求圆锥曲线最值（值域）常见函数“模型”的解法

杜海洋

有关圆锥曲线综合问题求最值或范围时，笔者发现当题目给出的条件和结论的几何特征不明显时，可以先建立目标函数，再求这个函数的最值或值域。目前常见的函数模型解决方法有：（1）配方法;（2）基本不等式法。下面举例说明这两种方法的运用，以飨读者！

方法一二次函数配方法

例1已知圆O：x2+y2=4，F，（-1，0），F2（1，0），点D为圆O上-动点，2F2D=F2E，点C在直线EF1上，且C币·EF2=0，记点C的轨迹为曲线W。

（1）求曲线W的方程;

（2）已知N（4，0），过点N作直线l1与曲线W交于A，B不同两点，线段AB的中垂线为l2，线段AB的中点为Q，记12与y轴的交点为M，求|MQ|的取值范围。

分析：（1）由题易知点D是F2E的中点，可得|CE|=|CF2|，即|CF1|+|CF2|=4为定值，可得C的轨迹为以（-1，0），（1，0）为焦点的椭圆。

（2）由题意设直线11的方程，联立椭圆，求得点N的坐标（注意考虑判别式），再得出直线12的方程，再求得点M的坐标，即可求得MQ的长度，求出其范围即可。

解：（1）（过程略）易得曲线W的方程为（2）由题意可知直线，的斜率存在，设l1：y=k（x-4），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）。

联立直线与椭圆方程，消去y得：（3+4k2）x2-32k2x+64k2-12=0。

点评：本题考查了轨迹方程的求法，以及取值范围的求法，熟悉直线与圆维曲线相交的解题步骤是解题的关键。以直线方程斜率k为参数是处理这类问题的常见思路，其中要注意以下几，点：（1）设出，点和直线的方程（考虑斜率是否存在）;（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式，其中涉及参数的范围），利用韦达定理;（3）转化为二次函数求结果;（4）计算时要细心。面积的最大值为/3，抛物线E：y2=2px（卫》0）与椭圆C有一个共同的焦点。

（1）求椭圆C和抛物线E的方程。

（2）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且OA·OB=5。

①求证直线AB必过定点，并求出定点M的坐标;

②过点M作AB的垂线与抛物线交于G，H两点，求四边形AGBH面积的最小值。

解析：（1）根据题意，已得椭圆C的方程则四边形AGBH的面积

方法二基本不等式法

例2已知点F是抛物线C1：y=4x

（1）求椭圆C2的方程;

（2）直线L与抛物线C1相切于点P（x。，yo），与椭圆C2交于A，B，点P关于x轴的对称点为Q，求S△AQ的最大值及相应的x0。

分析：（1）根据题意可得c=1，左焦點F1（-1，0），右焦点F（1，0），然后根据（2a-|MFI）2-|MF|2=|MFI2-（2-|MF|）2，及|MF|=3（2-1），求得a，b。

（2）假设直线1的方程为x=n（y-yo）+xo，根据直线1与抛物线相切，可得n

点评：本题对同学们的计算能力要求较高。解答此类题目，利用椭圆的定义和α，b，C的关系，确定椭圆方程是基础，通过联立直线方程与椭圆方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到面积的解析式，应用确定函数最值的方法如二次函数的性质、基本不等式求解。本题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错误百出。本题能较好地考查同学们的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题与解决问题的能力。

变式训练2：（2017年成都期末卷）已知动点M到定点F（-3，0）的距离和它到直

（1）求曲线C的方程;

（2）若直线l1：y=kx+t1与曲线C相交于不同的两点A、B，直线L2：y=kx+t2（t1≠t2）与曲线C相交于不同的两点D、E，且AB=DE，求以A、B、D、E为顶点的凸四边形的面积S的最大值。

解析：（1）设M（x，y），由题意可得故曲线C的方程为

以A、B、D、E为顶点的凸四边形为平行四边形。

设两平行线AB，DE间的距离为x，则r

因此，以A、B、D、E为顶点的凸四边形的面积S的最大值为4。

点评：本题解答的式子存在双参数，合理利用基本不等式进行消参求最值是这类问题的亮点和难点。

（责任编辑 徐利杰）