结构性练习：小学数学模型建构探索——以“路程、时间与速度”的教学为例

余慧

（古田县教师进修学校，福建 宁德 352200）

在当前“双减”的背景下，教师越来越注重对课堂练习的设计，高品质的练习可以增效减负。数学模型是用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的数学结构。［1］教学中精心设计结构性的练习，引发学生经历从初步的、浅层性建模向高阶的、深层性的建模的探究过程，帮助学生形成结构化知识和结构化思维，从而构建结构化课堂。本文基于指向整体的小学数学结构性练习，以四年级下册“路程、时间与速度”一课的教学为例，谈谈在结构性练习中建构模型的课堂实践。

一、承启式练习，引领建构整体知识

常见的数量关系是对现实生活中复杂的数量关系的高度抽象。不管是“总价=单价×数量”，还是“路程=速度×时间”这些数量关系，从学生认知的源头来说，都是乘法运算意义在不同问题情境中的具体应用，都是由乘法运算衍生出来的简单的数学模型，都是乘法的意义具体表现，都是求几个几相加的和是多少。基于知识的本质特征，常见的数量关系的教学必须从整体架构，让学生自主建构形式化的数学知识，发展学生用数学的眼光观察现实生活的意识和能力。

［片段一］

师：上节课我们学习了“总价、单价与数量”这一常见的数量关系。现在我们再借助练习来捋一捋。

导学单第一题：

2.学校食堂购进4 袋大米，一袋大米50 元，一共要用多少元？

师：你是用什么方法解答这两道题的？生：都是用乘法计算。师：为什么都可以用乘法计算呢？带着这个问题开始新课的学习。

数学教学要用“大问题”来将知识中相同、相似乃至相对、相反的意义模块进行统整、优化、组合，使得数学知识成为更具生长力的结构体。［2］以上承启式练习，看似无关实则结构紧密联系的两道题，同样体现其背后的思维方式、思想方法。通过复习旧知引出不同知识的内在关联，产生一个大问题“为什么都可以用乘法计算呢？”来引领全课的学习。找准这个“整合点”，一方面有助于他们进一步调整和完善认知结构，体会数学核心知识在内容结构中的地位和作用；另一方面有助于他们更加宏观地把握不同数量关系的联系和区别，引领建构整体知识，使数学知识成为具有生长力的结构体。

二、开放式练习，促进理解概念关系

模型建构的过程是一个有意义的学生主动接受的过程。“路程、时间与速度”这个常见的数量关系的研究，必须联系三个概念的关系进行教学，不宜割裂思考。在教学过程中，教师联系学生熟悉的真实情境，设计结构性的开放练习，发挥学生的自主性、独特性与创造性，展示学生解决问题的个性化和多样化，使每个学习个体从不同的角度真正参与进来，在练习中发现常见的数量关系从而建构数学模型。

［片段二］

师：城西小学是一个体育强校，让我们走进赛场去领略运动员的风采吧。（课件出示）在丰富多彩的体育活动中，最受同学们喜欢的就是田径比赛。田径比赛这个项目比的是什么？生：速度。师：你们觉得什么是速度？生：跑得快，就是速度快。

导学单第二题：

学校需要选一名运动员参加今年的县级田径比赛。根据下表的信息，你认为该选谁，请说明理由。

小组讨论后反馈。

1.推理

师：大家认真观察这张统计表，你认为该选谁，请说明理由。生1：李少雄比陈曦跑得快。因为同样21 米的路程，李少雄用了3 秒，陈曦用了4 秒，李少雄用的时间更少。生2：路程相同，用的时间少就说明速度快。生3：魏远川比陈曦跑得块。因为同样4 秒的时间，魏远川跑了24 米，陈曦跑了21 米，魏远川跑的路程更多。生4：时间相同，跑的路程更多就说明速度快。师：刚才大家运用推理很快就比出快慢来，路程相同就直接比时间，时间相同就直接比路程。

2.运算

师：经过两次的比一比，你有结果了吗？生1：李少雄和魏远川所用时间不同，路程也不同。生2：所用时间不同，路程也不同，就无法比较了吗？师：请大家带着这个问题完成导学单第二题，完成之后小组分享各自的想法。师：老师收集到了几个小组的作业，请分享一下各组的想法。

生：我是通过计算比较出来的。李少雄21 米除以3，每秒跑7 米。魏远川24 米除以4，每秒跑6 米。所以李少雄速度快。师：这里求出来的7 米、6 米表示什么?生1：表示速度。生2：通过画线段图也可以比较，李少雄每秒跑的线段更长，所以李少雄的速度更快。（学生作业如图1）

图1

生：路程不同，时间也不同，也可以比出速度的快慢，只要对比相同时间跑的路程就行。师：你们同意他的观点吗？你能结合线段图说说他的意思吗？生1：线段图的每一段都表示多少时间跑的路程？生2：一秒跑的路程。

3.建模

师：在比较过程中，无论通过计算还是画线段图，都可以比较出每秒跑的路程。每秒跑的路程，在数学上就是什么？生：速度。师：在路程和时间都不相同的情况比快慢，就是比什么？生1：速度。生2：速度=路程÷时间。

以上练习是开放性的说理练习，意在发挥学生的自主性、独特性与创造性，展示学生解决问题的个化和多样化，让学生在说理的过程中沟通“路程、时间、速度”三者之间的关系。练习设计两个相同的时间，两个相同的路程，引出三个层次的“比一比”，激发建构模型的需求，水到渠成抽象概括出“路程÷时间=速度”这个常见的数量关系。学生在推理和运算中，明确“路程、时间与速度”三者之间的关系。通过练习学生经历给“半成型”的线段图分一分画一画，取线段中“相同时间跑的路程”进行比较，学生深刻体会到每秒跑的路程就是比较的标准，明确“速度”就是表示这样的一份是多少，形成“速度”的直观表象，建立起“速度模型”开放式的解决方案。这样的课堂练习再现了学生的生活经验，使新旧知识发生相互作用，凸显“速度、时间、路程”概念之间的联系，帮助学生从现实问题中抽象出数量关系。

三、互逆式练习，明晰结构深化模型

结构性是数学学科的本质特性。［3］数学的学习必须准确把握知识本身的逻辑结构。教师联系生活实际设计有结构的课堂练习，有助于学生把握知识的逻辑结构。在引导学生解决生活实际问题的过程中，明确要解决的是什么样的问题，明晰这样的问题属于什么类的模型结构，在促进模型的深化的同时，形成结构化思维，发展学生数学核心素养。

［片段三］

视频简介绿皮火车、“和谐号”高铁动车和“复兴号”高铁动车的情况。

导学单第三题：

随着社会和科学技术的发展，家乡的交通越来越便捷。1.古田到上海的铁路全长是960 千米，绿皮火车平均速度是80 千米/时，乘坐绿皮火车从古田到上海需要多少小时？2.和谐号高铁动车平均速度是240 千米/时，从古田到上海需要行驶4 小时，古田到上海路程是多少千米？3.古田到上海铁路全长大约960 千米，如果乘坐复兴号高铁动车需要行驶3 小时，复兴号高铁动车平均速度是多少千米/时？

（学生完成后反馈。）师：能分享一下你用的是哪个数量关系式解决问题吗？生1：第1 题我用的是：路程÷速度=时间。生2：第2 题我用的是：速度×时间=路程。生3：第3 题我用的是：路程÷时间=速度。

师：以上三个小题，有的是求时间，有的是求路程，有的是求速度，用不同的数量关系式解决，但是不论哪种方法，都是“路程、时间与速度”三者关系的灵活应用。

在教学过程中，知识的掌握、技能的形成、思维的激发、素养的发展，都需要组织科学的、合理的练习。有时，依据学习内容的需要，可以设计有一定量的、系统的练习题组，让学生在练习题组的完成中联系生活应用，促进模型的深化。以上互逆式的练习，把同一情境、同一模型、结构互逆的三道题编成一组，意在让学生掌握“速度、时间和路程”的数学模型，深度理解三个数量关系式以及三者之间的联系，并举一反三，灵活运用数学模型解决生活中的实际问题，促进模型的深化。以上互逆式练习，把同一情境、同一模型、结构互逆的三道题编成一组，意在让学生掌握“速度、时间和路程”的数学模型，深度理解三个数量关系式以及三者之间的联系，并举一反三灵活运用数学模型解决生活中的实际问题，这样的练习更能促进模型的深化。另外，在练习的同时感受家乡交通状况的巨大进步，激发学生爱祖国、爱家乡、爱科学的情感。

四、同质式练习，重构结构拓展模型

数学教学，要合理利用知识的“同化”或“顺应”，用原有的知识结构去吸收和融合新的知识，及时调整学习方法和策略，使知识结构发生改变并进行重构的学习过程。小学阶段有两个重要的乘法模型：路程、时间、速度和总价、数量、单价。速度和单价都是由两个不同类量的比得到的，这些模型的知识本质是一致的。［1］在教学中，要突出知识本质，重构知识结构，促进模型的拓展。

［片段四］

导学单第四题：

请解答以下问题，并在小组里说说你的发现。

1.一辆汽车速度为80 千米/时，3 小时行驶多少千米？2.一款书包售价为80 元/个，买3 个需要付多少元？3.一种大米重量为80 千克/袋，3 袋大米一共多少千克？

师：对比这三道问题，你们组有什么发现？生：都可以用80×3 计算。师：不同的3 道题为什么可以列出相同的乘法算式？生：都表示3 个80 是多少。

师：这里的80 指的是什么？3 指的什么？结合课件的线段图。生1：80 指的是每份数，3 指的是份数。生2：每份数×份数=总数。

师：数学就是这么神奇，这就是乘法模型的魅力。如果每份数表示速度，你会想到哪个数量关系？如果每份数表示单价，又是哪个数量关系？

生1：速度×时间=路程。

生2：单价×数量=总价。

数学学习的过程实则是一个不断抽象、不断建模，并把小模型不断纳入大模型的结构化的过程。以上同质式练习，意在把知识本质一致的“路程=速度×时间”和“总价=单价×数量”常见的数量关系纳入乘法模型这个结构中去，让学生明白“路程、速度、时间”和“总价、单价、数量”都属于乘法模型系统，都可以表示几个几是多少，形成更具广泛性的“总数、每份数、份数”模块结构。［4］建立学生眼中有“树木”，心中有“森林”的整体性认知格局，促进模型的拓展，让学生带着联系的眼光学习数学，形成结构化思维和整体意识，促进核心素养的发展。

总之，教师积极设计指向整体的结构性练习，给学生充分的练习、讨论和思考的时间，放慢教学的步伐，放大思维的空间，引导学生深度学习，学生学到的才会是“带得走”的数学，这样的结构性练习才能将结构化的理念融入课堂，真正为课堂增效为学生减负。