形成整体认知的抛物线教学

李 昌

(1.南京师范大学灌云附属中学，江苏 灌云 222200；2.江苏省高中数学名师工作室，江苏 常州 213000)

抛物线在不同教学时段有不同的代数形式和几何性质.它在初中是二次函数的图像，在高中则是一种圆锥曲线，多样化的表征容易导致学生的认知产生割裂，因此高中抛物线教学应考量如何促进学生整体认知的形成.所谓整体认知，是指学生超越知识的具体内容，对知识有整体性和结构性的认识，能理清知识发展线索、提炼核心概念、领悟内隐的思想方法[1].整体认知对于知识的理解、观念的形成十分重要，对于思维深刻性和灵活性的提升也具有明显的促进作用.以下是笔者的教学实践和感悟，期待批评指正.

1 自然呈现焦点准线，实现抛物线概念的整体认知

对抛物线概念的教学，不少教师以生活情境中的抛物线型建筑为概念原型，用信息技术动态演示生成抛物线的过程，归纳抽象形成抛物线的轨迹定义.这样教学的缺憾在于焦点、准线像是从天而降显得突兀，不能自然形成三者间的意义联结，容易导致概念提取不顺畅.

教育取向的数学史研究指出，教学中的问题可以在数学史中找到答案.有关史实表明，抛物线焦点的发现是制造取火镜的需求促使的.因此生活中的太阳灶可以成为抛物线的概念原型，利用太阳灶的光学性质自然引出相关概念：反射光线的汇聚点即为焦点、虚像点的运动轨迹即为准线、由发光点与虚像点的对称性得到等距关系，从而使抛物线概念整体生成.教学片段如下[2].

先呈现抛物线型太阳灶图片，阐释工作原理：平行于对称轴的太阳光经反射后汇聚于一点，此即焦点.由光的可逆性知，焦点处发出的光线经抛物面反射后成为平行光.由此设想，放置在焦点处的点光源发出一条光线射到点P1，经反射后进入眼睛，由光的直线传播，人眼看到的“发光点”在F1处(如图1)，由反射定律知F1是F的虚像，二者关于反射面对称，因此P1F=P1F1；若眼睛上下移动(如图2)，另一条反射光线进入人眼，由此看到“发光点”在F2处.因此，人眼在移动过程中将看到一条“发光”的直线l即抛物线的准线，实际上是焦点的虚像.眼睛的上下移动等同于入射点在抛物线上的运动，从而抛物线可以看成是入射点到定点F的距离与它到定直线l的距离相等时的轨迹，其中F∉l.

图1 图2

教后感悟焦点和准线是抛物线概念的重要组成部分.在大纲版教材中，抛物线编排在椭圆和双曲线第二定义之后，实现了准线概念的自然过渡.在新课程标准中，教学内容的调整以及编排顺序的改变，使得抛物线概念的教学面临新的困境.因此，在教学时，需从学科整体视角审视教学内容，从数学史中探寻知识源流，做出恰当的教学设计，保护概念的完整性不被破坏，才能实现概念的自然引出和学生整体认知的形成.

2 揭示离心率的数学本质，理解圆锥曲线的统一性

由于无法通过类比椭圆和双曲线的第一定义得到抛物线的定义，因此学生对圆锥曲线统一性的认识停留在起源相同、性质相似、研究方法一致等感性层面.为提升学生对统一性的认识，笔者以抛物线离心率为线索，通过对代数结构的同化获得相同的几何意义，促进学生理解圆锥曲线内在的统一性.教学片段如下：

师：写出推导椭圆和双曲线标准方程过程中第一次平方、化简后的方程.

师：用同一个方程来表示它们.

师：结合椭圆(双曲线)的定义，方程中距离和运算有什么变化？

生(众)：动点到左焦点的距离消失了，距离的和(差)也随之消失.

师：很好！能将方程的右端看成距离或者是与距离有关的表达式吗？

思索讨论一分钟后，有学生发言.

师：非常棒!“消失的距离”改头换面再次出现！能再现“消失的运算”吗？

师：请说说这个方程的几何意义.

生3：抛物线是到定点的距离与到定直线的距离的比等于1的动点轨迹.

生4：抛物线的离心率应该等于1.

师：的确如此！再结合椭圆和双曲线离心率的取值范围，有何发现？

生5：离心率e与1的大小关系成了区分圆锥曲线类别的标准.

教后感悟重组基础知识、同化代数结构、敞亮数学思想是构建整体教学内容的有效途径，其中重组知识是一种显性整合，同化结构是洞察知识的内在联系，敞亮思想是抓住贯穿于知识中的思想方法[3].把抛物线的离心率重组到圆锥曲线统一定义的内容之中，既符合逻辑也是教学的需要，因为圆锥曲线的轨迹定义和性质都是由“圆锥截线定义”发展而来的，并且它们之间没有逻辑上的先后之分；在现行的教材中，椭圆和双曲线的第二定义都作为性质以例题形式出现在教学中.同化离心率的代数结构，使3类圆锥曲线上下贯通、左右相连成为一个意义整体，学生的认知由离心率这条线索逐渐攀升.围绕“距离”和“运算”的消融、再现而进行代数变形，让学生看到数形结合的路径和形式，感受到数学思想方法真实可见.

3 在运算演绎中，体验以形导数提升思维的灵活性

探究与发现证明：二次函数y=ax2+bx+c的图像是抛物线.

生1：将解析式变形为x2=4y，即抛物线的标准方程，得到其图像是抛物线.

师：的确！但这种外在的形式变换隐藏着一定的逻辑关系，有点像魔术让人看不明白.若在变形中能显示焦点、准线以及动点到焦点与到准线的等距关系，则符合定义易于理解.

学生疑惑，继续启发:抛物线的本质特征是动点到定点和到定直线的等距性，可先变换出动点到定点的距离，再比对距离公式，看看解析式中哪些代数结构与之接近.

生2：去分母得4y=x2，把x2看成(x-0)2，与距离公式相近.

生3：再将4y变形为4y=(y+1)2-(y-1)2，移项、开方，得

即得抛物线的定义，焦点为(0,1)，准线是y=-1.

师：很好！将二次项系数一般化，即函数y=ax2(其中a≠0)呢？

生4：把y=ax2变形为

移项、开方，得

师：这样变形的依据是什么？

师：更一般的情形，二次函数y=ax2+bx+c(其中a≠0)呢？

生5(思考后)：先配方成为与y=ax2类似的形式，即

再变成

移项、开方，得

师：厉害！用整体代换实现了对一般情形的演绎证明.变形过程中以形导数的运算途径和结构相同的整体代换，都有重要的参考价值.当然，变形的过程很艰难，还有其他的途径吗？请仔细阅读教材，看看专家的想法，再谈谈自己的感受.

(下略.)

教后感悟数学教学的目的之一是通过教思想、教方法从而教会学生思考、会用所学的方法去解决问题.采用符合认知习惯的证法，易于学生接纳理解,从形式上看虽显笨拙，但始终围绕变出“两个距离”“距离的运算”等几何要素进行运算演绎，这种以形导数的思想方法是解析几何颠扑不破的真理，应让学生体验到它的价值和作用.学生经历烦琐的运算演绎再欣赏巧妙的类属性推理，体验数学思维的灵活与巧妙、感受思考的智慧和力量，这恰如陈省身先生所言“数学是自己思考的产物.首先要自己思考起来，用自己的见解和别人的交换会有很好的效果”.

4 结语

美国教育家布鲁纳认为：学习一门科学就是掌握这门科学的结构.这就要求教师在讲授分散性较明显的知识时，须从更高的视角审视教学内容，把握数学本质，既从数学内部又要在不同学科之间寻找联系，才能有效组织教学.正如克莱因所言：“教师掌握的知识要比他所教的多得多，才能引导学生绕过悬崖，渡过险滩.”唯有此，学生才能避免“只见树木不见森林”，获得整体认知.