借助信息技术，突出概念生成

曹茂宏　从品

[摘  要] 对数函数是高中要学习的第二个重要的基本初等函数，教与学的主要内容是引导学生学习这一新的基本初等函数，并类比指数函数的学习经验，巩固研究函数的一般方法.信息技术教学辅助具有高效、直观等优点，本节课在对数函数的教学设计中借助GGB的优势，突出对数函数概念的生成，提升学生对数学概念的理解，帮助学生发展数学学科核心素养.

[关键词] 对数函数;GGB;类比

《普通高中数学课程标准（2017年版，2020年修订》在教学建议中明确提到：“重视信息技术运用，实现信息技术与数学课程的深度融合.”[1]信息技术的广泛应用正在对数学教育产生深刻影响.GeoGebra（下文简称“GGB”）是一款“长于展示教与学对象的动态的数学软件”，其可以更直观地展示数学教学内容，更有效地传递数学教学信息，从而提升学生的想象力，积累学生在探究过程中的活动经验，进而辅助实现数学教学目标，解决教与学的重难点.

函数是高中数学的重要内容，高中函数要求学生会用集合与对应的数学语言刻画函数，对于新入学的高一学生而言，很难在短时间内接受并理解函数知识（尤其是对数函数），学生缺乏一定的经验基础和函数知识的高度抽象是其主要原因，同时也造成了教师教学困难.笔者在对数函数的教学实践中，重视信息技术的教学辅助，尝试引入GGB，形象直观地展示函数图像和几何图形运动变化的过程，在提升学生对对数函数的理解上颇有成效，期望为信息技术与函数教学的整合起到抛砖引玉的作用.

教学内容解析

文章引用的教材是《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修1）》（苏教2020年版），教学内容为“6.3 对数函数”. 对数函数是高中继研究指数函数后要研究的第二个基本初等函数.学习基本初等函数，一方面可以加深对函数概念的理解，强化研究函数的一般方法;另一方面，基本初等函数是常见且重要的函数模型，是学习其他函数的基础，与生活实践、科学研究也有着密切的联系. 在学习对数函数之前学生已经学习了函数概念、函数的单调性和奇偶性等性质，尝试探究了指数函数的图像和性质，了解了研究函数性质的一般方法，理解了对数概念以及对数运算，这些都构成了学生的认知基础. 教学中，一方面利用研究指数函数所获得的经验，引导学生按照研究函数的一般方法来类比研究对数函数，进一步强化研究函数的一般方法;另一方面，加强与指数函数的联系，在知识的联系中学习新知识，帮助他们形成知识结构、发展数学思维、提高认知能力.

对数函数概念的建立、图像的绘画以及基本性质的了解，属于较抽象的概念性知识，有较大的理解难度. 而GGB能够准确生动地将对数与指数的抽象联系以直观形象的方式呈现在学生面前，可以激发学生的学习兴趣，帮助学生更深刻地理解学习内容. GGB的动态变化，能使学生产生良好的图感，促进学生通过直观感受更深刻地理解概念形成的动态过程.

学情分析

（1）知识储备：①较扎实地掌握了函数概念、函数的单调性和奇偶性等性质;②理解了指数函数的概念、图像及性质;③学习过对数概念、对数运算.

（2）能力与方法储备：经历过指数函数的研究，了解研究函数的一般方法与步骤，且有一定的直观想象能力和数学抽象能力，能够迁移到对数函数的研究上.学习过指数、对数的关系，会利用二者的联系类比研究对数函数.

教学目标设置

目标1：①通过具体的实例了解对数函数概念;②能用描点法画出具体的对数函数的图像，通过观察图像归纳对数函数的性质.

目标2：在对数函数概念构建和对数函数性质归纳的过程中，提高学生的数学观察能力和数学表达能力，发展学生的数学抽象、直观想象以及逻辑推理等核心素养.

目标3：通过类比体会数学各个内容之间的联系，尝试从已有知识出发探索新知识，感受探索并获得新知识的成就.

教学重点和难点

（1）教学重点：建立对数函数概念，画出对数函数的图像，探究对数函数的性质.

（2）教學难点：利用对数函数与指数函数的关系，类比指数函数的研究方法，研究对数函数的性质.

教学问题诊断

数学问题的设置和情境引入中，旨在让学生根据指数函数的学习流程来研究对数函数，即“列表—描点—画图”，强调研究函数的一般方法.但是学生可能会直接利用指数函数的图像关于直线y=x的对称图像来研究对数函数. 教师需要反复询问研究指数函数的方法，从而类比研究对数函数，最后需要引导学生体会研究函数的一般方法.

教学媒体设计

本节课的媒体设计：为了形象生动地阐述概念，教师使用的是GGB软件;为了提高课堂教学效率，及时方便展示学生绘图，教师使用的是希沃授课助手软件.

教学过程设计

1. 创设情境，类比迁移

引例1：某细胞分裂过程中，1个细胞分裂成2个，2个细胞分裂成4个，4个细胞分裂成8个……则细胞的个数y与分裂次数x的函数关系为y=2x（x∈N*）.

引例2：一种放射性物质，经过的时间x（年）与物质残留量的关系为y=0.84x（x∈N*）.

问题1：上面情境是我们学习指数函数时的例子. 反之，引例1中如果已知细胞个数y，如何确定分裂的次数x呢？引例2中如果给定物质残留量y，如何求时间x（年）？即如何用y表示x呢？

问题2：这两个引例中，x是关于y的函数吗？

预先设定：“知y求x”属于逆问题，学生可以利用已经学过的对数的概念和运算从算式角度表示x，但从函数定义角度判断“x是否是关于y的函数”有一定的难度.

设计意图：借用学习指数函数原有且熟悉的情境，可以将学生迅速带入新知课堂. 从具体到抽象，借助于具体的案例（算式）让学生进一步体会指数、对数之间的内在联系，“知y求x”与之前“知x求y”产生了认知冲突. 二者既有关联又有冲突，可以激发学生学习对数函数的好奇心与兴趣.

高一学生缺乏一定的经验基础和抽象概括能力，若让学生直接从函数的代数定义上辨析问题，会存在一定的难度，故而笔者尝试借助于GGB软件，从形的角度展示并辨析函数的对应关系，再回到严格的代數定义上，期望能帮助学生从数、形两个角度理解对数函数概念，兼顾直观与严谨.

2.动态演示，生成概念

问题3：一般地，若y=ax（a>0，且a≠1），那么能用y表示x吗？能否说x是关于y的函数呢？

预先设定：问题3较抽象，学生从指数与对数的关系及函数定义的角度来辨析该问题有较大难度，所以尝试引导学生借助于指数函数的图像来分析问题.

通过GGB软件作出指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图像，在y轴正半轴上任取一点D，过点D作y轴的垂线，与指数函数y=ax（a>0，且a≠1）的图像相交于点P，过点P作垂线交x轴于点C（如图1所示）. 由作图过程可以看到，对y轴正半轴上的任意一点D（任意的y），在x轴上都有唯一的点C（唯一的x）与之对应，符合函数的代数定义. 此步引导学生自主发现，尝试从形上点的对应过渡到数上点的对应，加深对函数概念的理解，生成对数函数概念.

设计意图：传统教学一般从代数的角度直接阐述“对任意的y，都有唯一的x与之对应”，较抽象、晦涩，造成学生理解困难.而站在已有的指数函数的基础上，借助于GGB软件进行图像展示，使得学生能更直观地理解函数的对应关系，帮助学生从数、形两个角度理解函数的定义. 更重要的是，利用GGB软件中图形的动态演示功能，可以让学生认识到，当a变化时，图像上点的对应关系依然满足函数的定义，推动学生认知从感性走向理性，从表面、模糊的认识走向事物本质联系的理解，从特殊的认识走向一般的归纳.

设计意图：传统教学中，通常通过绘画的几幅静态图像感受底数的变化对对数函数图像的影响，有较大的难度，且很难体会变化的趋势. 借助于GGB软件的动态图像优势，特别是跟踪功能，能让学生直观地感受到对数函数的底数是如何影响对数函数图像的，加深对对数函数的图像和性质的理解. 以GGB软件为平台创设灵动的数学活动情境，为学生理解数学构建条件，由数据可视化启发学生数学思考，促进学生走向数学深处和思维高处.

4. 巩固与运用

例：试比较下列各题中两个值的大小.

（1）log23.4与log28.5;

（2）log0.31.8与log0.32.7;

（3）loga5与loga6.

5. 回顾总结，体会感悟

（1）这节课我们主要学习了哪些知识？

（2）学习和研究新函数的内容和一般方法是什么？

教学反思

1. 数学教学必须重视概念教学

数学教学必须重视提出概念的必要性和概念发生、发展的过程，要让学生参与其中，尝试探索并发现概念，概括概念的定义，让学生体会概念的生成过程，有利于深化学生对概念的理解.利用问题“若y=ax（a>0，且a≠1），那么能用y表示x吗？能否说x是关于y的函数呢？”让学生借助于指数函数理解对数函数，这是指数函数概念的应用过程. 既然x=logay（a>0，a≠1）满足x是关于y的函数，那么新的函数y=logax（a>0，a≠1）就生成了. 由旧知到新知，应从简单到综合地组织内容，更应循序渐进地渗透和引入概念[2].

2. 设计恰当的数学情境、问题和活动利于数学教学

笔者充分挖掘教材，结合以往学生学习对数函数的困难，直接利用学习指数函数的情境，设计恰当、准确的问题，让学生结合GGB软件参与数学活动，从而达到学习对数函数的目的. 数学课堂的教学情境是教师为了使学生更好地理解抽象的数学知识、发展数学思维能力借助于教学内容的背景材料及知识本身的可塑性而创设. 它对调动学生的求知欲望，引发探究动机，促进知识的保持和迁移都有好的作用[3].

3. GGB软件的可视化、动态优势有利于数学概念教学

对数函数的教学过程是比较适合使用信息技术的，因为对数函数y=logax（a>0，a≠1）的图像会随着a的变化而变化，如果仅仅依靠学生画图、凭借若干特殊例子，不利于归纳出一般的结论，所以此时如果加入信息技术，可以帮助学生清晰明了地看到对数函数不同的图像. 教学过程中笔者使用的是GGB软件，其强大的动画功能可以加深学生对对数函数图像的认识和理解. GGB软件借助于概念的直观背景，对抽象概念进行可视化表征，用丰富的样例使概念获得“原型”支持，形成概念的“模式直观”，从而加深数学概念的深刻理解[4].

4. 技术融合是开展深度教学的必然选择

深度教学首先体现的是知识内容的呈现要触及数学的本质，同时注重知识之间横向或纵向的联系;深度教学其次要激发学生的数学学习热情，让学生从数学学习过程中获得朴素而广泛、深厚而灵动的数学思想，其中有4个环节，包括联系的观点，问题引领，交流和互动，努力帮助学生学会学习[5]. 这样的深度教学很难被传统的“一支笔一块黑板一张嘴”的教学手段承载，于是运用现代化技术手段，把现代化技术作为学生学习和解决数学问题的强有力的工具便成了数学深度教学的必然选择.

5. 数、形灵活结合，兼顾直观与准确，兼顾技术与思考

华罗庚曾对数形结合有过精辟的论述：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”数抽象而形式化，形具体而形象化，数与形对应的思维是分析思维与视觉化思维，这两种思维在数学中都是必需的. 在教学中，笔者注重信息技术的使用，让直观的形帮助学生理解数学，但不能让图形代替学生数学思考，更多还是要让学生回归形式化的数. 在发达的信息时代，更不能让信息技术完全取代学生的思维，比如学生的绘图能力不可偏废，必要时需要学生自己去绘图.

参考文献：

[1]  中华人民共和国教育部. 普通高中数学课程标准（2017年版，2020年修订）[S]. 北京：人民教育出版社，2020.

[2]  章建跃，陶维林. 注重学生思维参与和感悟的函数概念教学[J]. 数学通报，2009，48（06）：19-24+30.

[3]  温建红，涂荣豹. 对数学教学中有效运用信息技术的思考[J]. 数学教育学报，2008，17（01）：91-94.

[4]  张志勇. 高中数学可视化教学：原则、途径与策略——基于GeoGebra平台[J]. 数学通报，2018，57（07）：21-24+28.

[5]  郑毓信. “数学深度教学”的理论与实践[J]. 数学教育学报，2019，28（05）：24-32.

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