用平面几何基本图形解决与圆相关的综合问题

李鸿

（福州教育学院附属中学，福建 福州 350013）

几何综合题在初中数学水平考试评价中是常见的一类评价试题，它常以基本图形为载体，考查学生对问题形成的过程、思维方式、思维水平、对相关知识方法理解的深度以及能否用恰当的数学语言有条理地数学表达的数学思考等。［1］那么如何从综合问题的复杂图形中拆解出基本几何图形，这是解决几何综合题的关键，这需要掌握好基本几何图形的识图与构图。教师在教学中需要重视对几何基本图形的教学研究，让学生认识几何基本图形的特征，学会灵活运用基本几何图形，化繁为简地解决复杂几何图形综合问题。

一、复杂图形构建的综合问题

（一）以圆与直线型几何图形结合的综合问题

1.由圆与直线组合构建的复杂几何图形综合问题，图形的复杂需要学生学会把组合的图形变单一基本几何图形的来解决综合性问题，提升学生的分析问题与解决问题的能力。［2］

2.复杂图形中基本几何图形的隐蔽性，外显变成内隐，问题解决意在评价学生对基本几何图形的认识与理解的水平层次，是否具备创造性解决问题思维水平。

比如圆与直线型几何图形结合时，原图中并不出现圆，而是以其他直线型几何图形特征的存在直观想象隐藏圆的存在，需将隐藏圆还原出来。而有的直线型几何图形的基本模型隐去一部分图形，使得图形并不完整，需要进行构图，将基本模型还原。

3.增加图形的抽象型、新颖度以及可能型，这类问题在于考查学生的抽象概括能力以及知识的应用迁移能力与思维的严谨性。［3］

例1：如图1，四边形ABCD 内接于⊙O，AB=AC，AC⊥BD，垂足为E，点F 在BD 的延长线上，且DF=DC，连接AF、CF.

图1

（1）求证：∠BAC=2∠CAD；

解析：第（1）问实际上是圆自身的“弧、弦、圆心角、圆周角”之间的基本性质的AB 综合应用。由条件“AB=AC”可得因此∠ABC=∠ACB.而在△ABC 中，由三角形内角和等于180°可得，；由条件“AC⊥BD，垂足为E”可得，在Rt△ABC 中，∠ADB=90°－∠CAD；从而∠BAC=2∠CAD。

第（2）问实际上是由几个常用的直线型几何模型组合而成。如图2（1）是轴对称模型，由条件“DF=DC”可得∠BDC=2 ∠CFD，结合（1）的结论∠BAC=2∠CAD 以及∠BDC=∠BAC，∠CAD=∠CBD，可得∠CFD=∠CBD，又因为“AC⊥BD，垂足为E”，所以AC 垂直平分BF，因此AC=AB=AF=10；如图2（3）是双直角共边直角三角形模型，应用勾股定理建立方程102-AE2=，解得AE=6，所以CE=4，再在Rt△ABE 中用勾股定理求得BE=8；如图2（3）是“X”型相似模型，可得，解得DE=3，所以BD=11；如图2（4）是三角形的等积模型，可得AB·DH=BD·AE，即：10×DH=11×6，解得再在Rt△ADH 中用勾股定理求得所以

图2 （1）

图2 （2）

图2 （3）

图2 （4）

（二）圆的性质综合应用的问题

圆相关知识综合应用的考查是中考数学中的一个重要内容，圆作为一个考查学生直观想象、逻辑推理、数学建模等核心素养的载体，除了上述常与直线形几何图形结合的考查外，常见的题目命制用到的重要性质及技法有：①运用圆是轴对称图形也是中心对称图形可以对相关结论作合理的猜测；②利用垂径定理，通过在由半弦、半径、弦心距组合成的直角三角形，运用勾股定理或锐角三角函数进行计算；③在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距等量对等量关系，可以转化相等关系；④由直径所对的圆周角是直角构造直角三角形以及与扇形面积有关的证明与计算也是圆的综合题中的另一个热点题型，求与圆有关的阴影部分的面积时，常常是通过把不规则图形的面积，用扇形的面积和三角形的面积的和差来解决。

例2：如图3，O 是Rt△ABC 斜边BC 边上一点，以O 为圆心的半圆与三角形的两直角边AB、AC 分别相切于D、E 两点，连接OD.已知AD=3，OB=

图3

求：（1）sin∠C；（2）图中两部分阴影面积的和.

解析：本题第（1）问的命题背景是圆切线性质的应用，由条件“以O 为圆心的半圆分别与AB、AC 边相切于D、E 两点”，应用圆切线的性质，连接OE 后，图中出现了Rt△COE，Rt△BAC，Rt△BOD，结合OD=OE，得到正方形ADOE，所以OD∥AC，OD=AD=3，所以∠BOD=∠C，所以在Rt△BOD 中，

第（2）问是与圆有关的阴影部分的面积计算的考查，把不规则图形的面积计算转化为规则图形的和差运算，S阴影=S△BOD+S△COE-（S扇形DOM+S扇形EON），结合（1）中得到的结论便可进行运算。

二、基本几何图形的应用

（一）应用圆的基本性质构造常用的基本几何图形

1.如图4，基于垂径定理，涉及圆中有关弦长、半径、弦心距的计算问题大都过圆心作弦的垂线段，构造直角三角形。

图4

2.如图5，基于定理“直径所对的圆周角是90°”，已知直径，大都连接圆中的一些线段与直径构造直角三角形。

图5

3.如图6，基于切线的性质定理，遇到直线与圆相切，常常连接圆心与切点，利用切线的性质得到垂直，再利用直角三角形的性质来解决问题.

图6

4.如图7，基于三角函数概念的应用，在圆中可得到一个常用的结论：一条圆的弦长，及它所对的圆周角度数，直径这三者的数量关系是：弦长=直径˙sin（弦所对的圆周角）。由此建立一个意识：圆中的弦长、直径、弦所对的圆周角，这三个量中已知两个，第三个量一定可解。

图7

（二）语言的转化，还原图形生成的过程

用好数学的文字语言、符号语言和图形语言的转化，还原图形的生成过程或便可从中分离出基本图形，理解图形的内在结构。

例3：如图8，在平面直角坐标系xOy 中，P 是直线y=2 上的一个动点，⊙P的半径为1，直线OQ 切⊙P于点Q，则线段OQ 的最小值为______.

图8

解析：由条件“直线OQ 切⊙P于点Q”可得到PQ⊥OQ，由“P 是直线y=2 上的一个动点，⊙P的半径为1”可得到⊙P是一个半径确定，圆心运动的圆，那么由这两个条件的符号语言结合图形语言可转化为文字语言理解为“直角三角形OPQ 中，边PQ=1 是确定的，点P 是主动点，点Q 是被动点，那么根据勾股定 理 知，在Rt△OPQ中，OQ=，那么线段OQ 的长度大小由OP 决定，OP最小则OQ 最小”，这样通过文字语言的转化理解题意后，把问题转化为“垂线段最短”的公理的模型应用，当OP 垂直于直线y=2 时候，线段OP 长度最小为2，那么本题得到解决。

（三）以基本几何图形为主结构，补全构图，激活核心条件

引导学生关注基本几何图形结构特征，激活问题中的核心条件。从题目显性条件的基础上，挖掘题目的隐性条件，在问题“核心条件”的激活上思考，通过添加辅助线，补全构图，以达到目标问题的顺利解决。

例4：如图9，⊙O 为等边△ABC 的外接圆，半径为2，点D 在劣弧AB 上运动(不与点A，B 重合)，连接DA，DB，DC.探究四边形ADBC 的面积S 是线段DC的长x 的函数吗？如果是，求出函数解析式；如果不是，请说明理由；

图9

解析：本题激活核心条件“等边△ABC”，如图10，补全手拉手模型的构图：延长DB 至H，使得DH=DC，连接CH,结合∠BDC=∠BAC=60°□等边△DHC，结合等边△ABC,构图了手拉手模型□△ADC≌△BHC □四 边 形ADBC的 面 积S=S△ADC+S△BDC=

（四）复杂图形分解为基本几何图形的基本思路

复杂的圆几何综合题通常是由圆与直线型、圆与圆型的几何图形的组合，使得图形复杂化，应用转化的数学思想，把复杂的图形拆解成基本几何图形，还原图形原来的模样。

例5：已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AC是⊙O 的直径，DE⊥AB，垂足为E,延长DE 交⊙O 于点F，延长DC，FB 交于点P，如图11（1），求证：PC=PB,（2）过点B 作BG⊥AD，垂足为G，BG 交DE 于点H，且点O 和点A 都在DE 的左侧，如图11（2），若AB=DH=1，∠OHD=80°，求∠BDE 的大小.

图11 （1）

图11 （2）

解析：本题第（1）问只需从题目条件从原图中分离出以下几个基本图形：

从条件“四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形”中分离出图12（1）可推得∠BAD=∠PCB,

从条件“AC 是⊙O 的直径”中分离出图12（2）可推得∠CBA=∠CDA=90°，

从定理“同弧所对的圆周角是90°”中分离出图12（3）可推得∠DAB=∠F，

从条件“DE⊥AB”以及∠CBA=90°中分离出图12（4）可推得∠CBP=∠F

从以上分离出的四个基本图形及其得到的结论可得到∠CBP=∠PCB,从而PC=PB.

本题第（2）问从题目条件和原图中分离出以下几个基本图形可以得到顺利解决：

从条件“BG⊥AD”结合第（1）的证明过程得到的∠ADC=90°，可得到BH∥DC，由（1）已证BC∥DH，故分离出图12（5），四边形DHBC 是平行四边形，设DH与OC 交予N 点，则∠ONH=∠ACB=60°，∠BDE=∠DBC,从条件“AB=，DH=1”结合第（1）问的证明过程得到的∠ABC=90°，可得到AC=2，即⊙O 的半径=1，故分离出图12（6）,可得到长度等于半径的线段有OD=OA=OC=BC=DH，从图（6）得到的结论可分离出图12（7）和12（8）可得到等腰△ODH 和等腰△OAD,从条件∠OHD=80°结合图12（7）得到的结论可得到∠ODH=20°，再结合已得到的结论“∠ONH=60°”可得到∠DOC=40°，结合图12（8）得到的结论可得到∠ADO=20°，结合从原图中分离出的图12（9）得到的∠ADB=∠ACB=60°可得到∠BDE=∠ADB－∠ADO－∠ODH=20°，故问题（2）得到解决。

图12 （1）

图12 （2）

图12 （3）

图12 （4）

图12 （5）

图12 （6）

图12 （7）

图12 （8）

图12 （9）

（五）隐藏圆的应用

1.如图13，根据圆的定义构造圆，圆，一中同长也——《墨子·经上》

图13

2.常见的“四点共圆”基本模型

如图14，在中考题中涉及的“四点共圆”就是共斜边且异侧双直角与同侧双直角模型

图14

例6：如图15，以直角△ABC 的斜边BC 为边在△ABC 的同侧作正方形BCEF,设正方形的中心为点O，连接AO，如果AB=4,AO=，则AC=

图15

解析：本题由条件可得，∠BAC=90°，∠BOC=90°，这就构成了以BC 为公共斜边的同侧双直角模型可推得点B、A、O、C 四点共圆，可得到∠OAC=∠OBC=45°，所以∠BAD=45°，所以△ABD 和△ACG 是等腰直角三角形，结合条件AB=4，可得到，再结合条件，得 到，由“K 形图”结合OB=OA，可推得△ADO≌△OCG，所以CG=OD=由已得到的△ACG 是等腰直角三角形可得到AC=16.

图16

3.定角定弦的隐圆_建立应用圆周角定理构造圆的意识

如图17，点D 是动点，点A、B 是定点，当满足∠ADB=α（α 是一个固定值），那么点D 的运动轨迹是在以I 为圆心，IA为半径的优弧AB 和以AB 为对称轴的另一侧的优弧AB，结合一个定点到动点D的距离，可求最大值与最小值问题。

图17

几何综合题图形构建复杂，问题解决需要综合思考，教学中可引导学生灵活应用以上解决问题基本思考方法，学会从复杂图形中还原命题原来的基本几何图形模型，培育学生会用数学的眼光观察事物；促进学生在学习中形成常态化的思维习惯，培育学生会用数学的思维思考；合理表达如何从复杂图形分解成基本几何图形，借助基本几何图形将复杂问题转化的思维过程，培育学生用数学的语言表达，达到提升学生解决这类综合问题的能力。［4］