近几年高考双曲线热点聚焦及本质回归

肖斌

双曲线是圆锥曲线的重要组成部分，是每-年高考的必考内容。由于它难度极大，许多知识点又与椭圆类似，因此，多年来各地高考试卷中的双曲线题目趋向于常规、中低档，且多以-道分值5分的小题出现，几乎不见大题踪影。其相关小题的热门考点也主要聚焦于双曲线的定义、标准方程、几何性质等主干知识，尤其以渐近线、离心率等几何性质的“出镜率”最高。

值得注意的是，2021年全国新高考适应性考试（即八省联考）和全国新高考I卷一改多年来椭圆、抛物线解答题“独霸高考”的格局，相继罕见地以双曲线为载体命制成次压轴题，其情境新颖、创新程度高，在高考解析几何本已平静多年的“湖面”掀起阵阵“涟漪”。细细揣摩，我们不难感受这两道题目在考查同学们解析几何的关键能力和数学核心素养上的良好评价功能，不难领会高考命题专家锐意改革的大胆步伐与良苦用心。事实上，双曲线问题的处理方法与椭圆“如出-辙”，同学们即使对双曲线大题缺少拔高训练，也完全可以凭借自己对椭圆问题的基本收获及对新知的感悟能力，灵活地将解题方法“迁移”到相对“陌生”、却-脉相承的双曲线综合大题之中，此举有利于引导大家改变以大量刷题、盲目押题拿高分的固有“套路”与“沉疴”。鉴于此，我们有必要在基于核心素养的全新视域下，变被动为主动，强化双曲线模块的系统化、规律化学习，力求弥补长期以来对其学而不清、触而不精的“短板”，在全、透、新、活上强势应对。现就近年来高考双曲线热门考点及本质回归进行逐一梳理与深刻解读，旨在为同学们释疑解惑、指点迷津。

热点聚焦-双曲线的定义问题

平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|FF2|）的点的轨迹叫作双曲线，这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距。双曲线的定义既可顺用，当作判定定理;也可逆用，当作性质定理。应特别注意正确使用定义，即若|IMF1|-IMF2||=2a，|F1F2|=2c，其中a，c为常数且a》0，c》0，当2a《|F，F2时，M点的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线;当2a=|F1F2|时，M点的轨迹是以F1、F2为端点向外的两条射线;当2a》F，F2时，M点不存在。

命题方向1利用定义求焦半径

例1（2021年四川省巴中中学高二

命题方向2利用定义解决焦点三角形问题

例2（2020年全国I卷文数第11

本质回归：在焦，点三角形中，常利用双曲线的定义、正弦定理、余弦定理及平方法建立焦半径|PF，|与|PF，|的乘积关系。双曲线与椭圆的一些规律极其类以，务必用类比的方法学好。已知F1（-c，0）、F2（c，0）分别为

命题方向3

利用定义求解折线段的最

值或范围问题

例3

（2015年全国I卷文数第16题）

本质回归：圆锥曲线中折线段的最值问

题，一般是先通过圆锥曲线的定义和圆锥曲线的对称性将折线中的和或差变为直线段，然后利用“两点间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”等平面几何知识找到取得最值的临界条件，并求出最值。

命题方向4以双曲线的第二定义、第三定义为背景的问题

将人教A版高中数学选修2-1中P59

例5、P62B组第3题引申拓展就得到双曲线的第二定义，即在平面内，点M（x，y）与定点义，可以得到双曲线的焦半径公式，但此公式太复杂，现行教材与高考不要求记忆，只需了解背景即可，不宜盲目拔高。

相比之下，双曲线的第三定义在教材中多处渗透，在高考题中时时考查，同学们务必熟练掌握。

例4（2020届高三全国卷第一次在

关于原点对称的两点，点M是双曲线上异于点A，B的动点，直线MA，MB的斜率均存在且分别为k1，k2，若k1∈[1，2]，则k2的取值范围为（）。

解析：（解法一，代入法）根据对称性，可设A（x1y1），B（-x1，-y1），再设M（xoy0）。

本质回归：将人教A版高中数学选修2-1中P55探究题、P80A组第10题引申拓展即得双曲线第三定义：一般地，与两个定点A（-a，0），B（a，0）连线的斜率之积等于定常把它们都称之为“双曲线第三定义”，前者可当作双曲线的判定定理使用，后者可当作双曲线的性质使用。更一般地，“双曲线第三定义”当作性质使用时，还可以拓展为：已知e，点A，B是双曲线上关于原点对称的两点，

点M是双曲线上异于，点A，B的动，点，若直

热点聚焦二双曲线的标准方程或轨迹方程

命题方向1双曲线标准方程中焦点位置的识别

例5（2020年新高考全国I卷第9题，多选题）已知曲线C：mx2+ny2=1，则（）。

A.若m》n》0，则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若m=n》0，则C是圆，其半径为n

C.若mn《0，则C是双曲线，其渐近线

D.若m=0，n》0，则C是两条直线

平行于x轴的两条直线，故D正确。

综上，选ACD。

本质回归：在椭圆的标准方程中，看x2项与y2项的分母的大小，若x2项的分母大，则焦，点在x轴上;若y项的分母大，则焦，点在y轴上。在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2項的系数为正，则焦，点在x轴上;若y2项的系数为正，则焦点在y轴上。可编成顺口溜便于分辨与巧记：椭圆分母看大小，焦点跟着大的跑;双曲线分母看正负，焦，点跟着正的去。本题的原

型是人教A版选修2-1中P80第4题，当α从0°到180°变化时，方程x2+y'cosa=1表示的曲线的形状怎样变化？

命题方向2待定系数法求标准方程例6若双曲线的渐近线方程为y=

解得入=32或入=0（舍去）。

本质回归：①用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦，点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定α2，b2的值，即“先定位，再定量”。焦，点位置不能确定

命题方向3定义法求轨迹方程

例8（2020年高考浙江卷第8题）已知点O（0，0），A（-2，0），B（2，0），设点P满足|PA|-|PB|=2，且P为函数y=3/4-x2图像上的点，则|OP|=（）。

解析：由双曲线的定义可知，点P（x，y）

在以A，B为焦点的双曲线的右支上。

因为2a=2，c=2，所以a=1，b2=c2-a2=3。

命题方向4韦达定理法、点差法求轨迹方程

例9（2010年全国卷理数第12题）

已知双曲线E的中心为原点，F（3，0）是双曲线E的焦点，过点F的直线L与双曲线E相交于A、B两点。若AB的中点坐标为N（-12，-15），则双曲线E的方程为（）。

本质回归：处理有关中点弦（或弦中，点）问题时，用“点差法”比用韦达定理法更快捷，解法步骤可概括为：设，点，代入，作差，变形。

=1（α》0，b》0）的任意一条不过原，点且与坐标轴不垂直的弦，O为双曲线的中心，e为双曲线的离心率，N为弦AB的中，点，则AB·

斜率性质”，它与“双曲线第三定义”规律相通，一脉相承。巧用该性质，可秒杀本题：因

热点聚焦三双曲线的几何性质

命题方向1渐近线问题

在圆维曲线中，渐近线方程是双曲线独有的几何性质，因此，考查渐近线-直是双曲线高考命题的“重头戏”。

（1）求渐近线方程。例10

（2021年全国新高考Ⅱ卷第13

心率為2，则该双曲线的渐近线方程为

本质回归：双曲线的渐近线的斜率与

（2）以渐近线为载体考查其他几何性质。

例11（2020年安徽省黄山市模拟

近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率e的取值范围是

命题方向2求双曲线的顶点、焦点（距）、实（虚）轴长等基本量

例12

（2021年全国乙卷理数第13

例13

（2020年全国Ⅱ卷文数第9题）设O为坐标原点，直线x=α与双曲线

解析：不妨设D在上，E在下。易得曲线C的渐近线方程是y=-x。

（a》0，b》0）的顶点（±a，0）作垂直于实轴的直线L交双曲线的两条渐近线分别于A、B两，点，则线段AB的长等于虚轴之长，即AB=2b。

命题方向3求双曲线离心率的值或取值范围

（1）利用定义或变通式求离心率。

例14（2019年全国I卷文数第10

本质回归：求双曲线离心率的方法灵活多样：（l）已知a，c，直接用定义e=C求解;

求解;（4）若已知a，b，c的齐次方程（或不等式），常借助于b2=c2-α2消去b，转化为仅含a，c的方程（或不等式）求解。

（2）利用平面几何知识求离心率。

例15（2019年全国I卷理数第16

在Rt△F1BF2中，由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的-半”知OB=OF1。

在等腰△F，OB中，由等腰三角形“三线合一”性质知∠AOB=∠AOF1。

又OA与OB都是渐近线，得∠BOF2-∠AOF1。

由∠BOF2+∠AOB+∠AOF1=180°，得∠BOF2=∠AOF1=∠BOA=60°。

本质回归：本题用到三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的-半、等腰三角形“三线合-”等众多平面几何性质及双曲线的离心率与渐近线斜率的重要关系，其解法简洁美妙，耐人寻味。

（3）利用解析几何知识求离心率。

例16（2019年全国Ⅱ卷理数第11

（4）利用三角知识求离心率。

例17（2021年全国甲卷理数第5题）已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为双曲线C上一点，且∠F，PF2=60°，|PF1=3|PF2|，则双曲线C的离心率为

本质回归：在焦点三角形中，常利用圆锥曲线的定义及正弦定理、余弦定理及求离心率。常用到下面二级结论：已知F1（-C，0），

（5）求离心率的最值或取值范围。

例18（2021年全国甲卷理数第5题

由“三角形任意两边之和大于第三边”，故总有|PF1+|PF2≥F，F2。

设双曲线的半焦距为c，则4α≥2c，所以

（6）已知离心率求参数。

例19（2020年贵州思南中学月考

命题方向4双曲线的几何性质与其他圆锥曲线知识的结合问题

例20（2021年高考天津卷第8题）

解析：设双曲线的半焦距为c，则其右焦点为（c，0）。先统-用a，b，c表示出|CD|和|AB|，然后转化成α，c间的关系求出双曲线的离心率e。

由题意知，抛物线的准线方程为x=（α》0，b》0）的焦，点（±c，0）作垂直于实轴的直线1，若1交双曲线分别于A、B两点，则AB1=2

（此时焦，点弦AB称作通径，通径是同支中最短的焦，点弦;此外，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a）。若L交双曲线的

热点聚焦四

双曲线综合性解答题

例21（2021年新高考I卷第21题）

故直线AB与直线PQ的斜率之和为0。

本质回归：人教A版选修4-4中P38

例4对椭圆的相交弦定理作了介绍，即经过骑圆+，=1（a》b》0）内的点M引两弦AB、CD，若这两条相交弦的斜率均不为零且互为相反数，则各弦被，点M所分成的两线段的乘积相等，即|MA|·|MB|=|MC·MD，且两条弦的四个端，点A、B、C、D四点共圆。双曲线、抛物线也有类以性质。近年来，高考和模拟卷中的解析几何试题涉及的数学文化内容主要有：圆锥曲线的第二定义、第三定义，圆幂定理在圆锥曲线中的类比迁移以及蝴蝶定理，阿波罗尼斯圆，蒙日圆，卡西尼卵形线等，同学们需拓展视野，加深了解。

（责任编辑 徐利杰）