巧施“借题发挥”，发展解题能力

张啸

[摘  要] 设计与实施“借题发挥”，可以打开学生的思维通道，实现关注典型和有效变式等课堂行为的“转身”，培养学生尝试创新的解题策略，发展解题能力. 基于此，研究者认为可以从一题多解、一题多变和多题归一这三个“借题发挥”的途径出发实施教学，以发展学生的解题能力.

[关键词] 解题教学;一题多解;一题多变;多题归一

数学是一门基础性学科，在高中阶段占据着主体地位. 罗增儒教授说：“数学学习中发现数学的地方都无一例外地充满着数学解题活动.”由此可见，适量的解题活动可以巩固双基、促进思维和形成能力，解题活动的效能影响着高考水平的发挥. 当然，不管是教师还是学生都无人质疑解题活动对于数学学习的重要意义，但一些教师由于对数学解题的偏差理解，从而在操作上也是千差万别的，有些教师习惯于题海战术，有些教师热衷于就题论题，这样的解题活动只是在不停地灌输题目的解法，很难经历解法发现的过程，更不要说探究习题中蕴含的数学本质. 学生对这些题目经常是只知其然，而并不知其所以然，如此低水平的重复训练谈何高效教学，谈何创新精神的培养，谈何解题能力的发展？

当然，课堂教学的时间是有限的，教师该如何以适量的解题活动建构高效数学课堂呢？本研究通过实践后发现，可以设计与实施习题的“借题发挥”，打开学生的思维通道，实现关注典型和有效变式等课堂行为的“转身”，培养学生尝试创新的解题策略，发展解题能力.

[⇩] “借题发挥”途径之一——一题多解

一题多解就是通过多角度和多方位思维，并由不同的思考角度得到多种不同解法的一种训练模式. 数学学习的主要目的在于提高学生的解题能力，而能力的形成是以思维为依托的，思维是形成解题能力的重要“物质基础”，倘若没有以思维为依托，则很难形成解题能力. 因此，解题教学的一个重要任务就是引导学生朝着多个思维方向寻求解决问题的方法，也就是通过一題多解的训练，拓宽学生的解题思路，并通过多个解法优劣性的比较，择优弃劣，长此以往，便可以提高学生的解题速度和质量，培养思维能力，发展智力.

教学说明：一题多解训练是拓展思路的良好举措，因为每个学生对同一问题的观察点和思考点不同，由此会得出不同的信息组合. 教师在教学中时常鼓励学生从不同角度思考，用自己擅长的方法解题，可以让学生在多向思维中，培养求异思维和发散思维，从而更好地创造数学和运用数学[1]. 本例中，教师利用不多的时间“借题发挥”，激发学生强烈的发现和创造欲望. 学生通过发散和活跃思维，经过思考后选择从正弦定理或余弦定理入手，至此解法的形成水到渠成. 在这个过程中，由于解题的视角完全不同，故自然而然地生成不同的解法. 就这样，通过一题的训练就可以完成对正弦、余弦定理知识结构的巩固，有效促进多个模块知识间的沟通，从而让学生对“解三角形”这一章节的知识有了充分的认识. 与此同时，学生也因为这一解题活动有了成就感和归属感，不亦乐乎.

[⇩] “借题发挥”途径之二——一题多变

一题多变就是保持题目的实质不变，通过变式来变化一些条件或结论，随着不断演化，让其涉及的知识方法处于动态发展的过程之中，让学生在解决各种变化情境的问题中思维活跃，从而激发学生的创新思维. 当然，这样的训练过程对于学生来说不仅是数学解题的过程，更是一种探究学习的过程，而这些变式训练所得的结论不仅能有效拓展题目所涉及知识的深度和广度，丰富学生的解题策略，同时也能培养他们的思维习惯，提高他们的思维能力. 如此看来，岂不是两全其美的好事.

教学说明：事实上，一题多变，无论如何变化，本质都不会改变. 以上的变式作为一个热点问题，经常能在平时的训练中碰到，此处的“借题发挥”，并没有过多地变化问题的背景，仅仅是微调了一些条件或结论，这样一来，学生就可以在短时间内上手，从而节约解题时间，加大课堂容量，这何愁无法提升教学效率？同时，在练习的过程中，还可以感知题目共同的本质特征，以强化运用该本质解题的基本方法，优化学生的解题思维.

[⇩] “借题发挥”途径之三——多题归一

多题归一就是一组表面看似毫无关联的题目有着相似的解题思路和步骤，甚至结论也十分类似. 事实上，多题归一的本质是“以不变应万变”，也就是在不同思维火花的碰撞中提炼思想方法，进而化繁为简，使知识系统化，提高学生处理问题的归一能力，最终达到提高解题能力的终极目标.

例3  已知数列{a}的前n项和是S，且p，q均为与n无关的常数. 若=pn+q（n∈N*），是否存在p，q使得数列{a}为等差数列？若存在，求出p，q的值;若不存在，请说明理由.

教学说明：进行“归一”的训练是数学教学的优良传统. 教师一以贯之地加以训练，可以从多个角度考查学生对于知识的理解程度，让学生牢牢把握“不变的主旨”，最终实现“解一道题，通一类题”. 诸如以上例3和例4的数列问题有很多，而大多数时候处理的方法就是以上两种，这里及时引导学生进行“多题归一”的总结，可以快速帮助学生理清解题思路，掌握解决这类问题的常规方法，最重要的是可以帮助学生有效规避定式思维，形成创新思维.

总之，教师应在教学中适当进行“借题发挥”，通过一题多解、一题多变、多题归一的途径训练学生的思维，培养他们举一反三的学习态度，发展创新精神[2]. 这样一来，不仅可以有效回避题海战术，还能提高学生的解题能力，同时让数学课堂教学充满活力.

参考文献：

[1]  官友凤. 一题多解在初中教学中的价值[J]. 中学数学研究（华南师范大学版），2015（14）：34+43.

[2]  刘俊彬. 拓展思维，一题多变，多题一解，一题多解[J]. 新课程学习（上），2009（09）：106-108.

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