探究数学模型 生成自然解法——一道北京中考题解法的探索

许科挺, 毛孟杰

(海曙区集士港镇中心初级中学，浙江 宁波 315171)

1 试题呈现

例1如图1，在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α,其中M为BC的中点，点D在MC上.以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，联结BE,DE.

图1

1)比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE,BM,MD之间的数量关系，并证明之.

2)过点M作AB的垂线MF，交DE于点N,用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明之.

(2021年北京市数学中考试题第27题)

2 问题溯源

本题是以“等腰△ABC内的线段AD，绕顶点A顺时针旋转顶角的度数，从而出现另一个等腰△ADE和全等三角形中的‘手拉手’模型，于是得到一些相等的线段和角”的思路进行命制.因此，第1)小题探究2个角的大小和3条线段的数量关系，这是很多版本教材中常见的例题、习题形式.可见试题的背景是许多学生广为熟知的，命题者从教材中的一些例题和习题出发，经过改编、整合、拓展和赋予新的意义等命题方法，考查学生的等腰三角形、全等三角形等主干知识和几何直观、逻辑推理、数学建模等数学素养，体现试题的公平性和教材的权威性，把教师的研究视角从“题海战役”转向“研究教材例题、习题的价值和教学功能”的正确道路上来，从而切实减轻学生的学业负担.

本题的创新之处是把第2)小题设计为“对于特殊四边形AEBD(一组邻边AE=AD，对角线BA平分内角∠DBE)，经过顶点A在AD的投影点M(即BC的中点)作AB的垂线MF，探索MF是否平分对角线ED”的探索性问题.如果命题者直接呈现第2)小题，没有经过适当暗示和铺垫，就很可能给学生解题思路的形成造成一定的障碍.因此,设计第1)小题除了具有起点低、入口宽和拾级而上的功能外，还给学生研究四边形AEBD的结构和构建适当的数学模型来解决第2)小题提供了方向.

3 模型探究

我们知道，解数学题的关键是解题者结合题目的条件、结论及图形，发现或构造适当的数学模型.因此，笔者从题目的条件组合、结论与条件组合、图形的结构这3个视角出发，对试题第2)小题进行数学模型的探究，从而生成相应的解法.

3.1 分析题目的条件组合，探究数学模型

3.1.1 角平分线模型和蝴蝶模型

思路1由条件易∠ABE=∠ABD和MF⊥AB，根据角平分线模型，只需延长MF和BE，构造等腰△BMG；再过点E作EL∥BM，用全等三角形中的“蝴蝶模型”得到证明(如图2).或分别过点D,E作MN的垂线，用全等三角形中的“蝴蝶模型”进行证明(如图3).

图2 图3

3.1.2 角平分线模型和A字模型

思路2从∠ABE=∠ABD和MF⊥AB出发，根据角平分线模型，过点E作EG⊥AB，构造出等腰△BEG.此时EG∥MN，由A字模型把问题转化为证明GM与MD的数量关系(如图4).

图4 图5

3.2 分析条件与结论组合，探究数学模型

3.2.1 平行四边形模型

思路3从要求证的结论“NE与ND的数量关系”联想到平行四边形模型中“对角线互相平分”的性质，再结合∠ABE=∠ABD和MF⊥AB.考虑延长BE,MN相交于点G,得到等腰△BGM,然后过点D作DL∥EG交NM的延长线于点L,联结EL,DG,构造出GELD(如图5).

3.2.2 三线合一模型和四点共圆模型

思路4从第1)小题的证明过程中可得AE=AD，再结合需证明的EN=ND，联想到“三线合一”模型.联结AN,AM，通过构建点A,N,M,D共圆模型证明AN⊥ED(如图6).

图6 图7

3.3 分析题目的图形结构，探究数学模型

3.3.1 线段中垂线模型

思路5四边形AEBC是由△ADC绕点A顺时针旋转顶角∠BAC形成的，因此形成的四边形AEBC不再继承等腰△ABC的对称性.但如果作AD关于AM的对称线段AG,则整个图形的对称性又凸显出来，构造出线段中垂线模型.比如AB是线段EG的中垂线，AM是线段GD和BC的中垂线(如图7).

3.3.2 三角形模型

思路6把线段MN看作△BDE的割线在三角形内的一部分，点M,N分别是割线MN与BD,DE的交点.根据三角形模型，应考虑三角形的割线MN与各边的交点,延长MF和BE相交于点G，然后用梅涅劳斯定理求出EN与ND的比值，从而证明EN=ND(如图8).

图8

4 解法生成

证法1(利用角平分线模型和蝴蝶模型)如图2，延长MF和BE交于点G，过点E作EL∥BM交直线MN于点L.由MF⊥AB，∠GBF=∠MBF，易知

△BFG≌△BFM，

于是

BG=BM.

又EL∥BM，则

EG=EL,

由MD=MC-CD=BG-BE=EG=EL，得

△ELN≌△DMN，

故

EN=ND.

证法2(利用角平分线模型和蝴蝶模型)如图3，延长MF和BE交于点G，分别过点D,E作MN的垂线，垂足为点H,L.由证法1可得

图3 图4

EG=MD，EL∥AB∥DH,

从而

∠GEL=∠GBA=∠CBA=∠BDH，

于是

△ELG≌△MDH，

即

EL=DH，

进而

△ELN≌△DHN,

故

EN=ND.

证法3(利用角平分线模型和A字模型)如图4，过点E作EG⊥AB交BC于点G，则

EB=BG，

从而

GM=MB-BG=MC-CD=MD.

又EG∥MN，故

EN=ND.

证法4(利用平行四边形模型)如图5，延长BE,MN相交于点G,过点D作DL∥EG交NM的延长线于点L,联结EL,DG.由证法1可知

图5

EG=DM.

因为DL∥EG，所以△DLM是等腰三角形，即

DL=DM=EG,

从而四边形GELD是平行四边形，于是

EN=ND.

证法5(利用三线合一模型和四点共圆模型)如图6，联结AM,AN.因为AB=AC，BM=CM，所以

AM⊥BC.

又MF⊥AB，知

∠AMF=∠ABC.

由于等腰△ABC的顶角与等腰△EAD的顶角相等，因此

∠AMF=∠ABC=∠ADN,

从而点A,N,M,D共圆，于是

∠AND=∠AMD=90°,

即

AN⊥ED，

故

EN=ND.

证法6(利用线段中垂线模型)如图7，在线段MB上找一个点G，使得MG=MD，联结AG,AM,EG.

易知AM是线段GD的中垂线，从而

AE=AG=AD.

易证

△AEB≌△ADC≌△AGB，

于是

BE=BG，

因此AB是EG的中垂线.易得EG∥MN，又因为MG=MD，所以EN=ND.

证法7(利用三角形模型)如图8，延长BE,MN相交于点G.设BM=1，MD=k<1,则

图8

BG=BM=1，EG=MD=k.

由梅涅劳斯定理,得

即

故

EN=ND.

5 几点思考

数学模型是一类典型问题本质特征的抽象化的概括[1]，在解题过程中起着十分重要的作用.教师引导学生利用数学模型解中考题时，应做好以下3个方面的工作.

5.1 追根溯源问题，回归试题本源

中考试题往往是课本经典例题、习题的整合与升华[2]，因此，在解题时有必要对试题进行追根溯源.首先，让学生通过试题的溯源，了解该题的命题背景和它在教材中的出处，从而将陌生试题“熟悉化”；其次，让学生思考该题将教材中的例题、习题在哪些方面进行整合、改编和拓展，从而发现试题的创新之处；最后，让学生探索试题与教材中的相关例题、习题之间存在着什么样逻辑联系，从而回归试题本源.

在本文中，笔者先对试题进行问题溯源，结合图形，发现命题者是将等腰△ABC内的线段AD，绕顶点A顺时针旋转顶角的度数，从而出现另一个等腰△ADE和全等三角形中的“手拉手模型”的命题背景，而这个背景是教材中常见的例题和习题；然后研究试题与教材中的例题、习题之间的不同之处，发现试题的第2)小题本质上是“对特殊四边形AEBD，经过顶点A在AD的投影点M作AB的垂线MF，探索MF是否平分对角线ED”的问题，这是很多学生从来没有接触过的新问题，新问题考查学生的解题能力和数学素养；最后，研究新问题与教材的例题、习题之间的逻辑关系，发现教材的例题、习题是为了学生解决新问题设置了思维的台阶，起着探索解题思路的导向作用.

5.2 分析试题结构，构建数学模型

学生在解题过程中出现思维障碍，没有发现或构建出适当的数学模型，很大程度上是因为没有先对题目做必要的结构分析.题目的结构分析，一般是从题目的条件、结论和图形的结构入手.分析题目的条件，最重要的是从条件之间的关系或组合中探索数学模型；分析题目的结论，应该把结论与同它相关联的条件进行组合，从而挖掘出试题中隐含的数学模型；分析图形的结构，应从几何图形的“整体美”中提炼出数学模型.

比如，证法3的思路是将题目中的条件“∠ABE=∠ABD和MF⊥AB”进行整体考虑，只要过点E作BG⊥AB就得到“角平分线模型”和“A字模型”；证法5的思路是将题目的结论“EN=ND”与条件“AE=AD”进行组合，构造出“三线合一模型”和“四点共圆模型”；证法6的思路是从图形的对称入手，找到“作点D关于AM的对称点G”方法，从而构建出“线段中垂线模型”.

5.3 重视数学模型，生成自然解法

数学模型的学习是初中数学课程不可或缺的一部分，也是数学建模核心素养的集中体现[1].教师要立足于教材，重视教材中的数学模型，理解数学模型中的特征和核心要素.在解题教学过程中，教师要引导学生自觉地探索数学模型，生成自然解法，从而提升学生的解题能力和核心素养.

比如，在证法7中，笔者把“证明EN与ND相等”问题转化为“计算这两条线段的比值”问题，这样就把解题的视角转向为找“三角形模型”，自然而然地利用梅涅劳斯定理，简明快捷地计算出EN与ND的比值，从而证明“EN与ND相等”的结论，同时把学生“数学模型”“几何直观”“逻辑推理”和“数学运算”等数学核心素养的培养有机地融合.