空间向量与安体何常见考点及题型

何成宝

考点一：证明位置关系

命题方向：用空间向量证明位置关系的情况主要有：（1）证明直线和直线平行或垂直;（2）证明直线和平面平行或垂直;（3）证明平面和平面平行或垂直。

例1（2017年高考天津卷）如图1，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°。点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2。求证：MN∥平面BDE。

分析：证明线面平行只需求出平面的法向量，计算出直线对应的方向向量与平面的法向量的数量积为0即可。

解：如图2，以A为原点，x轴，y轴，之轴的正方向建立空间直角坐标系。

依题意可得：A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）。则DE=（0，2，0），DB=（2，0，-2）。

设向量n=（x，y，之）为平面BDE的法

因为MN吐平面BDE，所以MN∥平面BDE。

小结：（1）证明线面平行可证明线线平行，也可证明这条直线与平面的法向量垂直，这类试题可用传统法也可用向量法，用向量法更为普遍。

（2）证明线面垂直的方法：可用直线的方向向量与平面的法向量共线来证明，也可用直线的方向向量与平面内两条相交直线的方向向量垂直来证明。

（3）证明面面垂直通常转化为证线面垂直，也可用两个平面的法向量垂直来证明。

（4）用向量法来证明平行与垂直，避免了复杂的推理论证，只需直接计算，把几何问题代数化。尤其是正方体、长方体、直四棱柱中相关问题的证明用向量法更简捷，但是向量法要求计算时必须准确无误。

考点二：求异面直线所成角

命题方向：求异面直线所成角，常常以多面体为载体，抓住异面直线的已知点或特殊点，通过平移把异面直线转化到一个三角形中求解。

例2（2015年高考全国I卷）如图3，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC;

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值。

分析：运用向量夹角公式cos〈a，b）=

求异面直线所成角，是高考的重点。求解时应先建立空间直角坐标系，求出与两条异面直线共线的向量，最后由向量夹角公式去求解。

解：（1）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF。

在菱形ABCD中，不妨设GB=1。

由∠ABC=120°，可得AG=GC=3。

由BE⊥平面ABCD，AB=BC=2，可知AE=EC。又AE⊥EC，所以EG=3，且EG⊥AC。在Rt△EBG中，可得BE=2，又AC∩FG=G，故EG⊥平面AFC。因为EG二平面AEC，所以平面AEC⊥平面AFC。

（2）如图4，以G为坐标原点，分别以GB，GC的方向为x轴，y轴的正方向，

|GB|为单位长，建立空间直角坐标系G-xy之。

小结：1.求异面直线所成角，一是按定义平移转化为两相交直线的夹角，二是在异面直线上各取一个方向向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论那种求法，都应注意角的范围的限定。

2.运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤为：（1）建立恰当的空间直角坐标系;

（2）求出相关点的坐标;（3）写出向量的坐标;

（4）结合公式进行论证、计算;（5）转化为几何结论。

考点三：求直线与平面所成的角

命题方向：求直线与平面所成的角，常常以多面体为载体，考查直线与平面所成角的作法、证明以及计算过程，将线面角转化为线线角，放在一个三角形中求解。

例3（2015年高考全国Ⅱ卷）如图5所示，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面a与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）;

（2）求直线AF与平面α所成角的正弦值。

分析：设直线L与平面α的夹角为0（0°≤0≤90°），a是直线l的一个方向向量，n是平面a的法向量，则由sin0=|cos〈n，a〉|，可求出0的大小。直线与平面所成的角是高考常考内容，求解时应先建立空间直角坐标系，分别求出平面α的法向量和直线的方向向量的坐标，运用向量的坐标就可获解。

解：（1）如图6，交线周成的正方形EFNM为所求正方形。

轴，之轴的正方向建立空间直角坐标系。作EH⊥AB，垂足为H，所以AH=A1E=4，EH=AA1=8。因为四边形EFNM为正方形，所以EM=EF=BC=10。

故F（0，4，8），N（0，10，0），M（10，100），A（10，0，0）。

小结：求直线与平面所成的角也有传统一法和向量法两种。传统法关键是找斜線在平面内的射影，从而找出线面角;向量法则可建立空间直角坐标系，利用向量的计算求解。用向量法可避开找角的困难，但计算量较大，要注意计算上不要失误。

考点四：求二面角的大小

命题方向：求二面角的大小是高考的热点，主要是如何确定二面角的平面角，将二面角的平面角转化为线线角，从而放在一个三角形中进行求解。它考查同学们的空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力。

例4（2017年高考全国工卷）如图7，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，∠BAP=∠CDP=90°。

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD;

（2）若PA=PD=AB=DC，∠APD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值。

分析：设n1、n2分别是两个半平面的法向量，则其二面角（锐角）0满足cos0=|cos〈n1，n2〉|。二面角的计算是高考的常考内容，部分同学因难以作出其平面角而望而生畏，若运用向量知识，凭坐标运算可获解。

解：（1）由已知∠BAP=∠CDP=90°，得AB⊥AP，CD⊥PD。由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD。又AB平面PAB，故平面PAB⊥平面PAD。

（2）在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F。由（1）可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD。以F为坐标原点，FA的方向为x轴正方向，

AB|为单位长度，建立如图8所示的空间直角坐标系F-xy之。

小结：1.两个平面的法向量的夹角不-定就是所求的二面角，有可能两个法向量夹角的补角为所求。

2.求平面的法向量的方法：

（1）待定系数法，设出法向量坐标，利用垂直关系建立坐标的方程解之;

（2）先确定平面的垂线，然后取相关线段对应的向量，即确定了平面的法向量，当平面的垂线较易确定时，常考虑此方法;

（3）用向量法求二面角的大小时，有时不易判断两个法向量的夹角与二面角是相等或互补，但我们完全可以根据图形得出结论，这是因为二面角是锐角还是钝角一般是比较明显的。

考点五：求空间距离

命题方向：空间中的距离问题一般都可以转化成点到点的距离、点到线的距离以及点到面的距离，其中点到点的距离、点到线的距离可用空间向量的模来求解，点到面的距离可借助于平面的法向量求解。

例5（2014年高考重庆卷）如图9，四棱锥P-ABCD，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面

分析：建立空间直角坐标系，利用已知条件求出点P的坐标，从而求出PO的长。

解：如图9所示，连接AC，BD。因ABCD为菱形，故AC∩BD=O，且AC⊥BD。以O为坐标原点，OA，OB，OP的方向分别为x轴，y轴，之轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xy之。

小结：1.求，点到平面的距离是重点知识，其方法有：①直接作出點到面的垂线段，再计算;②平行转移法，即通过线面平行，转化到其他，点到平面的距离;③等体积法;④向量法。

2.已知AB为平面a的-条斜线段，n为平面a的法向量，则B到平面α的距离为

考点六：解决立体几何中的探索性问题命题方向：立体几何中的探索性问题立意新颖，而空间向量在解决立体几何的探索性问题中扮演着举足轻重的角色，为分析和解决立体几何中的深索性问题提供了新的视角、新的方法。

例6（2014年高考湖北卷）如图10，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP=BQ=λ（0《λ《2），是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为90°？若存在，求出λ的值;若不存在，说明理由。

分析：求出每一个平面的法向量，利用两个平面夹角的余弦值为0列等式求解。如果有解，则存在;若无解，则不存在。

解：建立如图直角坐标系，则B（2，2，0），

C1（0，2，2），E（2，1，0），F（1，0，0），P（0，0，λ），BC=（-2，0，2），FP=（-1，0，A），FE=（1，1，0）。设平面EFPQ的一个法向量为理可得平面PQMN的一个法向量为m-（λ-2，2-λ，1）。若存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为90°，则m·n=（λ-2，2-λ，1）·（λ，-λ，1）=0，即λ（λ-故存在λ=1±）使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为90°。

小结：空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断。

在解题过程中，往往把“是否存在”问题转化为“，点的坐标是否有解，是否有规定范围的解”等，所以使问题的解决更简单、有效。我们应善于运用这-方法解题。

（责任编辑 徐利杰）