一道高考题引发的思考

董双双

(常平中学，广东 东莞 523000)

涉及构造函数的题目在近几年的数学高考中反复出现，是一个常考点.这种类型的题目经常和导数、函数的单调性、比较大小、不等式问题等结合起来，对学生的综合能力要求较高.要解决这类问题，首先要掌握常见的构造函数的方法，学会举一反三，灵活变通，然后借助常用的数学方法，对构造出来的函数进行研究讨论，最后达到解决问题的目的.

1 试题引入

( )

A.a

C.b

(2021年全国数学高考卷Ⅰ理科试题第12题)

1.1 试题分析

函数与方程、转化与化归是高中数学思想中重要的两大思想方法，而构造函数的解题思路恰好是这两种思想方法的良好表现.本题处于整卷的第12题，在选择题的压轴位置，难度较大.通过观察不难发现：a和b是底数相同的对数式，易于比较大小，难点在于a与c、b与c的比较.如果能够巧妙地构造一个函数，并通过函数的单调性解决问题，那么本题就简单很多.在高考中，要想在短时间内既快又准地构造出合适的函数，并且能通过导数研究出函数的单调性，对学生来说，难度较大.

1.2 解题方法探究

解因为a=2ln 1.01=ln 1.012=ln(1+0.01)2

=ln(1+2×0.01+0.012)>ln 1.02=b，

所以b

f(0)=0，

因为1+4x-(1+x)2=2x-x2=x(2-x),所以当0

1+4x-(1+x)2>0，

即

从而

f′(x)>0，

于是f(x)在[0,2]上单调递增，故

f(0.01)>f(0)=0，

即

亦即

a>c.

g(0)=0，

由于1+4x-(1+2x)2=-4x2，当x>0时，

1+4x-(1+2x)2<0，

从而g′(x)<0，即函数g(x)在[0，+∞)上单调递减，因此

g(0.01)

即

亦即

b

综上所述，b

评注利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a，b的大小做出判定，对于同上的大小关系，可以将0.01换成x，分别构造函数

利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0，g(0)=0即可得出a与c、b与c的大小关系.

以上是将不等式问题通过构造函数求解，解题思路较为简单.构造函数是高中数学中一种常见的解题方法，那么常见的构造函数方法有哪些呢？

2 探究常见的构造函数的思路与技巧

构造函数一直是高考的常考点之一，要想在高考中既快又准地解决问题，必须将构造函数的题型系统化.下面选取了几类高考中较为常见的构造函数的题型，供大家思考和反思.

2.1 作差构造函数

作差构造法是处理函数问题最基本、最常用的方法，此法一般通过构造函数F(x)=f(x)-g(x)，进而转化为F(x)min≥0或F(x)max≤0，从而通过求函数的最值解决问题.

证明先证ln(1+x)≤x.设函数f(x)=ln(1+x)-x，定义域为(-1,+∞)，求导得

当-10，即f(x)在(-1，0)上单调递增；当x>0时，f′(x)<0，即f(x)在(0，+∞)上单调递减.因此，x=0是f(x)唯一的极大值点，也是最大值点.

当x>-1时，

f(x)≤f(0)=0，

即

ln(1+x)-x≤0，

亦即

ln(1+x)≤x.

当-10时，g′(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增.因此，x=0是g(x)唯一的极小值点，也是最小值点.当x>-1时，

g(x)≥g(0)=0，

即

故

评注作差法是常用的证明不等式的函数构造方法.这种方法经常与导数、不等式的性质相结合，主要步骤有3个：一作差，二变形构造，三判断，关键是构造函数并研究其性质.这种题型思路简单明了，易于掌握，是构造函数的基础题型.

2.2 利用导数的运算法则构造函数

例3已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)<-f′(x)，则下列式子成立的是

( )

A.f(2 020)>ef(2 021)

B.f(2 020)

B.ef(2 020)>f(2 021)

D.ef(2 020)

解设g(x)=exf(x)，求导得

g′(x)=exf(x)+exf′(x)=ex[f(x)+f′(x)].

因为f(x)<-f′(x)，即

f(x)+f′(x)<0，

所以

g′(x)<0，

从而g(x)在R上是减函数.因此，

g(2 020)>g(2 021)，

即

e2 020f(2 020)>e2 021f(2 021)，

变形可得

f(2 020)>ef(2 021).

故选A.

评注这是一道典型的运用导数运算法则构造函数的题目.由f(x)+f′(x)<0可以构造函数g(x)=exf(x)，再通过求导研究新函数的单调性，利用单调性比较大小.

导数构造法是近几年高考函数应用中常见的解题方法，也是解决抽象不等式问题的基本方法之一.我们可以通过对不等式的观察研究和深入思考构造出恰当的函数，再研究函数的单调性、周期性和奇偶性等，从而解决问题[1].虽然此类题目变化多样，但也是有一定的规律可循的.可以根据导数的四则运算法则，将其归纳为构造和差型、乘积型、作商型、指数型等函数，具体总结归纳如下：

1)若f′(x)g(x)+f(x)g′(x)>0，则构造函数F(x)=f(x)g(x);

2)若f′(x)±g′(x)>0，则构造函数F(x)=f(x)±g(x)；

3)若f′(x)+f(x)>0，则构造函数F(x)=exf(x)；

5)若xf′(x)+nf(x)>0，则构造函数F(x)=xnf(x)；

变式1定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)满足f′(x)>2f(x)，则下列不等式关系正确的是

( )

A.e2f(-2)4f(0)

因为f′(x)>2f(x)，所以g′(x)>0，从而g(x)在R上单调递增，于是

g(-2)g(0)，

即

亦即

e2f(-2)4f(0),

故选项A，B，C正确.

2.3 利用左右形式相当同构函数

例4若2a+log2a=4b+2log4b，则

( )

A.a>2bB．a<2bC．a>b2D．a

(2020年全国数学高考新课标卷理科试题第12题)

解由2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b,可设f(x)=2x+log2x，则f(x)为增函数，且

f(a)-f(2b)=2a+log2a-(22b+log22b)

=22b+log2b-(22b+log22b)

即

f(a)

于是

a<2b.

故选B.

评注例4来自2020年全国数学高考新课标卷理科试题第12题.这种题型的一般形式是一个式子中含有两个变量，通过适当变形后，两边的结构相同，可以取左或取右构造函数，我们把这种题型叫做同构函数题型.同构函数在近几年的高考题中出现较多，要引起重视.

变式2已知函数f(x)=x(x-lnx).

1)讨论f(x)的单调性；

(2021年全国数学新高考Ⅰ卷第22题)

评注很明显这道全国卷压轴题的第2)小题考查了同构函数.由blna-alnb=a-b，变形为

b(lna+1)=a(lnb+1)，

即

可以构造函数f(x)=x(1-lnx)，得

再将此题转化为极值点偏移问题求解，在此就不再赘述.

近两年高考中同构函数的题目反复出现，而且多在选择题和解答题压轴题的位置，一般难度较大，综合性强，学生得分较难.为此，在备考过程中要紧扣教材，掌握函数中常见的解题方法，并学会将各种方法融会贯通，举一反三，这样才能在高考大战中做到游刃有余，立于不败之地！

2.4 将双变量问题转化成单变量问题构造函数

对于题目中涉及两个变量的问题，我们可以通过题目中的已知条件，将两个变量的和、差、商作为一个新整体设为新变量，构建一个关于新变量的函数，再研究新函数的性质从而解决问题，这样可以把复杂问题简单化.

证明不妨设x1

f(x1)=0，f(x2)=0，

即

两式相减,得

从而

要证

x1+x2+2>2ax1x2,

只需证

即

亦即

所以h(t)在(1,+∞)上单调递增，故

h(t)>h(1)=0，

得证.

评注本题中两个变量x1,x2，再加上参数a，3个变量鼎立，令人心烦，但是三者又有两个方程，虽不能解之，但通过两个方程可以得到三者之间的关系.利用这个桥梁关系进行合理消元进而化为一元函数式，再构造函数求解.消元和化元其实就是一个化繁为简的过程，印证了我们的教学理念“将复杂问题简单化”.除此之外，在其他二元问题上，我们也可以尝试通过消元构造函数或者三角换元，化为一元[2].

变式3若x,y是实数，且x2-xy+y2=1，求x+2y的取值范围.

分析由x2-xy+y2=1可联想到sin2θ+cos2θ=1，然后用三角换元构造一个新的三角函数，再进行求解.

解题中的等式可以化为

3 小结

构造函数是近几年高考中的一个热门考点.本文以一道高考题为引例，思考并归纳了几种常见的构造函数的方法，如作差构造函数、导数法则构造函数、同构函数、化双变量为单变量构造函数等，思考将不等式问题、抽象函数问题、双变量问题等转化成常规的函数问题，并利用函数的性质解决问题.在高考备考过程中，我们应该将重点放在培养学生的逻辑思维、推理能力以及化归与转化的能力上，从而使学生能举一反三，并将这些数学思想融会贯通，以后遇到复杂的问题更能懂得如何解决和处理，从而实现真正的素质教育[3].