圆锥曲线的解题技巧知多少

李曾明

高中数学的解析几何一直以来都是高考的一个重点和难点，在高考试题中所占比重较大，分值较高，也是高考的一个重头戏，并且高考的趋势是越来越强调在多种知识（如平面向量、三角函数、方程等）的交汇点命题。常见的题型有：离心率问题、过定点问题、最值问题等。同学们解答数学圆锥曲线试题，需要有较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和推理转换，并在运算过程中注意思维的严谨性，以保证结果的完整性。下面举例说明一些常见解题方法的应用。

一、基本不等式法

例1在平面直角坐标系xOy中，已

（1）求椭圆C的方程。

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积;若不存在，请说明理由。

当0《b《1时，|PQ|2当y=-b时取到最大值，且最大值为b2+4b+4。由b2+4b+4=9，解得b=1，与假设0《b《1不符合，舍去。

当b≥1时，|PQ|2当y=-1时取到最大值，且最大值为3b2+6。由3b+6=9，解得b2=1。则α2=3，椭圆C的方程是

（2）假设点M（m，n）存在，则有m2+

反思感悟：本题是圆锥曲线中的探索性问题，也是最值问题，求圆锥曲线的最值问题是高考考查的一个重，点，通常是先建立一个目标函数，然后利用函数的单调性或基本不等式求最值。

二、条件转化法

例2已知F（3，0）为椭圆

（1）求椭圆C的方程;

（2）若直线1与椭圆C分别相交于A，B直线1的斜率的取值范围。

解析：（1）由题意知，椭圆的另一个焦点为（-3，0），所以点M到两焦点的距离之和

（2）当直线L的斜率不存在时，结合椭圆的对称性可知，ko4+koB=0，不符合题意。

故设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），A（x1，y1），B（x2，y2）。

综上，直线1的斜率的取值范围为

反思感悟：求某个量的取值范围，要看清与这个量有关的条件有几个，有几个条件就可转化为几个关于这个量的不等式，解不等式取交集可得結果。

三、消参法

例3已知椭圆

（1）求椭圆C的方程;

（2）设直线L：y=kx+t（t≠0）与椭圆C相交于A，B两点，若以OA，OB为邻边的平行四边形OAPB的顶点P在椭圆C上，求证：平行四边形OAPB的面积为定值。解析：（1）椭圆C经过点（2，1），代入椭联立①②，解得α2=4，b2=2。

反思感悟：证明某个量为定值，一般方法是用一个参数表示出这个量，通过化简消去参数，得出定值。

（责任编辑 徐利杰）