初中数学：数学建模背后的模型教学意蕴

万霞

[摘  要] 数学学科核心素养中的数学建模与核心素养所强调的关键能力之间存在着一些需要厘清的关系. 数学教师有一个重要的任务，那就是运用数学建模思想去认识并把握模型教学的意蕴. 数学建模的落地与数学建模是一个结果与过程的关系，认识到这种关系的存在，那么数学教师在教学中应当有模型教学的思路. 考虑到数学建模过程的复杂性，模型教学应当是一个以数学建模要素引领、以学生体验为主的数学建模过程. 模型教学对于学生的意义分为宏观与微观两个层面：从宏观层面上来看，模型教学能够更加充分地凸显学生的主体性;从微观层面上来看，模型教学能够将数学要素更加完整地体现出来，学生所经历的学习过程也就是数学思想方法更加充分运用以及数学思维更加充分激活的过程.

[关键词] 初中数学;数学建模;模型教学

当数学学科核心素养明确数学建模是其组成要素之一后，数学教师一般不会感觉意外，这是因为在数学教学中，历来就有重视数学建模的传统. 但是将数学学科核心素养与核心素养结合起来看，在认识到后者是前者的上位概念的同时，还应当认识到数学学科核心素养中的数学建模与核心素养所强调的关键能力之间存在着一些需要厘清的关系. 数学教师只有厘清这种关系，才能把握数学建模的精髓，才能认识到数学建模背后有一个重要的意蕴，那就是模型教学.

在传统的初中数学中，模型教学是教师普遍采用的一种教学方法（这在客观上说明模型教学其实是可以作为教学方式方法存在的），这种方法可以让学生更好地理解数学知识之间的关系，更好地掌握数学知识，提高数学思维能力. 更有一线的实践者总结出了教师在实施模型教学时应注重的几个地方，即数学语言的转换，构建数学知识结构，感悟数学模型与实际的关系，强调要讲清模型特点并且让学生体会从多角度思考问题，同时也强调教师在实施模型教学时应该抓住数学教学的核心内容，不可让学生生搬硬套，偏离数学本质. 将这样的观点放置在核心素养的视角下，笔者以为数学教师有一个重要的任务，那就是运用数学建模的思想去认识并把握模型教学的意蕴.

数学建模的落地依赖模型教学

所谓数学建模，说得通俗一点就是建立数学模型. 当然在建立数学模型的过程中，还涉及其他一些要素，比如数学抽象，且必然涉及一些数学思想方法的运用，除此之外，还涉及数学语言的理解与运用. 因此数学建模实际上是一个综合性非常强的过程. 要想将数学建模在教学中变成实际，首先依赖的就是模型教学. 如果教师不能给学生设计一个数学建模要素相对齐全的学习过程，那么学生自然就无法经历一个数学建模的过程，数学建模作为数学学科核心素养要素之一，也就不可能真正落地.

数学建模的落地与数学建模是一个结果与过程的关系，认识到这种关系的存在，那么数学教师在教学中就应当有模型教学的思路. 考虑到数学建模过程的复杂性，模型教学应当是一个以数学建模要素引领、以学生体验为主的数学建模过程. 与此同时，教师还要认识到初中数学已经日益重视培养学生的创新能力和应用能力，这种能力也可以理解为核心能力. 而基于这些能力培养的需要，数学建模也可以成为一种很好的学习方法. 通过数学建模将生活中的案例转变成具体的数学问题，然后建立相应的数学模型以解决实际问题，这就可以很好地培养学生的思维能力.

应当说数学建模的落地过程，是一个日积月累的过程，在选择不同的知识点进行数学模型教学时，教师可以侧重通过数学建模过程中的不同重点来优化学生数学建模过程中的重要环节. 这样的一个过程，本质上也是模型教学设计与实施的过程，而在这个过程中存在的逻辑关系客观上也证实了数学建模的落地必然依赖模型教学.

从数学建模思想到模型教学实践

在核心素养的视角下，理解数学建模在数学教学中的地位，可以从两个层面进行：从数学思想方法的角度来看，模型思想是《义务教育数学课程标准（2011年版）》中的核心理念之一，其作为一种基本思想，与数学教学的目标、内容密切相关. 因此作为初中数学教师，必须准确把握课程标准对模型思想的要求，并且落实到课堂教学之中. 从教学方法与策略的角度來看，模型教学是借助具体的数学概念或规律（从广义的数学建模概念的角度来看，数学概念与规律的教学，本质上也属于数学建模的教学）而生成知识体系的过程，先让学生体验数学思想方法的运用，然后让学生用数学语言去概括数学现象或规律，进而形成一种模型化认识的过程. 有了这两个层面的理解，那么在具体的教学过程中就可以走出一条从数学建模思想到模型教学的实践过程.

例如，“一元一次方程”在初中数学知识体系中，具有重要的基础性地位. 当学生掌握了一元一次方程的精髓后，就会发现其是解决很多生活问题与数学问题的基本工具;当学生遇到相关问题，大脑就会下意识地想到一元一次方程，这实际上就是一种模型化的存在. 因此可以将一元一次方程的教学，设计成一个模型教学的过程. 具体来说，应当有这样几个环节：

第一环节：借助生活问题，引导学生进行数学抽象.

比如：甲乙两人同时从同一地点沿同一路径出发，甲的速度是每小时7千米，乙的速度是每小时6千米. 如果甲比乙早一个小时经过某地，那么出发点距离该地的路程是多少？

这既是一个生活问题，又是一个数学问题. 部分学生在解决这个问题时，最先想到的是算术方法，尽管这个方法比方程来得复杂，但是教师完全可以让学生先用算术方法解决这个问题，再与运用方程解决问题的过程相比较. 在比较过程中，学生就容易发现方程的优越性. 而运用方程解决问题时，学生基于原有的经验会设所求路程为x千米，然后借助“时间等于路程除以速度”这样一个关系，得出-=1以求解.

第二环节：反思解决问题的过程，认识方程在解决问题过程中的价值.

反思可以在比较的过程中进行，比较的对象就是算术方法与方程方法. 通过比较，学生会认识到在类似的问题中，如果设出一个未知数，再借助一个等量关系，就可以较顺利地解决问题. 而且这种解决问题的方法往往更加“合理”（这是学生判断时的原话）. 学生的话，反映出他们更加认同运用方程解决问题这一思路，也反映出他们认识到了方程在解决问题的过程中体现的价值.

第三环节：通过变式训练，强化学生对一元一次方程的模型认识.

变式训练主要指对不同问题的解决，初中学生依据自己的判断比较能力，能够在解决不同问题的过程中，强化对一元一次方程的认识. 这种认识有可能使得学生将一元一次方程当成解决类似问题的基本工具. 从“实际问题”到“设未知数”，再到“列方程”，也就容易成为一种相对固定的思路，这种“固定”就是直觉，就是模型化的体现.

模型教学实现数学建模思想落地

在上述例子中，学生的学习过程是比较顺畅的. 从问题的提出到问题的解决，学生经历了数学抽象、逻辑推理等过程. 数学抽象主要体现在实际问题数学化的过程中，逻辑推理则主要体现在运用未知数列方程并对方程进行求解的过程中. 尤其是在学生总结出解决类似问题的基本模式后，再用数学语言描述出这样的过程，这实际上就是一个一元一次方程的模型得以成型的过程. 因此这是一个数学建模要素比较齐全的模型教学.

模型教学对学生的意义分为宏观与微观两个层面：从宏观层面上来看，建模教学能够更加充分地发挥学生的主体性，可以让学生走出机械的数学知识学习与解题的窠臼，从而更加准确地把握数学学科的本质，这奠定了数学学科核心素养落地的基础;从微观层面上来看，模型教学能够将数学要素更加完整地体现出来，学生所经历的学习过程也就是数学思想方法更加充分运用以及数学思维充分激活的过程. 很多容易模糊的认识在这样的模型教学中都会变得更加清晰——这尤其体现在数学语言的运用上. 作为数学建模的临门一脚，学生能否用准确的数学语言来概括自己的发现，从而让模型变得准确、精炼，这是数学模型教学质量的一个重要评价因素.

著名数学家华罗庚曾经指出：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学.”数学教学的成功，很大程度上取决于学生对数学的感知，而这又决定于教师提供给学生的学习过程. 由此来看，初中数学教师在把握数学建模思想的基础上，立足模型教学，可以为核心素养的培育探寻出一条有效的路径.