巧用抛物线定关妙辑题

刘少英

平面内与一个定点F和一条定直线1的距离相等的点的轨迹叫作抛物线。定点F

叫作抛物线的焦点，定直线L叫作抛物线的准线。抛物线的定义是解决有关抛物线问题的重要工具。同学们巧用抛物线的定义解题时，应该“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，可以化難为易，使思路简捷，运算简便，提高解题的速度和解题的正确率，提升解题的质量。

一、求参数问题

例1已知抛物线x2=4y上的一点M到焦点的距离为5，求点M的纵坐标。

分析：利用抛物线的定义，把点M到焦点的距离转化为点M到准线的距离求解。

解：抛物线x2=4y的焦点是F（0，1），准线L的方程是y=-1。设点M的纵坐标为yM，作MN⊥L于点N，则yN=-1。

由抛物线定义和题意，得|MN|=|MF=5。

因为MN⊥I，所以|MN|=|yM-yNI=|yM-（-1）|=|yM+1|=5。

由抛物线x2=4y，得yM》0。

故yM+1=5，yM=4，点M的纵坐标是4。点评：本题也可以列出方程组求解，但是应用抛物线的定义解题，运算比较简易。

练习1：若抛物线y=4px上的点M到焦点F的距离为3，且xM=2，求p的值。

解：抛物线y2=4px的准线1的方程是x=-p，根据抛物线的定义，可得点M到焦点F的距离等于点M到准线L的距离。于是2-（-饣）=|MF|=3，解得卫=1。

二、求最值问题

例2已知点P在焦点为F的抛物线x2=4y上，点A（-2，6），求（|PA|+PF）mino

分析：PF等于点P到抛物线的准线L的距离d，于是（|PA|+|PF|）mim=（|PA|+d）min。

解：过抛物线x2=4y上点P作其准线I：y=-1的垂线，垂足为M，则yM=-1。

把点A（-2，6）的横坐标x=-2代入抛物线方程x2=4y，得y=1。

因为y4=6》1，所以点A在抛物线的内部。

由抛物线定义知，|PA+PF=IPA+IPM。

由三角形的三边关系，得当PA1时，即点A，P，M三点共线时，|PA+PM最小，且|PA|+|PM|=|AM|。

因|AM|=|yA-yM|=|6-（-1）|=7，故（|PA|+|PF|）min=7。

点评：此题是求距离之和的最值问题，采用函数的最值法难以得解，而利用抛物线定义，通过数形结合和三角形的三边关系求解，思路清晰，运算简易。

练习2：已知点P（3，2）在抛物线y=4x的内部，F是抛物线的焦点，在抛物线上求一点M，使|MP|+|MF|最小，并求此最小值。

解：过M作准线L的垂线，垂足为A。

则由抛物线的定义知MF=MA。

故|MP|+IMF|=|MP|+IMA。

显然当P，M，A三点共线时，|MP|+|MF|最小，此时，M点的坐标为（1，2）。故|MP|+|MF的最小值为4。

三、求面积问题

例3过抛物线y2=4x上一点P作其准线的垂线，垂足为A，设抛物线的焦点为F，且|PF|=9，求△APF的面积。

分析：由抛物线的定义得，点P到焦点F的距离|PF|等于点P到准线的距离|PA|。

解：设P（年）。

因抛物线y2=4x的准线是x=-1，故IPF=1PA=+1=9，，=±4E。

所以S6：=2PA11=18/2。

点评：本题可以列出方程组求解，但是用抛物线的定义求解，运算更加简捷。

练习3：已知抛物线y2=2x（p》0）的焦点为F，准线方程是x=-1。设点M在此抛物线上，且|MF|=3，若O为坐标原点，则△OFM的面积为

解：抛物线的准线方程为x=-1，则焦点为F（1，0），p=2，抛物线方程为y2=4x。

|MF|=xM+1=3，xM=2，所以yM=4xM=8，|yM|=2/2。

SAcr-F-2.

四、求抛物线焦点弦长的问题

例4设直线AB过抛物线y2=4x的焦点F，且交抛物线于A，B两点，若弦AB的中点M的横坐标为3，求弦长|AB|的值。

分析：利用抛物线的定义和线段中点坐标的公式求解，思路巧妙简捷，运算量少。

解：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2xM=2X3=6。

抛物线y2=4x的准线是1：x=-1，过点A作AP⊥L于点P，过点B作BQ⊥L于点Q，可得xp=-1，xQ=-1。

由定义得弦长|AB|=|AF|+IBF|=AP+BQ=x1-xP+x2-xQ=x1+x2+2=8。

点评：若用平面上两，点间的距离公式求|AB|，需设出直线AB的方程，与抛物线方程联立方程组求解，运算量较大，而用抛物线定义求解，思路简捷，运算简单。

练习4：过抛物线x2=4y的焦点作直线交抛物线于点A（x1，y1），B（x2，y2），若y1+y2=4，则弦长|AB|的值为。

解：由抛物线定义及题意，得|AB|=y1+y2+2=4+2=6。

五、求轨迹问题

例5已知动点M的坐标满足方程

5/x2+y2=|3x+4y-12|，则动点M的轨迹是

分析：由点到直线的距离公式和抛物线的定义，可直接判定动点M的轨迹为抛物线。

解：由题意得，x2+y23x+4y-12，即动点M（x，y）到直线/32+423x+4y-12=0的距离等于它到原点（0，0）的距离。

由抛物线定义可知：动点M的轨迹是以原点（0，0）为焦点，以直线3x+4y-12=0为准线的抛物线。

点评：这是非标准式的抛物线，若直接将方程两边平方后整理，不易分析轨迹类型，此解法体现出巧用抛物线定义的优越性。

练习5：设动点M满足方程5/（x-1）2+（y+1）2=|4x+3y-12|，求动点M的轨迹。

解：由点到直线的距离公式和抛物线的定义，可直接判定动点M的轨迹是以点（1，-1）为焦点，以直线4x+3y-12=0为准线的抛物线。

以上五个方面阐述了抛物线定义的应用，从这些例子中可以看出，在特定的条件下，巧用抛物线的定义解题，具有其特定的必要性和优越性。“回归定义”是数学解题最原始、最基本的方法，有时也是最有效、最巧妙的方法。在解决圆锥曲线问题时，特别要注意树立“用定义解题”的意识，许多圆锥曲线的问题具有几何意义，若能结合定义挖掘题中隐含的几何意义，常可巧妙快速解题。

（责任编辑 徐利杰）