圆雏曲线的-类定值应用

徐兰 车树勤

直线与圆锥曲线的位置关系是高考考查的重点与难点，其运算量大常让同学们望而生畏。由于圆锥曲线中椭圆与双曲线都是中心对称图像，所以隐含着很多定值关系。大家如果能够把这些关系梳理清楚，那么对直线与圆锥曲线的位置关系问题就可以化繁为简。

直线经过原点与椭圆或双曲线相交的弦我们称为中心弦，那么椭圆或双曲线上任意一点与中心弦的两点形成的两条直线的斜率之积为定值，称为中心弦特征。任意一条直线与圆锥曲线相交时，原点与弦的中点连线的斜率与直线的斜率之积为定值，称为中点弦特征。具体看-下这些结论：

0），A，B分别是椭圆上关于原点对称的两个点，P是椭圆上任意一点，直线PA，PB的斜

B》0），A，B分别是双曲线上关于原点对称的两个点，P是双曲线上任意一点，直线PA，

0），O为坐标原点，A，B分别是直线与椭圆的两个交点，P是弦AB的中点，直线OP，

B》0），O为坐标原点，A，B分别是直线与双曲线的两个交点，P是弦AB的中点，直线

0）的右焦点为F（1，0），过焦点F且与x轴不重合的直线与椭圆C交于A，B两点，点B关于坐标原点的对称点为P，直线PA，PB分别交直线x=4于M，N两点。

（1）求椭圆C的标准方程

（2）記M，N两点的纵坐标分别为yM，yN，则yM·yN是否为定值？若是，请求出该定值;若不是，请说明理由。

当AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，设B（xo，yo），A（xA，yA），则P（-x0，

点评：解法一运算量较大，设出，点P坐标，先表示出直线AP的方程，再与椭圆联立方程组求出，点A的坐标，这种设，点求，点的运算很多同学都解不出来，即使解出来花费时间也过多。解法二中用中心弦特征的结论，

直线AB，AP的斜率积为定值一，利用直线AB的斜率表示出AP的斜率，就完全避免了复杂的运算，有种豁然开朗的解题感觉。

运用这些结论可以快速找到解题的方向并且避免解析几何复杂的运算，如果用来解决小题就更加得心应手了。

练一练：

1.平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：

（责任编辑 徐利杰）