浅析圆维曲线的焦点三角形问题

徐粉芹

椭圆、双曲线的焦点三角形的两个顶点是焦点，第三个顶点在圆锥曲线上，故称之为焦点三角形。圆锥曲线焦点三角形问题，涉及几何、向量、三角、函数等多领域的知识与方法，综合性强、思维强度高，是圆锥曲线知识的重点与难点，这类问题全方位反映焦点三角形问题的几何特征，一般考查周长、离心率、面积、最值等问题。在解决和焦点三角形有关的问题时，要注意椭圆、双曲线定义的运用，另外注意三角形中正弦定理、余弦定理及三角形面积公式等知识的运用。

一、椭圆、双曲线的焦点三角形的几个常见结论

1.椭圆中PF1|IPF2|的表达式

|F1F2I2=|PF1I2+|PF2I2-2|PF1|·PF2cos0=（PF+PF2-2PFPF2-2PFPF2cos0=（PF+|PF2）2-2|PF1|IPF2（1+cos0）。

故4c2=4a2-2|PF1||PF2（1+cos0）。

2.椭圆中焦点三角形的面积公式

3.双曲线中PF1PF2的表达式

4.双曲线中焦点三角形的面积公式

二、幾个重要问题

1.周长问题

例1

[2021年永昌县第一高级中学高二期中（理数）]已知△ABC的顶点B，C在椭圆3+y=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）。

A.23

B.43

C.4

D.6

设另一焦点为F1，由题意可得△ABC的周长为|AC+CF1+F1B+AB=2a+2a=4a=4/3。故选B。

点评：周长问题是圆锥曲线的焦，点三角形问题中的基础题型，解决此类问题的关键在于运用圆锥曲线的定义。

练习1：已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a=8，那么△ABF2的周长是（）。

A.26

B.21

C.16

D.5

解析：易知|AF2|-|AF1|=2a=8，|BF2|-|BF1|=2a=8，即|AF2|+|BF2|（AF1+|BF1I）=16，|AF2|+|BF2|=16+5=21。故△ABF2的周长为AF2+|BF2|+AB|=21+5=26。选A。

2.离心率问题

离心率是圆维曲线的重要性质，常以选择题、填空题形式出现，考查同学们对圆维曲线知识的掌握程度和综合应用能力。解题的思路是：根据已知条件探寻α，b，c三者之间的关系，要求大家运用圆锥曲线第一定义、正余弦定理、不等式等知识分析和探寻解题方向，通过细心的运算，步步为营，最终得到结果。

解析：如图1所示，设|AF1=3t，则AB=4t，|BF1|=5t。所以|AF1|2+AB|2=|BF1|2，∠F1AF2=90°。

由椭圆定义可得，

AF+ABBF=12t=4a，=3。

所以|AF1|=3t=a，|AF2|=2a-|AF1|=a，△AF1F2为等腰直角三角形。可得|AF1I2+|AF2|=|F1F2|2，即2a2=4c2。

点评：在焦点三角形三边上设置“情境”，与三角形离心率的有机结合，综合考查同学们对“新情境”问题的处理能力。

3.面积问题

面积问题一般出现在试卷的选择题或填空题中，如果同学们采用常规思路来解答问题，就会浪费很多时间，会造成小题大做，对于考场上的宝贵时间而言非常不可取。有鉴于此，在解决问题时，大家可采取特殊解法，这样-来可以节省时间，二来能够提高做题的准确率。这里的特殊解法是指求解圆维曲线中的面积问题时要应用余弦定理来求解，这种做法方便、高效。

点评：此类三角形的面积问题，常规解法是利用余弦定理求出PF1PF2，再利用三角形的面积公式求解，也可直接利用此类三角形的面积公式求解。

练习3：（2021年安徽安庆市高三模拟）

4.最值问题

最值问题是圆锥曲线焦点三角形中的-类重要问题，解答这类问题主要用到圆锥曲线第一定义，再辅之以正弦定理、余弦定理及均值定理等其他数学知识点来解。

点评：此类问题的常规解法是求出向量的数量积，根据角的范围进行求解。

当点P位于短轴端点时，∠F，PF2取最大值，要使椭圆C上存在点P满足∠F1PF2=120°，则∠F1PF2的最大值大于或等于120°，即点P位于短轴端点时，∠F1PF？大于或等于120°。

（责任编辑 徐利杰）