浅析定积分微元法中微元的选取

张 锐，詹紫浪

（1.兰州城市学院 信息工程学院，甘肃兰州 730070；2.甘肃高师学报编辑部，甘肃兰州 730070）

1 微元法介绍

微元法是对定积分定义中分割、作积、求和、取极限四个步骤的进一步抽象和归纳，是一元函数微分和积分联合应用的成功典范，其方法具有一般性.即如果所求量U 符合下列条件[1]：

（1）U 是一个与变量的变化区间[a，b]有关的量；

（2）U 对于区间[a，b]有可加性；

（3）如果能找到U 在[a，b]的任一小区间[x，x+dx]上的部分量△U 的近似值

那么，所求量为

其中dU=f（x）dx 称为所求量U 的微元.

注：（1）△U ≈dU=f（x）dx 要求：△U 与微元f（x）dx 之差是dx 的高阶无穷小，即

（2）微元表达式f（x）dx 中dx 一定是1 次的（否则就不是定积分）.

以上两点要求在寻找微元时，涉及到（dx）2、（dx）3、…的项完全可以忽略.

总之，如果△U 与找出的微元f（x）dx 之差是dx的高阶无穷小，那么找出的微元就是正确的，否则就不是真正意义上的微元，需要重新寻找.

下面通过一些不同场合的面积、体积、侧面积的计算进行辨析.

2 平面图形的面积

求由直线x=a，x=b，y=0 及连续曲线y=f（x）≥0围成的图形面积S.

取面积微元dS=f（x）dx，即用高为f（x），宽为dx的矩形面积代替小曲边梯形的面积[2].

下面证明小曲边梯形ABFE 的面积△S 与微元f（x）dx（矩形ACFE 的面积）之差是dx 的高阶无穷小（如图1）.

图1 曲边梯形面积、旋转体体积微元示意图

如图1，易见曲边三角形ACB 的面积小于矩形ACBD 的面积，又f（x）连续，所以

所以，面积微元dS=f（x）dx 是正确的，所求面积

以下几种情况中假定f（x）在区间[a，b]上可导且导数不恒为0，这样总可以使f（x）在小区间[x，x+dx]上单调，便于叙述，不妨设f（x）在区间[x，x+dx]上递增、下凸（其余情况证明类似）.

3 旋转体的体积

（1）求由直线x=a，x=b，y=0 及曲线y=f（x）≥0 围成的图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积V.

取体积微元dV=π[f（x）]2dx，即用矩形ACFE 绕x 轴旋转一周形成的圆柱体的体积近似代替曲边梯形ABFE 绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积[3].

下面证明△V 与找出的微元π[f（x）]2dx 之差是dx 的高阶无穷小.

如图1，易见曲边梯形ABFE 绕x 轴旋转一周形成的旋转体的体积△V 小于矩形DBFE 绕x 轴旋转一周形成的旋转体体积π[f（x+dx）]2dx.这时

所以，取体积微元dV=π[f（x）]2dx 是正确的，所求体积为

（2）求由直线x=a，x=b，y=0 及曲线y=f（x）≥0 围成的图形绕y 轴旋转一周形成的旋转体的体积V.

如图1，用矩形ACFE 绕y 轴旋转一周形成的环形柱体的体积近似代替曲边梯形ABFE 绕y 轴旋转一周形成的旋转体的体积△V[4]，即

取体积微元dV=2πxf（x）dx，下面证明△V 与找出的微元2πxf（x）dx 之差是dx 的高阶无穷小.

如图1，由于曲边梯形ABFE 绕y 轴旋转一周形成的旋转体的体积△V 小于矩形DBFE 绕y 轴旋转一周形成的旋转体的体积，即

4 旋转体的侧面积

求由直线x=a，x=b，y=0 及曲线y=f（x）≥0 围成的图形绕x 轴旋转一周形成的旋转体的侧面积S.

如图2，考虑用矩形ACFE 绕x 轴旋转一周形成的圆柱体的侧面积2πf（x）dx 作为面积微元代替曲边梯形ABFE 绕x 轴旋转一周形成的旋转体的侧面积△S.

图2 旋转体侧面积微元示意图

由于曲线段AB 的长度总大于直线段AB 的长度，所以它们各自绕x 轴旋转一周形成的旋转体的侧面积也有相应的大小关系.而直线段AB 绕x 轴旋转一周形成的圆台体的侧面积为

因此，用2πf（x）dx 作为面积微元是不正确的.

如图2，现在用直边梯形ABFE 绕x 轴旋转一周形成的圆台体的侧面积

代替曲边梯形ABFE 绕x 轴旋转一周形成的旋转体的侧面积△S[5].过A 点作曲线y=f（x）的切线AP，过B 点作曲线y=f（x）的切线交AP 于Q（这可以保证Q在曲线弧AB 下方，且在RT△ACB 内部）[6].易见，曲线弧AB 旋转所形成的侧面积△S 小于折线AQB 旋转所形成的侧面积.又线段AQ 绕x 轴旋转一周形成的圆台体的侧面积小于以AQ 长为母线，以QG长为底面半径的圆柱体侧面积；线段QB 绕x 轴旋转一周形成的圆台体的侧面积小于以QB 长为母线，以BF 长为底面半径的圆柱体侧面积，即

因此旋转体侧面积的微元可取为

所以旋转体侧面积

通过以上例子对定积分的微元法中微元的取法做了详尽地分析，着重阐述了微元满足的条件：△U与微元f（x）dx 之差是dx 的高阶无穷小，即

这为建立微元提出了硬性要求.