“板块”模型中的共速问题探究——从2022年3月湖北省七市州联考物理卷第16题说起

■湖北省松滋市第一中学 刘万强

2022年3月湖北省七市州联考物理卷第16题:如图1甲所示,质量mA=4 kg的物块A与质量mB=2 kg的长木板B并排放置在粗糙的水平面上,二者之间夹有少许塑胶炸药,长木板B的右端放置有可视为质点的小物块C。现引爆塑胶炸药,爆炸后物块A可在水平面上向左滑行s=1.2 m,小物块C的速度随时间变化的图像如图1乙所示。已知物块A和长木板B与水平面之间的动摩擦因数均为μ0=,小物块C未从长木板B上掉落,取重力加速度g=10 m/s2,求:

图1

(1)炸药爆炸后瞬间长木板B的速率。

(2)小物块C的质量mC。

(3)小物块C静止时距长木板B右端的距离d。

问题:炸药爆炸后,长木板B向右做减速运动,小物块C向右做加速运动,在长木板B和小物块C达到共速后,很多同学不能正确判断二者是否共同运动。

在“板块”模型中,当二者的速度相等后,正确判断二者是否具有相同的加速度,受到的是静摩擦力还是滑动摩擦力,是解决相关问题的关键。如何进行判断呢? 下面就从数据体验、情景归纳、分类讨论三个层次进行探究。

1.数据体验。

如图2所示,A、B两滑块叠放在光滑水平面上,已知A、B两滑块的质量分别为mA=1 kg,mB=2 kg,滑块A与B之间的动摩擦因数μ=0.4,取重力加速度g=10 m/s2。现用一水平恒力F作用在滑块B上,请分别计算在恒力F取以下四个数值时,A、B两滑块的加速度。

图2

(1)F=6 N,(2)F=12 N,(3)F=18 N,(4)F=24 N。

分析:因为不知道在外力F作用下A、B两滑块是否共同运动,所以需要先采用假设法,假设A、B两滑块共同运动,求出二者共同运动时的加速度,再隔离滑块A,分析其受到的摩擦力,判断该摩擦力是否小于最大静摩擦力,进而判断假设是否成立。

解:(1)当F=6 N 时,假设A、B两滑块共同运动,则其加速度滑块A受到的摩擦力fA=mAa=2 N,滑块B对A的最大静摩擦力fAmax=μmAg=4 N。因为fA＜fAmax,所以假设成立,即A、B两滑块的加速度aA=aB=2 m/s2。

(2)当F=12 N 时,假设A、B两滑块共同运动,则其加速度滑块A受到的摩擦力fA=mAa=4 N=fAmax,因此假设成立,即A、B两滑块的加速度aA=aB=4 m/s2。

(3)当F=18 N 时,假设A、B两滑块共同运动,则其加速度滑块A受到的摩擦力fA=mAa=6 N＞fAmax,因此假设不成立。根据牛顿第二定律,对滑块A有fAmax=mAaA,对滑块B有FfAmax=mBaB,解得aA=4 m/s2,aB=7 m/s2。

(4)当F=24 N 时,假设A、B两滑块共同运动,则其加速度滑块A受到的摩擦力fA=mAa=8 N＞fAmax,因此假设不成立。根据牛顿第二定律,对滑块A有fAmax=mAaA,对滑块B有FfAmax=mBaB,解得aA=4 m/s2,aB=10 m/s2。

感悟:(1)静摩擦力具有被动性,其大小和方向受外力和运动状态的影响。(2)在不确定A、B两滑块受到的是静摩擦力还是滑动摩擦力的情况下,可以采用假设法进行研究,判断假设成立的关键是在零到最大静摩擦力的范围内找到符合整体运动状态的静摩擦力。(3)最大静摩擦力是两者保持相对静止的临界状态,可以先隔离物块A研究其在最大静摩擦力作用下的最大加速度,再采用整体法研究A、B两滑块保持相对静止时外力F的临界值F0,当外力F不大于临界值F0时,两者保持相对静止共同运动;当外力F大于临界值F0时,两者发生相对运动。

2.情景归纳。

案例1 如图3所示,质量mC=1 kg 的小物块C和质量mB=2 kg 的长木板B叠放在水平面上,已知长木板B与水平面之间的动摩擦因数小物块C与长木板B之间的动摩擦因数μ=0.1,取重力加速度g=10 m/s2,则当小物块C和长木板B具有共同的速度v=1 m/s时,求长木板B和小物块C的加速度aB、aC。若将小物块C与长木板B之间的动摩擦因数改为μ＇=0.2,其他条件不变,求长木板B和小物块C的加速度aB＇、aC＇。

图3

解析:假设小物块C和长木板B共同运动,则其加速度小物块C受到的摩擦力fC=,长木板B对小物块C的最大静摩擦力fCmax=μmCg=1 N。因为fC＞fCmax,所以假设不成立。根据牛顿第二定律可得,小物块C的加速度,长木板B的加速度2 m/s2。若将小物块C与长木板B之间的动摩擦因数改为μ＇=0.2,则长木板B对小物块C的最大静摩擦力fCmax=μ＇mCg=2 N。假设小物块C和长木板B共同运动,则其加速度,小物块C受到的摩擦力fC＇=,因此假设成立,即长木板B和小物块C的加速度aB＇=aC＇=

因此,要想保证小物块C与长木板B不发生相对运动,则需满足条件μ0g≤μg,即μ0≤μ。

案例2 如图4所示,质量mA=1 kg 的滑块A和质量mB=2 kg的滑块B叠放在水平面上,已知A、B两滑块之间的动摩擦因数μ1=0.4,滑块B与水平面之间的动摩擦因数μ2=0.2,取重力加速度g=10 m/s2。现用一水平恒力F作用在滑块B上,请分别计算在恒力F取以下两个数值时,A、B两滑块的加速度。

图4

(1)F=9 N,(2)F=24 N。

解析:(1)当F=9 N 时,假设A、B两滑块共同运动,则其加速度a=,滑块A受到的摩擦力fA=mAa=1 N,滑块B对A的最大静摩擦力fAmax=μ1mAg=4 N。因为fA＜fAmax,所以假设成立,即A、B两滑块的加速度aA=aB=1 m/s2。

(2)当F=24 N 时,假设A、B两滑块共同运动,则其加速度a==6 m/s2,滑块A受到的摩擦力fA=mAa=6 N＞fAmax,假设不成立。根据牛顿第二定律可得,滑块A的加速度aA＇==4 m/s2,滑块B的加速度aB＇=

因此,要想保证A、B两滑块不发生相对运动,则需满足条件≤μ1g,即F≤(μ1+μ2)(mA+mB)g。

案例3 如图5所示,一滑块放在水平传送带上,与传送带保持相对静止,以速度v=6 m/s共同向右运动,已知滑块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.3。某时刻传送带突然做加速度为a的匀减速运动,若加速度a分别取值2 m/s2和4 m/s2,取重力加速度g=10 m/s2,请分别计算滑块的加速度a1、a2。

图5

解析:设滑块的质量为m,当加速度a=2 m/s2时,假设滑块和传送带共同运动,则滑块受到的摩擦力f=ma=2m(N),传送带对滑块的最大静摩擦力fmax=μmg=3m(N)。因为f＜fmax,所以假设成立,即滑块的加速度a1=2 m/s2。

当加速度a=4 m/s2时,假设滑块和传送带共同运动,则滑块受到的摩擦力f=ma=4m(N)＞fmax,假设不成立。根据牛顿第二定律可得,滑块的加速度

因此,要想保证滑块和传送带不发生相对运动,则需满足条件ma≤μmg,即a≤μg。

案例4 如图6所示,一倾斜的传送带以速度v=10 m/s向下运动,传送带的倾角θ=37°,某时刻将滑块以方向沿传送带向下,大小为10 m/s的速度放在传送带的中段,取重力加速度g=10 m/s2。若滑块与传送带之间的动摩擦因数分别取值μ1=0.5和μ2=0.75,请分别计算滑块的加速度a1、a2。

图6

解析:设滑块的质量为m,当滑块与传送带之间的动摩擦因数μ1=0.5时,假设滑块和传送带共同运动,则根据平衡条件得f=mgsinθ=6m(N),传送带对滑块的最大静摩擦力fmax1=μ1mgcosθ=4m(N)。因为f＞fmax1,所以假设不成立。根据牛顿第二定律可得,滑块的加速度a1=

当滑块与传送带之间的动摩擦因数μ2=0.75时,假设滑块和传送带共同运动,则根据平衡条件得f=mgsinθ=6m(N),传送带对滑块的最大静摩擦力fmax2=μ2mgcosθ=6m(N)。因为f=fmax2,所以假设成立,即滑块的加速度a2=0。

因此,要想保证滑块和传送带不发生相对运动,则需满足条件mgsinθ≤μmgcosθ,即μ≥tanθ。

总结:两物体达到共速后保持相对静止的条件为被动运动的物体在最大静摩擦力作用下的加速度a＇不小于两物体共速后整体的加速度a。

3.分类讨论。

(1)光滑水平面,外力作用在滑块上。

如图7所示,滑块A和长木板B叠放在光滑水平面上,已知滑块A和长木板B的质量分别为mA、mB,滑块A与长木板B之间的动摩擦因数为μ。现在滑块A上施加一水平恒力F,假设最大静摩擦力与滑动摩擦力相等,则在不同大小外力F作用下,滑块A和长木板B的运动情况如下:(1)当时,滑块A和长木板B相对静止,共同运动,且加速度;(2)当F＞时,滑块A相对长木板B发生运动,且滑块A的加速度aA=,长木板B的加速度

图7

例1如图8所示,一质量为m1的足够长木板放置在光滑水平面上,木板上叠放一质量为m2的木块。假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。现对木块施加一随时间t增大的水平力F,已知F=kt(k是常数),设木板和木块加速度的大小分别为a1、a2,则如图9所示四幅反映a1和a2变化的图像中正确的是( )。

图8

图9

解析:当F较小时,木块和木板一起以相同的加速度运动,当F增大到某一值时,木块相对木板开始滑动,木板在水平方向上仅受滑动摩擦力作用,加速度不变,木块在水平上受到的合外力增大,加速度增大,因此二者的加速度变化不同。当F较小,木板和木块之间的作用力为静摩擦力时,根据牛顿第二定律得kt= (m1+m2)a,解得a=,在a-t图像中是一条过原点的倾斜直线。设木块和木板之间的动摩擦因数为μ,则木板的最大加速度当F增大到使木块的加速度a2＞μg时,木块和木板之间的作用力为滑动摩擦力,对木板应用牛顿第二定律得μm2g=m1a1,解得a1=为定值,在a-t图像中是一条平行于t轴的直线;对木块应用牛顿第二定律得ktμm2g=m2a2,解得,因为,所以在a-t图像中表示a2的直线的斜率更大。

答案:A

(2)粗糙水平面,外力作用在滑块上,长木板与水平面之间的滑动摩擦力较小。

如图10所示,滑块A和长木板B叠放在水平面上,已知滑块A和长木板B的质量分别为mA、mB,滑块A与长木板B之间的动摩擦因数为μ1,长木板B与水平面之间的动摩擦因数为μ2。现在滑块A上施加一水平恒力F,假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等,且μ1mAg＞μ2(mA+mB)g,则在不同大小外力F作用下,滑块A和长木板B的运动情况如下:(1)当F≤μ2(mA+mB)g时,滑块A和长木板B均保持静止状态;(2)当μ2(mA+mB)g＜F≤时,滑块A和长木板B保持相对静止,共同运动,且加速度aA=aB=;(3)当F＞时,滑块A相对长木板B发生运动,且滑块A的加速度aA=,长木板B的加速度

图10

例2(2021年高考全国乙卷)水平地面上有一质量为m1的长木板,木板的左端有一质量为m2的物块,如图11所示。用水平向右的拉力F作用在物块上,F随时间t的变化关系如图12甲所示,其中F1、F2分别为t1、t2时刻F的大小。木板的加速度a1随时间t的变化关系如图12乙所示。已知木板与地面之间的动摩擦因数为μ1,物块与木板之间的动摩擦因数为μ2,假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等,重力加速度大小为g。则( )。

图11

图12

A.F1=μ1m1g

B.F2=(μ2-μ1)g

C.μ2＞

D.在0～t2时间段物块与木板的加速度相等

解析:根据木板的加速度—时间(a1-t)图像可知,t1时刻物块与木板一起恰好沿水平地面开始滑动,此时物块与木板相对静止,对由物块和木板组成的整体应用牛顿第二定律得F1=μ1(m1+m2)g,选项A 错误;t2时刻物块与木板刚要发生相对滑动,对由物块和木板组成的整体应用牛顿第二定律得F2-μ1(m1+m2)g=(m1+m2)a,对木板应用牛顿第二定律得μ2m2g-μ1(m1+m2)g=m1a＞0,解得,选项B、C 正确。因为在0～t2时间段物块与木板相对静止,所以有相同的加速度,选项D 正确。

答案:BCD

(3)粗糙水平面,外力作用在滑块上,滑块与长木板之间的滑动摩擦力较小。

如图13所示,滑块A和长木板B叠放在水平面上,已知滑块A和长木板B的质量分别为mA、mB,滑块A与长木板B之间的动摩擦因数为μ1,长木板B与水平面之间的动摩擦因数为μ2。现在滑块A上施加一水平恒力F,假设最大静摩擦力均与相应的滑动摩擦力相等,且μ1mAg＜μ2(mA+mB)g,则在不同大小外力F作用下,滑块A和长木板B的运动情况如下:(1)当F≤μ1mAg时,滑块A和长木板B均保持静止状态;(2)当F＞μ1mAg时,滑块A做加速运动,且加速度aA=;长木板B保持静止状态,加速度aB=0。

图13

例3如图14所示,物块放在静止于水平地面上的木板上,已知物块的质量m=3 kg,木板的质量M=5 kg,物块与木板之间的动摩擦因数μ1=0.3,木板与地面之间的动摩擦因数μ2=0.2,取重力加速度g=10 m/s2。当不同大小的水平外力F作用在物块上时,下列判断中正确的是( )。

图14

A.当F＞9 N 时,木板相对地面滑动

B.当F=16 N 时,物块恰好开始相对木板滑动

C.当F=9 N 时,物块恰好开始相对木板滑动

D.木板不可能相对地面滑动

解析:物块与木板之间的最大静摩擦力fmax1=μ1mg=9 N,木板与地面之间的最大静摩擦力fmax2=μ2(m+M)g=16 N。当F=9 N,即F=fmax1时,物块恰好开始相对木板滑动,选项B错误,C正确。因为fmax1＜fmax2,所以木板不可能相对地面滑动,选项A错误,D 正确。

答案:CD