高考抛物线经典题型与核心考点突破

肖斌

抛物线是重要的圆锥曲线之-，在高考中多与其他曲线-起综合命题，大小题型都可能出现。选择题和填空题命题的重点多为抛物线的标准方程、几何性质以及简单的最值问题;解答题多为抛物线与圆的综合性问题，互相渗透，各有侧重。纵观近五年高考全国卷，抛物线解答题深λ挖掘教材，依托经典背景，聚焦主干知识，考查关键能力，灵动多变，精彩纷呈，出现的频率已经不亚于椭圆。比如2021年全国卷高考数学有四个类别共6套试卷，而命制抛物线解答题的多达4套。其中全国甲卷理数第20题、文数第21题是一道以高等数学中的彭赛列定理为背景，将抛物线核心知识与圆、直线交汇渗透的探究类解答题，文理同题，分别作为次压轴题和压轴题出现。全国乙卷理数第21题是以高考中考查多次的阿基米德三角形性质为背景，创设新的问题情境，考查用同构思想构建切点弦方程、用配方法求阿基米德三角形面积最值的抛物线试题;全国乙卷文数第20题是一道用均值不等式研究直线斜率最值的抛物线大题，活而不难，但易出错。2021年仅全国新高考工卷、Ⅱ卷解析几何解答题分别考查双曲线及椭圆（涉及圆）。若再调研之前的2016年至2020年全国I卷、Ⅱ卷、Ⅲ卷，我们发现：这五年间理科数学15套试卷中，考查椭圆解答题的有10套（其中椭圆与抛物线结合问题、椭圆与圆结合问题各1套），考查抛物线解答题的有6套（其中椭圆与抛物线结合问题、抛物线与圆结合问题各1套）;这五年间文科数学的15套试卷中，考查椭圆解答题的有7套（其中椭圆与抛物线结合问题1套），考查抛物线解答题的有9套（其中抛物线与椭圆结合问题1套、抛物线与圆结合问题3套）。这些数字说明，抛物线与椭圆交替出现，平分秋色，频繁亮相于高考最后三道把关大题之中。请同学们关注这些新热点、新动向，触类旁通，积极应对。

一、经典基础题-抛物线的定义及其几何性质问题

对抛物线的定义及其几何性质等基础知识的考查，通常出现在选择题、填空题中间偏后的位置，以中档难度居多。有时也出现在小题靠前的位置或大题的第一问中，属于简单的必得分题。

高频考点一抛物线的定义

命题方向1利用“抛物线上的点到焦点的距离等于它到准线的距离”进行线段等量转移

例1（2017年全国Ⅱ卷理数第16题）已知F是抛物线C：y2=8x的焦点，M是抛物线C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则|FN|=

解析：不妨设点M位于第一象限。设抛物线的准线L与x轴交于点F′，即FF′⊥L于点F。

作MB⊥L于点B，作NA⊥L于点A。

因为M为FN的中点，所以线段BM为直角梯形AF'FN的中位线。

易得准线1的方程为x=-2，于是|AN|=2，|F'F|=4。

在直角梯形AF′FN中，中位线之长由抛物线的定义，得MF|=|MB=3。

由M为FN的中点，得|MN|=|F|=3。

故|FN|=|FM|+|MN|=3+3=6。

命题方向2利用抛物线的定义求解焦半径问题

例2（2021年高考北京卷第12题改编）设F为抛物线y2=4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若FA+FB+FC=0，则|FA|+|FB|+|FC|=

解析：因为FA+FB+FC=0，所以焦点F（1，0）为△ABC的重心，A，B，C三点的横坐标之和为点F的横坐标的三倍，即xA+xB+xc=3。

由抛物线的定义知，抛物线上的点A到焦点F的距离等于它到准线x=-1的距离，即|FA|=|FA|=xA-（-1）=xA+1。同理可得|FB|=xB+1，|FC|=xc+1。

故|FA|+IFB|+|FC|=xA+1+xB+1+xc+1=6。

命题方向3利用抛物线的定义解决焦点弦问题

例3（2017年全国I卷理数第10题）已知F为抛物线C：y2=4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线11，L2，直线L1与抛物线C交于A、B两点，直线L？与抛物线C交于D、E两点，则川AB+|DE的最小值为（）。

A.16

B.14

C.12

D.10

解析：設直线AB的倾斜角为α，则直线故|AB|+|DE|的最小值为16，选A。

反思升华：已知F是抛物线y2=2px（卫》0）的焦点，PQ为过焦，点的弦，其中P（x1，y1），Q（x2，y2），y1》y2，且弦PQ所在直线的倾斜角为0，对于焦半径PF、QF，及焦，点弦PQ，有以下重要结论：

对称轴的焦，点弦称为通径，其长为2卫，易得通径是最短的焦，点弦）;

③斜率式，|PQ|=2p+2卫k2（为直线PQ的斜率）。

高频考点二抛物线的几何性质

抛物线的标准方程有四种情形，其对应图形、焦点坐标、准线方程、取值范围、开口方向、焦半径等重要的几何性质可归纳为表1，同学们应在数形结合、异同对比的基础上，熟练掌握并运用。

考查抛物线几何性质的高考试题，常聚焦于模块内或模块间的基础知识的综合性考查，大多涉及抛物线的多个基本知识点，甚至与直线、圆、椭圆、双曲线等其他解析几何的主干知识交汇考查

命题方向1与抛物线的对称性有关的问题

例4（2020年全国Ⅲ卷理数第5题）设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C：y=2px（p》0）交于D，E两点，若OD⊥OE，则抛物线C的焦点坐标为（）。

反思升华：本题的常用解法是联立直线与抛物线方程，求出D，E两，点的坐标，然后从直线的斜率角度（或向量的数量积角度）去处理，即用kD·koE=-1（或OD·O尼=0）去处理。而此解法独辟蹊径，巧用抛物线的对称性获得更简便的解法。

命题方向2抛物线的几何性质与圆的基础知识结合问题

例5（2017年高考天津卷文数第12题）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为1。已知点C在L上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A。若∠FAC=120°，则该

圆的方程为

解析：（解法一，利用向量夹角公式）易知焦点为F（1，0）。设圆心为C（-1，m），则A（0，m），AC=（-1，0），AF=（1，-m）。

故圆心为C（-1，/3），半径为1，圆的方程为（x+1）2+（y-3）2=1。

（解法二，数形结合法）易知焦点为F（1，0），准线1的方程为x=-1。

由圆心C在准线L上，且圆C与y轴的正半轴相切，可得点C的横坐标为-1，圆的半径为1，∠CAO=90°

又因为∠FAC=120°，所以∠OAF=30°，|OA|=3。故圆心为C（-1，3），半径为1，圆的方程为（x+1）2+（y-3）2=1。

命题方向3抛物线的几何性质与椭圆的基础知识结合问题

例6（2021年上海市春季高考第11

题）已知椭圆x+，-1（0《6《1）的左、右焦点为F1、F2，以O为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于P，且∠PF1F2=45°，则抛物线的准线方程是

解析：设F1（-c，0），F2（c，0），c》0，则抛物线方程为y2=4cx，其准线方程为x=-c。

不妨设P在第一象限，易得直线PF，的斜率为tan45°=1，其方程为y=x+c。

由椭圆的定义得PF，+PF，-（2/2+2）c=2，解得c=2-1。

故抛物线的准线方程为x=1-2。命题方向4抛物线的几何性质与双曲线的基础知识结合问题

例7（2012年高考山东卷试题改编）

点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线C2的标准方程为

则双曲线的渐近线为

故抛物线C2的标准方程为x2=16y。

二、经典主干题-直线与抛物线的位置关系问题

高频考点一向量知识在直线与抛物线相交问题中的渗透

例8（2018年全国I卷理数第8题）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过点（-2，20）且斜率为3的直线与抛物线C交于M，V

解析：由题意得，直线MN的方程为y-

反思升华：本题也可设M（x1，y1），N（x2，y2），用韦达定理法“设而不求”得到x1+x2=5，x1x2=4去处理。

高频考点二

抛物线的焦点弦（或一般弦）问题

命题方向1

抛物线的焦点弦（或一般弦）的斜率问题

例9（2021年上海夏季高考卷）已知抛物线y2=2px（p》0），若第一象限的点A、B在抛物线上，抛物线焦点为F，|AF=2，BF=4，|AB|=3，则直线AB的斜率为

解析：注意理解与灵活应用抛物线的定义以及直线的斜率公式的特征，可得多种解法。

（解法一）设A（x1，y1），B（x2，y2），由题设知B在A的右上方，即x2》x1，y2》y1。

故直线AB的斜率为

（解法二）过A、B作准线的垂线，垂足分别为A1、B1。

作AH⊥BB1，垂足为H。

设直线AB与x轴的交点为P，由抛物线的定义，得|AA1|=|AF|=2，|BB，|=|BF|=4。

则|BH|=|BB1|-|HB1|=|BB，|-AA1=2。

反思升华：解法一，注意到直线斜率的坐标公式特征，利用抛物线的焦半径公式及两点间的距离公式，分别整体求出点A、B的横坐标的差与纵坐标的差后获解;解法二，利用她物线的定义及平面几何的性质处理;解法三，利用抛物线的定义表达出焦半径，然后整体相减得到点A、B的横坐标的差，最后利用弦长公式求出直线AB的斜率。

命题方向2求抛物线的焦点弦（或一般弦）所在直线方程问题

例10（2018年全国Ⅲ卷理数第16题改编）已知点M（-1，1）和抛物线C：y2=4x，过抛物线C的焦点F的直线1与抛物线C交于A，B两點。若∠AMB=90°，则直线L的方程为

解析：（解法一，韦达定理法）设A（x1，y1），B（x2，y2）。抛物线C的焦点为F（1，0），显然直线1的斜率不为0，故可设1的方程为x=my+1。

故直线l的方程为2x-y-2=0。（解法二，点差法和抛物线定义法）易知F的坐标为（1，0），设A（1，y1），B（x2，y2）。则y=4x1，y号=4x2，相减得：（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）。

又M'为线段AB的中点，所以M为线段A'B'的中点，MM'平行于x轴，yo=1。

于是y1+y2=2，k=2。

故直线L的方程为2x-y-2=0。（解法三，阿基米德三角形性质“秒杀”法）易知抛物线C的焦点为F（1，0），准线方程为x=-1，M（-1，1）在准线上。连接

MF，由阿基米德三角形性质，得MF⊥AB。

易得直线MF的斜率为-2，故直线AB的斜率为2，其方程为2x-y-2=0。

反思升华：圆锥曲线的弦与过弦的端，点的两条切线所围成的三角形叫作阿基米德三角形。过抛物线上A，B两，点作抛物线的切线，两条切线相交于P，则称△ABP为抛物线的阿基米德三角形。若AB恰为过抛物线焦点的弦，则△ABP有以下重要性质：（1）交点P必在抛物线的准线上;（2）△ABP为直角三角形，且PA⊥PB;（3）PF⊥AB。对于任意圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）中的阿基米德三角形均有以下特，点：过某一焦，点F作直线与圆锥曲线交于A，B两，点，分别过A，B两，点作切线，两条切线相交于P，则交点P必在该焦点对应的准线上。近年来，以阿基米德三角形作为数学文化背景的高考题、模拟题层出不穷，常考常新。

命题方向3与抛物线的焦点弦（或般弦）相关的三角形或四边形面积问题

例11（2020年四川省巴中中学高二期末试题）抛物线y=4x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点。

（1）若AF=2FB，求直线AB的斜率;

（2）设点M在线段AB上运动，原点O

关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值。

解析：（1）依题意知F（1，0）。设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线AB的斜率不为0，设其方程为x=my+1。

代λy2=4x，得y2-4my-4=0。所以y1+y2=4m，y1y2=-4。①因为AF=2FB，所以y1=-2y2。②

故直线AB的斜率为士2/2。

（2）由点C与原点O关于点M对称，知M是线段OC的中点，点O与点C到直线

AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于△AOB的面积的2倍。

所以当m=0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4，此时直线AB⊥x轴。

反思升华：对人教A版选修2-1中P69例4、P70例5深λ挖掘，可得到抛物线焦，点

弦的重要性质，以此为背景的问题在高考题和模拟题中比比皆是。设经过抛物线y-2px（p》0）的焦，点F的直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原，点，A（x1，y1），B（x2，y2），y1》y2，且直线AB的倾斜角为0。当直线AB的斜率存在时，设其斜率为k。

设抛物线的准线为L，作AAL于点A，作BB′⊥L于点B'。设焦，点弦AB的中，点为M，作MM'⊥L于，点M'，则有：

≥2力，特别地，通常将垂直于对称轴的焦，点弦称为通径，其长为2卫，易见通径是最短的焦，点弦;

（5）相切关系，以焦半径AF、BF为直径的圆与y轴相切，以焦，点弦AB为直径的圆与准线相切;

（6）直角关系，∠AM'B与∠A'FB均為直角;

（7）三，点共线关系，A，O，B及B，O，A均满足三，点共线。

高频考点三抛物线的中点弦（或弦中点）问题

命题方向1抛物线的中点弦位置关系问题

例12（2015年高考四川卷理数第10题）设直线1与抛物线y2=4x相交于A，B两点，与圆C：（x-5）2+y2=r2（r》0）相切于点M，且M为线段AB的中点。若这样的直线1恰有4条，则r的取值范围是（）。

A.（1，3）

B.（1，4）

C.（2，3）

D.（2，4）

解析：设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）。

当直线L的斜率不存在，即x1=x2时，符合条件的直线1必有两条。

当直线l的斜率存在，即x1≠x2时，yo≠0，因M为线段AB的中点，故y1+y2=2y0。

解得xo=3。

因为M在抛物线的内部，所以y《4xo=12。

由yo≠0，得0《y8《12。

因为M（3，yo）在圆上，所以（3-5）2+y=r2，即y=r2-4。

因此，0《r2-4《12。

又r》0，解得2《r《4，选D。

反思升华：点M（xo，yo）在抛物线y2=2px（p》0）内台y6《2px0;点M（x0，y0）在抛物线y2=2px（p》0）上曰y=2px0;，点M（x0，yo）在地物线y2=2px（p》0）外台y>2px0。

命题方向2抛物线上存在两点关于某条直线对称问题

例13（2016年高考江苏卷第22题）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线1：x-y-2=0，抛物线C：y2=2px（p》0）。

（1）若直线1过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程。

（2）已知抛物线C上存在关于直线L对称的相异两点P和Q。

①求证：线段PQ的中点坐标为（2-卫，

②求卫的取值范围。

故抛物线C的方程为y2=8x。

（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点M（xo，yo）。

因为点P和Q关于直线1对称，所以直线L垂直平分线段PQ，于是直线PQ的斜率为-1。

可设其方程为y=-x+b。

反思升华：第二问中“求卫的取值范围”的策略通常被称为“一等一不等法”。所谓“一等”是指“弦PQ的中点M在对称轴L上”;“-不等”是指“直线PQ与抛物线有两个交点，则△》0”。此题也可由“点差法”处理。

三、经典能力题—以抛物线为载体的压轴题或次压轴题

高频考点一抛物线与其他曲线的交汇问题命题方向1抛物线与圆的交汇问题例14（2017年全国Ⅲ卷理数第20题）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线

L交抛物线C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆。

（1）证明：坐标原点O在圆M上;

（2）设圆M过点P（4，-2），求直线L与圆M的方程。

解析：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线L的斜率不为0，可设直线L的方程为x=my+2。

故坐标原点O在圆M上。

（2）由（1）可得y1+y2=2m，x1+x2=m（y1+y2）+4=2m2+4。

由（1）得x1x2=4，y1y2=-4。

当m=1时，直线1的方程为x-y-2=

0，M的坐标为（3，1），圆M的半径为/10，圆M的方程为（x-3）2+（y-1）2=10。

反思升华：由人教A版选修2-1中P73

第6题、P81第3题引申拓展，可得抛物线中以坐标原，点○为直角顶，点的内接直角三角形的重要性质。设A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线C：y2=2px（p≠0）上的点，O是坐标原，点，且满足∠AOB=90°，则有：（1）x1x2=4p2，y1y2=-4p2，即A，B两点的横坐标、纵坐标之积均是定值;（2）直线AB必过定点（2p，0）。本题第一小问是以此经典性质为背景逆向命制的，植根教材，锐意创新。

命题方向2

抛物线与椭圆的交汇问题

例15（2020年全国Ⅱ卷理数第19焦点F与抛物线C2的焦点重合，椭圆C1的中心与抛物线C？的顶点重合。过F且与x轴重直的直线交椭圆C1于A，B两点，交抛物线C：于C，D两点，且CD-专AB。

（1）求椭圆C1的离心率;

（2）设M是椭圆C1与抛物线C2的公共

点，若MF|=5，求椭圆C1与抛物线C2的标准方程。

解析：（1）由题意可设C2的方程为y2=4cx，其中c=/a2-b2。

不妨设A，C在第一象限，由题设得A，又抛物线C2的准线方程为x=-c，则物线C2的标准方程为y2=12x。

反思升华：本题是一道抛物线与椭圆的交汇问题，考查了构建齐次方程求椭圆的离心心率以及利用待定系数法和定义法求她物线和椭圆的标准方程，考查的知识，点很常见，题号也由最后两道大题前移至第19题，此举有利于避免考场上同学们见到解析几何大题就头疼、干脆放弃的现象。

高频考点二定值问题

例16（2018年高考北京卷理数第19题）已知抛物线C：y2=2px经过点P（1，2）。

过点Q（0，1）的直线1与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于点M，直线PB交y轴于点N。

（1）求直线1的斜率的取值范围;

解析：（1）因為抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得=2。

所以抛物线的方程为y2=4x。

由题意可知，直线的斜率存在且不为

依题意△=（2k-4）2-4×k2×1》0，且k≠0，解得k《0或0k1。

又PA，PB与y轴相交，故直线L不过点（1，-2），从而k≠-3。

所以直线L的斜率的取值范围是（-∞，-3）U（-3，0）U（0，1）。

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）。由（1）知直线PA的方程为

同理，点N的纵坐标为

反思升华：定值问题求解的基本策略是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值。为帮助记忆，可编成口诀：定值问题莫畏难，参数思想能通天;变量表示不变量，特殊引路证一般;斜率、点、角作参数，“设参”“用参”和“消参”;“三板斧”开路显神功，势如破竹当先锋。

高频考点三动点问题

例17（2021年四川省巴中市名校联考高二数学试题）已知抛物线C：y=2px（p》0）的焦点为F，点A（3，yo）在抛物线C上，且|AF=4。

（1）求抛物线C的方程及点A的坐标。

（2）已知直线1与抛物线相交于不同两

点M、N，O为坐标原点，若∠MON=90°，求证直线恒过某定点，并求出该定点的坐标。

所以抛物线C的方程为y2=4x。

因为点A（3，yo）在抛物线C上，所以y=12→y。=士2/3，可得A（3，士23）。

（2）（解法一，韦达定理法）由题意知，直线L的斜率不为0，设直线L的方程为x-ty+n（n≠0）。

与抛物线的方程联立，得y2-4ty-4n=0。设M（x1，y1），N（x2，y2），显然x1，y1，x2，y2均不为0。

则△=16t2+16n》0，y1y2=-4n。

满足△=16t2+64》0，则直线1的方程为x=ty+4。

故直线L恒过x轴上-定点（4，0）。（解法二，点差法）设M（x1，y1），N（x2，y2），则y=4x1，y2=4x2。

因为∠MON=90°，所以OM·ON=x1x2+y1y2=0。

又y1=4x1，y2=4x2，相减得：（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）。

所以直线L的方程为

此时直线1恒过定点（4，0）。

当x1=x2，即L⊥x轴时，不妨假定点M在x轴上方、点N在x轴下方。

由抛物线的对称性及∠MON=90°，易得M（4，4），N（4，-4）。

此时直线1的方程为x=4，也过定点（4，0）。

综上，直线1恒过定点（4，0）。

反思升华：本题由人教A版选修2-1中P73第5题、第6题改编而成，可由韦达定理法或，点差法求解，它植根教材，凸显主千，贴近高考。可先将要证明的过定，点的直线方程表示为某参数的直线系方程的形式，再由直线系方程求出定，点。一般地，若得到直线方程的点斜式y-y0=（x-xo），则直线必过定点（x0，yo）;若得到直线方程的斜截式y=kx+b，则直线必过定，点（0，b）。

高频考点四探索性问题

例18（2019年全国I卷文数第21题）已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|=4，圆M过点A，B且与直线x+2=0相切。

（1）若点A在直线x+y=0上，求圆M的半径。

（2）是否存在定点P，使得当点A运动

时，|MA|-MP|为定值？并说明理由。

解析：（1）因为圆M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上。

已知A在直线x+y=0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y=x上，可设M（a，a）。

因为圆M与直线x+2=0相切，所以圆M的半径为r=|a+2|。

由已知得|AO|=2。又MòLAò，故2a2+4=（a+2）2，解得a=0或a=4。

故圆M的半径r=2或r=6。

（2）存在定点P（1，0），使得|MA|-IMP|为定值。

理由如下：设M（x，y），由已知得圆M的半径为r=|x+2|，|AO|=2。

由于Mδ⊥Aδ，故可得x2+y2+4=（x+2）2，化简得M的轨迹方程为y2=4x。

因为曲线C：y2=4x是以点P（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线，所以|MP|=x+1。

因为|MA|-|MP|=r-|MP|=（x+2）-（x+1）=1，所以存在满足条件的定点P。

反思升华：求解是否存在性探索题的基本思路遵循“三部曲”：假设存在-演绎推理-得出结论（或与结论矛盾）。

高频考点五最值与取值范围问题圆锥曲线中最值问题的基本解法一般有两种：-是几何法，即利用圆锥曲线的定义和平面几何的有关性质求最值;二是代数法，即将圆维曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式或三角函数的有界性获解。

命题方向1化归为二次函数求最值或取值范围

例19（2021年全国乙卷理数第21题）已知抛物线C：x2=2py（p》0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4。

（1）求卫的值;

（2）若点P在圆M上，PA，PB是抛物

线C的两条切线，A，B是切点，求△PAB面积的最大值。

圆M的圆心为M（0，-4），半径为1，则则切线PA的方程为

同理，得切线PB的方程为

于是A（x1，y1），B（x2，y2）的坐標都满足方程x0x-2y-2yo=0，直线AB的方程为xox-2y-2yo=0。

点P到直线AB的距离点P在圆M上，故x-4yo=1-（yo+4）2-4y0=-y-12y-15=-（y0+6）2+21。

由已知可得-5≤y。≤-3，所以当y。=-5时，x-4y0取得最大值20。

故当点P的坐标为（0，-5）时，△PAB的面积取得最大值205。

反思升华：本题是以阿基米德三角形为

深刻的数学文化背景命制出的精彩好题，它将抛物线、圆等解析几何主体知识与求切，点弦方程的同构思想、求二次函数最值的配方法等思想方法融于-体，既体现出高考命题的优秀选拔功能，更彰显着数学文化的德育教育作用。

命题方向2利用两个变量之间的函数关系求最值或取值范围

例20（2021年高考浙江卷第21题）如图1，已知F是抛物线y2=2px（p》0）的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且|MF=2。

（1）求抛物线的标准方程;

（2）设过点F的直线交抛物线于A、B两点，若斜率为2的直线L与直线MA，MB，AB，x轴依次交于点P，Q，R，N，且满足|RN=PN·QN，求直线L在x轴上截距的取值范围。

解析：（1）由题意知力=|MF|=2，故抛物线的方程为y2=4x。

（2）设直线AB的方程为x=ty+1（≠2），设A（x1y），B（xy），直线AB的方程代λ抛物线方程，得y2-4ty-4=0。

所以y1+y2=4t，y1y2=-4。

直线MA的方程为

设直线1的方程

反思升华：解决第二问的关键是将线段截距s的取值范围。一般地，利用题目中隐藏的已知参数的范围求新参数的范围问题的核心是建立两个参数之间的等量关系，将新参数的范围问题转化为已知参数的范围问题。

（责任编辑 徐利杰）