,理解定理在平行体系中的地位和作用.本节课渗透的数学思想主要是转化化归思想，既包括陌生问题熟悉化、判定定理升维化、性质定理降维化，也包括自然语言、符号语言、图形语言之间的转化.

3 教学反思

《课标》指出：数学学习活动不能只是教师的传授、学生的模仿.特别是高中数学课堂应倡导学生独立探究，大胆猜想、严密论证等学习方式；让学生经历知识的发现和创造，激发他们的创新意识.本堂课遵循“教师是教学的主导，学生是教学的主体”，经历模型观察、抽象概括、转化化归，让学生最大限度地感受定理生成的必要性和必然性.

3.1 模型观察，提升直观想象素养

立体几何中对点、线、面之间的位置关系的认识需要一定的空间想象能力，故性质定理的发现是一个难点.而空间几何模型是直观想象素养的良好载体，教师鼓励学生借助现有的笔和课本以及身处的教室(长方体模型)为思考的载体；然后借助几何画板的动态演示，帮助学生自然地突破，进而提升学生的空间想象能力.

3.2 抽象概括，提升数学抽象素养

数学抽象是形成理性思维的重要基础.在探究活动中，从实物模型抽象、概括出数学结论，并用恰当的数学语言予以表达；尝试画出从实物模型抽象出来的几何图形，再对照图4，领悟画图的要领，提高思图、辨图的能力，这些都是数学抽象的一种体现.从具体模型(如长方体模型)中抽象出点、线、面的位置关系，符合学生的认知特点，符合从具体到一般的研究规律.在平时教学中，教师要有意识地创造这样的机会，潜移默化地提升学生的数学抽象素养.

3.3 转化化归，提升逻辑推理素养

化归思想曾被笛卡尔誉为“万能方法”.化归后的问题比原问题更接近学生的最近发展区，更容易突破.完善的平行链反应出线线平行、线面平行和面面平行是可以相互转化的.这种转化是立体几何中的重要思想方法.例2求解的目标是线面平行，可以转化为线线平行来判定；也可以利用面面平行的性质来证明.陌生的问题(变式拓展1)在化归思想的指导下可转化为熟悉的问题(例2)，以便更快地思考，化难为易.平面化是研究立体几何问题的重要方法之一，化异面为共面，化空间为平面，往往能起到意想不到的效果.数学课堂中注重化归思想的渗透，对提升学生的逻辑推理素养大有裨益.

总之，数学核心素养的培养是一个长期的潜移默化的过程.教师在教学中不仅要关注学生对知识的理解，更要关注知识的形成过程和应用过程.在探究过程中提升理解能力，发展迁移能力，进而在潜移默化中发展数学核心素养[1].