赏析双曲线中五种常见题型

汪亚洲

双曲线的第一定义：平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值等于非零常数（小于F1F2）的点的轨迹叫作双曲线。这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距。

常用结论：

1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b;

2.同支的焦点弦中最短的弦为通径（过0）右支上的任意一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值α。

以下是五种常见的题型。

一、双曲线的定义及其应用

例1已知圆C1：（x+3）2+y2=1和

解析：（1）如图1所示，

设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的充要条件，得|MC1|-|AC1|=|MA|，|MC2|-|BC2|=|MB|。

因为|MA|=|MB|，所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2《6。由双曲线的定义知，动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大，到C1的距离小），且α=1，c=3，则b2=8。

设点M的坐标为（x，y），则其轨迹方程

解析：设|F2A|=|F2B|=m。由双曲线定义得，|F1A|=m-2a，|F1B|=m+2a。所以|AB|=|F1B-F1A=4a。

在Rt△F2HA中，由勾股定理得：

在Rt△F2HF1中，由勾股定理得：

二、求双曲线的离心率

B》0）的左焦点为F，直线4x-3y+20=0过点F且与双曲线在第二象限的交点为P，O为原点，OP=OF，则双曲线的离心率

解析：直线4x-3y+20=0与x轴的交点为F（-5，0），可知半焦距c=5。设双曲线C的右焦点为F1，连接PF1，根据OF1=OF且OP=OF可得，△PFF1为直角三角形。如图2，过点O作OA垂直于直线4x-3y+20=0，垂足为A，易知OA为△PFF1的中位线。又原点O到直线4x-3y+20=0的距离d=4，所以|PF1|=（a》0，b》0）在第一象限内的点，F为其右焦点，点A关于原点O的对称点为B，且FA⊥

FB，2|FA|≤|FB|≤4|FA|，则双曲线C的离心率的取值范围是（）。

解析：设双曲线的左焦点为F1，∠AF1F

則双曲线的离心率满足：

三、中点与中点弦

（1）求双曲线C的标准方程;

（2）以P（1，2）为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程。

解析：由已知可得双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0）。

所求双曲线的标准方程为

故弦AB所在的直线方程为

变式训练3：已知双曲线

（1）求双曲线C的方程;

（2）已知直线x-y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求m的值。

四、求弦长和面积

例4若双曲线

（1）求双曲线C的方程;

（2）已知双曲线C的左、右焦点分别为

故双曲线C的方程为

（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），即直线AB的方程为y=-（x-2）。

设A（x1，y1），B（x2，y2）。联立由弦长公式得

变式训练4：已知双曲线

（α》0，b》0）的离心率为5，虚轴长为4。

（1）求双曲线的标准方程;

（2）直线l：y=mx+1与双曲线C相交于A，B两点，O为坐标原点，△OAB的面积是2/2，求直线L的方程。

故双曲线的标准方程为

O点到直线1的距离

故所求直线方程为

五、求定值和定点

例5已知双曲线x2-y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线1：y=kx+m与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左右两支的交点分别为P，（x1，y1），P2（x2，y2）。记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为2，那么，k1·k2是定值吗？请证明你的结论。

解析：由直线1与圆x2+y2=1相切，可

变式训练5：已知双曲线

（1）求双曲线C的方程。

（2）设斜率分别为k1，k2的两条直线11，12均经过点Q（2，1），且直线1，l2与双曲线C分别交于A，B两点（A，B异于点Q），若k1+k2-1，试判断直线AB是否经过定点。若存在定点，求出该定点坐标;若不存在，说明理由。

解析：（1）离心率为

所以双曲线C的方程为

（2）当直线AB的斜率不存在时，点A，B关于x轴对称，设A（x0，yo），B（xo，意，所以直线AB的斜率存在。不妨设直线AB的方程为

整理得t2+（2k-2）t-1+2k=0，即（t-1）（t+2k-1）=0，则t=1或t=1-2k。

当t=1时，直线AB的方程为y=kx+1，经过定点（0，1）;

当t=1-2k时，直线AB的方程为y=k（x-2）+1，经过定点Q（2，1），不符合题意。

综上，直线AB过定点（0，1）。

（责任编辑 徐利杰）