例祈圆链曲线中的范围（最值）问题

秦晓燕

圆锥曲线中的范围（最值）问题是圆锥曲线中的重要题型。这类题目以圆锥曲线中的性质、直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以不等式或函数的单调性为解题工具，综合性比较强，是考查的热点。做此类题目，需要从以下两个方面λ手。

方面一：熟练记忆范围的各种出处

（1）已知条件中参数的取值范围;

（2）直线与圆锥曲线相交，要求判别式△>0;

（3）圆锥曲线上动点P（x。，yo）的横坐标、纵坐标自身的取值范围;

（4）圆锥曲线中离心率e的取值范围;

（5）焦半径的取值范围;

（6）过焦点的弦长的取值范围;

（7）三角形中大边对大角，小角对小边;

（8）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边;

（9）点与圆锥曲线的位置关系，如点

（10）题目中两个不同的线段长度的比较。

方面二：恰当建立目标函数，利用均值不等式或者是函数的单调性求解

建立目标函数的关键是选取一个合适的变量，其原则是这个变量能够表达要解决的问题的表达式，这个变量可以是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等，解题时灵活处理。

范围或最值问题主要有四种情况。

（1）求离心率的范围，目标公式为e=C，找出与a、b、c有关的不等式。

（2）求距离型的取值范围或最值：①若涉及焦点，则可以考虑将圆锥曲线的定义和平面几何性质结合起来求解;②若求圆锥曲线上的点到直线的距离，则可设出与已知直线平行的直线方程，再代λ圆锥曲线方程中，用判别式等于0求得切点坐标，这个切点就是距离取得最值的点;③若点在圆或椭圆上，则可将点的坐標以参数形式设出，转化为三角函数的最值求解。

（3）求斜率、截距型的范围或最值：一般是将直线的方程代λ圆锥曲线的方程中，利用判别式列出对应的不等式，解出参数的范围，如果给出的只是圆锥曲线的-部分则需要结合图形，得出相应的不等关系。

（4）求面积型的最值：恰当选定参数，把面积表示出来，用函数方法或基本不等式的方法进行求解。

例1（2021年全国新高考I卷）第5焦点，点M在椭圆C上，则|MF1|·|MF2的最大值为（）。

A.13

B.12

C.9

D.6

分析：本题属于求距离型的最值，并且涉及焦点，可以利用椭圆定义得到MF，+IMF2|=2a=6，再借助基本不等式|MF·|MF2|=3时，等号成立）。故选C。

拓展：在本题的条件下，求MF1·|MF2I的取值范围。

利用基本不等式只能求出最大值，这里需要利用函数的观点研究目标函数的值域。

在刚才解题的基础上把两个距离MF1|、|MF2|中的一个|MF，|当成主元，把目标函

数表示为关于|MF1|的-元二次函数，再进行求解。

IMF·「MF2「=「MF1·（6|MF1I）=-|MF：|2+6|MF1|=-（|MF1|-3）2+9，而焦半径|MF1|的范围是[a-c，a+c]，即|MF1|∈[3-5，3+75]。利用二次函数的单调性可知：

当|MF1|=3时，|MF1|·|MF2|取最大值9;

当IMF1|=3士/5时，|MF1·|MF2取最小值4。

故MF1|·|MF2|的取值范围为[4，9]。

总结提升：求解最值问题时，基本不等式法比较快捷，很受大家的青睐。但是基本不等式不是万能的，遇到求取值范围或值域的问题时，还是要利用函数的单调性进行求解，特别要注意参数的取值范围。

例2（2021年全国乙卷（理数）第11题）设B是椭圆C：若+。=1（a》6》0）的a

上顶点，若椭圆C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则椭圆C的离心率的取值范围是（）。

分析：本题表面上是求离心率的取值范围，实质上是利用距离型目标函数的最值，在求解过程中找出相对应的有关α、b、c的不等式，从而求出离心率的取值范围。解题的关键是设出点P（xo，yo），由题意知点B（0，b），

根据两点间的距离公式表示出「PB，分类讨论求出|PB的最大值，再构建关于α，b，c的齐次不等式。

4b2，化简得（c2-b2）≤≤0，显然该不等式不成立。

答案为C。

总结提升：解决本题的关键是如何求出PB的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值。本题思路简单，但运算中容易出错。本题中的，点P的坐标也可以设成参数形式P（acos0，bsin0），0∈[0，2π]，把问题转化为三角函数的最值问题求解，过程中仍然需要分类讨论。

例3

（2021年全国乙卷（文数）第20题）已知抛物线C：y=2x（p》0）的焦点F到准线的距离为2。

（1）求抛物线C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在抛物线的最大值。

分析：第一问易求，第二问属于求斜率的最值。这里直接设直线OQ斜率比较麻烦，设点Q（xo，yo）的话可以直接利用向量关系式把点P的坐标表示出来，再利用点P在抛物线上建立关系式，最后由斜率公式及基本不等式求解由题意知，该抛物线焦点到准线的距离所以该抛物线的方程为y=4x。

总结提升：本题把直线OQ的斜率表示为y0的函数，通过对y0取值范围的讨论，利用基本不等式求出最值。在设点时，上述解题过程中设的是点Q（x。，yo），也可以设，点P的坐标进行求解。

例4（2021年浙江卷第21题）如图1，已知F是抛物线y2=2px（p》0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF=2。

（1）求抛物线的方程;

（2）设过点F的直线交抛物线于A、B两点，斜率为2的直线L与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且|RN|2=|PN|·|QN|，求直线l在x轴上截距的范围。

分析：第一问易求，第二问中点较多，关系复杂，但是这些点是在两条直线上，只要把直线设出来，点就能表示。直线AB过焦点且与抛物线交于A、B两点，可以设成x=ty+1，其中点A（x1，y1），B（x2，y2）。

另外-条直线L与x轴交于点N，而且本题求的是直线L在x轴上截距的范围，这里把点N设成N（n，0）比较合适，后面联立对应的方程求出对应点P，Q，R的坐标，代λ关系式|RN|2=|PN·|QN|，进一步可求n的范围。

解：（1）因为|MF|=2，所以p=2，抛物线的方程为y2=4x。

（2）设直线AB的方程为x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），N（n，0）。

易知直线1的方程为x=之+，由题设又直线MA的方程为n≤-7-4/3或-7+4/3≤n《1或n》1。故直线L在x轴上的截距的范围为{n|n≤-7-4/3或-7+4/3≤n《1或n》1}。总结提升：本题难度较大，解决问题的关键是怎么设直线或者点坐标，在设的过程中遵循的原则是尽量少引λ参数;对于构建出的函数关系式，要恰当利用换元法把复杂函数的范围问题转化为常见函数的范围问题。

下面给出常见的几个分式型目标函数求最值或范围的处理办法：

（责任编辑 徐利杰）