向量夹角的风波

潘梅耘

向量的夾角是个特殊的平面角，具有明显的形和数的特征，所以同学们要想驾驭向量的夹角，切记从形、数等多个方面进行理解和应用，否则会惹出不少风波.

一、夹角起点惹风波，起点统一是根本1.在△ABC中，a=5，b=8，c=60°，则BC·CA的值为_____。

错解

错因 对两个向量的夹角的定义模糊不清，未能抓住“确定向量夹角时，一定要将两个 向量平移到共起点”

评析 向量夹角是平面角，所以它的范围为[0°，180°]，在三角形中两边向量夹角规律：两边向量共起点或共终点时，向量夹角即为对应该公共点的三角形内角，否则为其补角.

二、夹角范围惹风波，等价转化是关键2.设平面向量a=（-2，1），b=（λ，-1），若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__.

错解 由题知cos=a·b/|a||b|<0，得a·b<0，-2λ-1<0，从而λ∈ （-1/2，+∞）.

错因 忽视a与b反向这个不合题意的情况.

正解 由题知-1

评析 在已知条件下求变量的取值范围，实质是寻找充要条件，两向量a与b的夹角为钝角的充要条件是a·b<0且a与b不共线，两向量a与b的夹角为锐角的充要条件是a·b>0且a与b不共线.

三、夹角公式惹风波，数形结合显神通

再用夹角公式，结果因计算太繁复而放弃.

错因 不注意数形结合在解题中的应用.

评析 向量是既有大小义有方向的量，所以它与长度、角度密切相关，同学们一定要多关心它的几何属性，便于简化解题过程.

有关向量夹角的“风波”，表现形式还有很多，同学们可记住下面的口诀，以免出错：向量夹角共起点，范围不过一平角;同向反向和垂直，三种特情别忘记;锐角钝角要分清，变形转化要等价;夹角公式要牢记，数形结合显威力.

相关练习

（l）锐角三角形

（2）直角三角形

（3）钝角三角形

（4）不能确定

3.已知a=（1，2），b=（1，1），且a与a+λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围.

4.与向量a=（1/2，1/2），b=（1/2，-1/2）的夹角相等，且模为1的向量是