聚焦圆锥曲线“三定”问题

徐春生

圆锥曲线“三定”问题是指“定点问题、定直线的方程问题和定值问题”。这类试题是高考命题的热点，其难度较大，常以解答题的形式出现，考查了数学运算、逻辑推理的数学核心素养和数形结合、转化与化归的数学思想。

一、定点问题

1.直线过定点问题

（1）求椭圆C的方程。

（2）设M为椭圆C的左顶点，A，B是椭圆C上两个不同的点，直线MA，MB的倾斜设直线MA，MB的斜率分别为k1，k2，则k1k2=1。

点评：解决动直线L过定，点问题的思路：

设动直线L的方程（斜率存在）为y=kx+t，由题设条件将t用k表示为t=mk，得y=k（x+m），故动直线L过定，点（-m，0）。

2.曲线过定点问题

例2已知抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1）。

（1）求抛物线C的方程及其准线方程。

（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=-1分别交直线OM，ON于点A和点B。求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点。

解析：（1）由抛物线C：x2=-2py经过点（2，-1），解得p=2。

所以抛物线C的方程为x2=-4y，其准线方程为y=1。

（2）抛物线C的焦点为F（0，-1），设直线L的方程为y=kx-1（k≠0）。

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点（0，1）和（0，-3）。

点评：本题抓住圆的几何特征“直径所对的圆周角为90”，巧用向量DA·DB=0求得定，点坐标，学习中应体会向量解题的工具性。

二、定直线的方程问题

例3已知抛物线C：x2=2py（p》0）

的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，AB|=8。

（1）求抛物线C的方程。

（2）过点D（1，2）的直线L交抛物线C于点M，N，点Q为MN的中点，QR⊥x轴交抛物线C于点R，且QR=RT。证明：动点T在定直线上。

解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2）。

则x1+x2=2卫，y1+y2=x1+x2+卫=3卫。

所以|AB|=y1+y2+p=4p=8，解得=2。

因此，拋物线C的方程为x2=4y。

（2）方法-：易知直线L的斜率存在，设

的方程为y=k（x-1）+2，Q（xo，y0），因为2k-2（k-2）-4=0，所以动点T在定直线x-2y-4=0上。

设Q（x，y5），则直线MN的斜率k=

所以动点T在定直线x-2y-4=0上。点评：本题第二问给出了探求圆锥曲线中的定直线问题的两种方法：方法一是参数法，先利用题设条件探究出动点T的坐标（包含参数），再消去参数，即得动点T在定直线上;方法二是相关，点法，即先设出动，点T的坐标为（x，y），根据题设条件得到已知曲线上的动点R的坐标，再将动，点R的坐标代入已知的曲线方程，即得动，点T在定直线上。

三、定值问题

例4在平面直角坐标系xOy中，已

（2）试探究△POQ的面积S是否为定值，并说明理由。

解析：（1）因为k1，k2均存在，所以x1x2≠0。

综合①②可知，△POQ的面积S为定值1。

点评：圆锥曲线中的定值问题的常见类型：（1）证明代数式为定值，依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值;（2）证明，点到直线的距离为定值，利用，点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得;（3）证明某线段长度为定值，利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形求得。

（责任编辑 徐利杰）